解三角形完整讲义.docx
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解三角形完整讲义.docx
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正余弦定理知识要点:
1、正弦定理:
或变形:
.
2、余弦定理:
或 .
3、解斜三角形的常规思维方法是:
(1)已知两角和一边(如A、B、C),由A+B+C=π求C,由正弦定理求a、b;
(2)已知两边和夹角(如a、b、c),应用余弦定理求c边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角;
(3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种情况;
(4)已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C=π,求角C。
4、判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.
5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=1/2*absinC
7、三角学中的射影定理:
在△ABC中,,…
8、两内角与其正弦值:
在△ABC中,,…
【例题】在锐角三角形ABC中,有 (B)
A.cosA>sinB且cosB>sinA B.cosA C.cosA>sinB且cosB 9、三角形内切圆的半径: ,特别地, 正弦定理 专题: 公式的直接应用 1、已知中,,,,那么角等于() A. B. C. D. 2、在△ABC中,a=,b=,B=45°,则A等于( C ) A.30° B.60° C.60°或120° D.30°或150° 3、的内角的对边分别为,若,则等于() A. B.2 C. D. 4、已知△ABC中,,,,则a等于(B) A.B.C.D. 5、在△ABC中,=10,B=60°,C=45°,则等于( B) A. B. C. D. 6、已知的内角,,所对的边分别为,,,若,,则等于.() 7、△ABC中,,,,则最短边的边长等于(A) A.B.C.D. 8、△ABC中,,的平分线把三角形面积分成两部分,则(C) A.B.C. D. 9、在△ABC中,证明: 。 证明: 由正弦定理得: 专题: 两边之和 1、在△ABC中,A=60°,B=45°,,则a=;b=. (,) 2、已知的周长为,且. (1)求边的长; (2)若的面积为,求角的度数. 专题: 三角形个数 1、△ABC中,∠A=60°,a=,b=4,那么满足条件的△ABC(C) A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定 2、ΔABC中,a=1,b=,∠A=30°,则∠B等于 (B) A.60° B.60°或120° C.30°或150° D.120° 3、在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 (D) A.b=10,A=45°,B=70°B.a=60,c=48,B=100° C.a=7,b=5,A=80°D.a=14,b=16,A=45° 4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 (D) A.a=1,b=2,c=3 B.a=1,b=,∠A=30° C.a=1,b=2,∠A=100° C.b=c=1,∠B=45° 5、在△ABC中,a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是(B ) A.无解 B.一解 C. 二解 D.不能确定 6、满足A=45°,c=,a=2的△ABC的个数记为m,则am的值为(A) A.4 B.2 C.1 D.不定 7、已知△ABC中,121°,则此三角形解的情况是无解 8、在△ABC中,已知,,,则边长。 或 专题: 等比叠加 1、△ABC中,若,,则等于(A) A.2B.C.D. 2、在△ABC中,A=60°,b=1,面积为,则=. 专题: 变式应用 1、在△ABC中,若∠A: ∠B: ∠C=1: 2: 3,则 2、已知△ABC中,a∶b∶c=1∶∶2,则A∶B∶C等于( A ) A.1∶2∶3 B.2∶3∶1 C.1: 3: 2 D.3: 1: 2 3、在△ABC中,周长为7.5cm,且sinA: sinB: sinC=4: 5: 6,下列结论: ①②③④其中成立的个数是( C) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4、在△ABC中,已知边,,求边a、b的长。 解: 由,,可得, 变形为sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b,∴2A=π-2B,∴A+B=.∴△ABC为直角三角形. 由a2+b2=102和,解得a=6,b=8。 5、在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c,若,则_________________。 6、设锐角三角形的内角的对边分别为,. (1)求的大小; (2)求的取值范围. 专题: 求取值范围 1、△ABC中,已知60°,如果△ABC两组解,则x的取值范围(C) A. B. C. D. 2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是(B) A. B.C. D. 3、在锐角中,则的值等于,的取值范围为.2 答案 : 设由正弦定理得 由锐角得, 又,故,所以 余弦定理 专题: 公式应用 1、在△ABC中,a=3,b=,c=2,那么B等于( C ) A. 30° B.45° C.60° D.120° 2、在三角形中,,则的大小为() A. B. C. D. 3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为(B) A.90°B.120°C.135°D.150° 4、在△ABC中,150°,则b=7 5、在△ABC中,若,则(C) A.B.C.D. 6、在△中,三边长分别为,则的值为(D) A.38B.37C.36D.35 7、在△ABC中,已知,则角A为(C ) A. B. C. D.或 8、在钝角△ABC中,已知,,则最大边的取值范围是。 9、设a、b、c是的三边长,对任意实数x,有(B) A.B.C.D. 9、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程的根,则三角形的另一边长为(B) A.52 B. C.16 D.4 10、在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线,那么BC=9 11、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x+(sinC-sinB)=0有等根,那么角B (D) A.B>60° B.B≥60°C.B<60° D.B≤60° (sinA-sinC)²-4(sinB-sinA)(sinC-sinB)=sin²A-2sinAsinC+sin²C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin²B+sinAsinB) =(sinA+sinC)²-4sinB(sinA+sinC)+4sin²B=(sinA+sinC-2sinB)² 专题: 判断三角形 1、若,则△(A) A.一定是锐角三角形 B.可能是钝角三角形 C.一定是等腰三角形 D.可能是直角三角形 2、在△ABC中,角均为锐角,且则△ABC的形状是(C) A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 3、△ABC中,,,则△ABC一定是(D) A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为(A) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定 5、△ABC中,,则△ABC一定是(D) A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 6、在△ABC中,若,则△ABC是(B) A.有一内角为30°的直角三角形 B.等腰直角三角形 C.有一内角为30°的等腰三角形 D.等边三角形 7、若的内角的对边分别为,且则() A.为等腰三角形 B.为直角三角形 C.为等腰直角三角形 D.为等腰三角形或直角三角形 8、的内角的对边分别为,根据下列条件判断三角形形状: 9、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是 (B) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 10、在△ABC中,已知,那么△ABC一定是( B ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 11、在△ABC中,若,则△ABC的形状是(D ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 12在中,,,分别为角,,所对边,若,则此三角形一定是(C) A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形 13、在△ABC中,若,则△ABC的形状是(B) A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形 14、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是( B) A. B. C. D. 15、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=,则ΔABC是______三角形.钝角 16、在△ABC中,已知,,试判断△ABC
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