解析几何三角形面积问题答案.doc
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解析几何三角形面积问题答案.doc
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解析几何三角形面积问题答案
1、解:
(Ⅰ)由题意知,曲线是以为焦点的椭圆.
故曲线的方程为:
.3分
(Ⅱ)设直线与椭圆交点,
联立方程得4分
因为,解得,且5分
点到直线的距离6分
9分
10分
.
当且仅当即时取到最大值.
面积的最大值为.12分
2、解:
(1)依题意可得解得
从而所求椭圆方程为…………………4分
(2)直线的方程为
由可得
该方程的判别式△=>0恒成立.
设则………………5分
可得
设线段PQ中点为N,则点N的坐标为………………6分
线段PQ的垂直平分线方程为
令,由题意………………………………………………7分
又,所以0<<…………………………………………………8分
(3)点M到直线的距离
于是
由可得代入上式,得
即<<.…………………………………………11分
设则
而>00<m<<0<m<
所以在上单调递增,在上单调递减.
所以当时,有最大值……………………13分
所以当时,△MPQ的面积S有最大值…………………14分
3、解:
(Ⅰ)设椭圆方程为.圆F的标准方程为,圆心为,圆与x轴的交点为(0,0)和(2,0).………………………2分
由题意,半焦距.∴.
∴椭圆方程为.………………………………4分
(Ⅱ)设由得.
∴.……………………………6分
.
.…………………………8分
令,则∴
.……………………10分
∵,∴.∴在上是减函数,
∴当时,取得最大值,最大值为.………………………12分
4、解:
(1)∵…………………2分
∴
∴椭圆的方程为………………4分
(2)依题意,设的方程为
由
显然
………………5分
由已知得:
……………7分
解得……………………8分
(3)①当直线斜率不存在时,即,
由已知,得
又在椭圆上,
所以
三角形的面积为定值.………9分
②当直线斜率存在时:
设的方程为
必须即
得到,………………10分
∵,∴
代入整理得:
…………………11分
…………12分
所以三角形的面积为定值.…………………14分
5、解:
(1)设椭圆方程为=1(a>b>0),由焦点坐标可得c=1………1分
由PQ|=3,可得=3,……………………………………………2分
解得a=2,b=,…………………………………………………3分
故椭圆方程为=1……………………………………………4分
(2)设M,N,不妨>0,<0,设△MN的内切圆的径R,
则△MN的周长=4a=8,(MN+M+N)R=4R
因此最大,R就最大,………………………………………6分
,
由题知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+1,
由得+6my-9=0,………………………8分
得,,
则AB()==,……………9分
令t=,则t≥1,
则,………………………10分
令f(t)=3t+,则f′(t)=3-,
当t≥1时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,
有f(t)≥f
(1)=4,≤=3,
即当t=1,m=0时,≤=3,=4R,∴=,
这时所求内切圆面积的最大值为π.
