解斜三角形习题精选7.28[1].doc
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解斜三角形习题精选
1.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_______.
2在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是_______.
3在△ABC中,若∠C=60°,则=_______.
4.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=(a2+b2-c2),则∠C的度数是_______.
5已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)求证:
tanA=2tanB;
(2)设AB=3,求AB边上的高.
6在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,求∠A的大小及的值.
7在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,依次成等比数列,求y=的取值范围.
8.已知△ABC中,2(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,外接圆半径为.
(1)求∠C;
(2)求△ABC面积的最大值.
答案:
1解析:
由已知得(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc.∴=.∴∠A=.
2解析:
若c是最大边,则cosC>0.∴>0,∴c<.又c>b-a=1,
∴1<c<.
3解析:
==. (*)
∵∠C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab.
∴a2+b2=ab+c2.
代入(*)式得=1.
答案:
1
4解析:
由S=(a2+b2-c2)得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=.
答案:
45°
5剖析:
有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以
(1)为铺垫,解决
(1)证明:
∵sin(A+B)=,sin(A-B)=,
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
(2)解:
<A+B<π,∴sin(A+B)=.
∴tan(A+B)=-,
即=-.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B-4tanB-1=0,解得tanB=(负值舍去).得tanB=,∴tanA=2tanB=2+.
设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+,所以AB边上的高为2+.
6、剖析:
因给出的是a、b、c之间的等量关系,要求∠A,需找∠A与三边的关系,故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a,再用正弦定理可求的值.
解法一:
∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac.
又a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc.
在△ABC中,由余弦定理得
cosA===,∴∠A=60°.
在△ABC中,由正弦定理得sinB=,
∵b2=ac,∠A=60°,
∴=sin60°=.
解法二:
在△ABC中,
由面积公式得bcsinA=acsinB.
∵b2=ac,∠A=60°,∴bcsinA=b2sinB.
∴=sinA=.
7、解:
∵b2=ac,∴cosB===(+)-≥.
∴0<B≤,
y===sinB+cosB=sin(B+).∵<B+≤,
∴<sin(B+)≤1.故1<y≤.
8、解:
(1)由2(sin2A-sin2C)=(a-b)·sinB得2(-)=(a-b).
又∵R=,
∴a2-c2=ab-b2.∴a2+b2-c2=ab.
∴cosC==.
又∵0°<C<180°,∴C=60°.
(2)S=absinC=×ab
=2sinAsinB=2sinAsin(120°-A)
=2sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)
=3sinAcosA+sin2A
=sin2A-sin2Acos2A+
=sin(2A-30°)+.
∴当2A=120°,即A=60°时,Smax=.
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- 三角形 习题 精选 7.28