故直线l:
x=1,△AMN内切圆面积的最大值为π………………12分
6、解:
(1)由=及解得a2=4,b2=3,
椭圆方程为;…………………………………………………………2分
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由得
(x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,),即
又,,两式相减得
;………………………6分
(2)设AB的方程为y=,代入椭圆方程得:
x2-tx+t2-3=0,
△=3(4-t2),|AB|=,
点P到直线AB的距离为d=,
S△PAB ==(-2 令f(t)=3(2-t)3(2+t),则f’(t)=-12(2-t)2(t+1),由f’(t)=0得t=-1或2(舍), 当-2 即△PAB的面积的最大值是; 根据韦达定理得x1+x2=t=-1,而x1+x2=2+m,所以2+m=-1,得m=-3, 于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3++=0, 因此△PAB的重心坐标为(0,0).……………………………………………………13分 7、解: (1)设椭圆的半焦距为c,依题意∴b=1.∴所求椭圆方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), ①当AB⊥x轴时,|AB|=, ②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.由已知=, 得m2=(k2+1),把y=kx+m代入椭圆方程,整理得 (3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0∴x1+x2=,x1x2=. ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2) == =3+=3+(k≠0)≤3+=4. 当且仅当9k2=,即k=±时等号成立|AB|=2.当k=0时,|AB|=, 综上所述,|AB|max=2. ∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值,S=×|AB|max×=. 8、解: (1)∵|PA|+|PB|=2>=|AB|, ∴点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长2a=2的椭圆.………………………………2分 ∴a=1,………………………………4分 设P(x,y),∴点P的轨迹方程为.………………………………6分 (2)将代入, 消去x,整理为…………………………………7分 设, 则………………………………8分 =………………10分 当且仅当,即时,△BMN的最大面积为 此时直线l的方程是.…………………………………………12分 9、解: (Ⅰ)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,y). 依据题意,有=(x+1,y),=(x-1,y).……2分 ∵·=1,∴x2-1+2y2=1.∴动点P所在曲线C的方程是+y2=1…4分 (Ⅱ)因直线l过点B,且斜率为k=-,故有l∶y=-(x-1).……5分 联立方程组,消去y,得2x2-2x-1=0.………7分 设M(x1,y1)、N(x2,y2),可得,于是.…………8分 又++=,得=(-x1-x2,-y1-y2),即H(-1,-)………9分 ∴|MN|=……………………10分 又l: x+2y-=0,则H到直线l的距离为d= 故所求驻MNH三角形的面积为S=………………12分 10、解(Ⅰ)设点的坐标为,则点的坐标为, 依据题意,有…………………1分 动点所在曲线的方程是………………3分 (Ⅱ)因直线过点,且斜率为,故有………5分 联立方程组,消去,得………………6分 设、, 可得,于是.………………………7分 又,得即 而点与点关于原点对称, 于是,可得点……………………………8分 若线段、的中垂线分别为和,,则有 ………………9分 联立方程组, 解得和的交点为………………………10分 因此,可算得 所以、、、四点共圆,且圆心坐标为半径为…12分 11、【解析】(I)由题意知,从而,又,解得。 故、的方程分别为。 (II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为,则直线的方程为. 由得, 设,则是上述方程的两个实根,于是。 又点的坐标为,所以 故,即。 (ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由 解得或,则点的坐标为 又直线的斜率为,同理可得点B的坐标为. 于是 由得, 解得或,则点的坐标为; 又直线的斜率为,同理可得点的坐标 于是 因此 由题意知,解得或。 又由点的坐标可知,, 所以 故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和。 12、解: (1)由题意可知B(0,-1),则A(0,-2),故b=2,令y=0得,即,则F1(-1,0),F2(1,0),故c=1,所以, 故椭圆C1的方程为;………………………………………………………5分 (2)设N(),由于知直线PQ的方程为: , 即,代入椭圆方程整理,得, =, ,故 ,设点M到直线PQ的距离为d,则, 所以的面积S ,当时取等号,经检验此时,满足题意,综上可知的面积的最大值为。 ………13分 13、解: (I)由,∴直线l的斜率为,………1分 故l的方程为,∴点A坐标为(1,0)………………………………2分 设则, 由得 整理,得……………………………………………………4分 ∴点M的轨迹为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆…5分 (II)如图,由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l方程为y=k(x-2)(k≠0)① 将①代入,整理,得 , 由△>0得0 则②………………………………………………………7分 令,由此可得 由②知 …………………………10分 .∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(3-2,1)…12分. 14、解: (Ⅰ)依题意,,即, 由此得. 即------------------4分 因此,所求通项公式为 ,.①-------------------6分 (Ⅱ)由①知,, 于是,当时, -------------------8分 当时, -------------------10分 又时,-------------------11分 所以,的取值范围是-------------------12分 22.解: (Ⅰ), 椭圆E的方程为-------------------4分 (Ⅱ)设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0), 代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0. ∵直线AB过椭圆的右焦点, ∴方程有两个不等实根. 记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0), 则x1+x1=
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