解三角形基础与习题.doc
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解三角形基础与习题.doc
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解三角形知识点及习题
一、知识点总结
1.正弦定理:
或变形:
.
推论:
①定理:
若α、β>0,且α+β<,则α≤β,等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时,可以利用如下原理:
sinA>sinBA>Ba>b
(在上单调递减)
2.余弦定理:
或 .
3.
(1)两类正弦定理解三角形的问题:
1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角.
(2)两类余弦定理解三角形的问题:
1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.
4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.
5.三角形中的基本关系:
一、选择题
1.在△ABC中,若,则等于()
A.B.C.D.
2.若为△ABC的内角,则下列函数中一定取正值的是()
A.B.C.D.
3.在△ABC中,角均为锐角,且则△ABC的形状是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
4.等腰三角形一腰上的高是,这条高与底边的夹角为,则底边长为()
A.B.C.D.
5.在△中,若,则等于()
A.B.C.D.
6.边长为的三角形的最大角与最小角的和是()
A.B.C.D.
二、填空题
1.在△ABC中,,则的最大值是_______________。
2.在△ABC中,若_________。
3.在△ABC中,若_________。
4.在△ABC中,若∶∶∶∶,则_____________。
5.在△ABC中,,则的最大值是________。
三、解答题
1.在△ABC中,若则△ABC的形状是什么?
2.在△ABC中,求证:
3.在锐角△ABC中,求证:
。
4.在△ABC中,设求的值。
解三角形[综合训练B组]
一、选择题
1.在△ABC中,,则等于()
A.B.C.D.
2.在△ABC中,若角为钝角,则的值()A大于零B小于零C等于零D不能确定
3.在△ABC中,若,则等于()A.B.C.D.
4.在△ABC中,若,则△ABC的形状是()
A.直角三角形B.等边三角形C.不能确定D.等腰三角形
5.在△ABC中,若则()A.B.C.D.
6.在△ABC中,若,则最大角的余弦是()A.B.C.D.
7.在△ABC中,若,则△ABC的形状是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
二、填空题
1.若在△ABC中,则=_______。
2.若是锐角三角形的两内角,则_____(填>或<)。
3.在△ABC中,若_________。
4.在△ABC中,若则△ABC的形状是_________。
5.在△ABC中,若_________。
6.在锐角△ABC中,若,则边长的取值范围是_________。
三、解答题
1.在△ABC中,,求。
2.在锐角△ABC中,求证:
。
3.在△ABC中,求证:
。
4.在△ABC中,若,则求证:
。
5.在△ABC中,若,则求证:
解三角形[提高训练C组]
一、选择题
1.为△ABC的内角,则的取值范围是()
A.B.C.D.
2.在△ABC中,若则三边的比等于()
A.B.C.D.
3.在△ABC中,若,则其面积等于()
A.B.C.D.
4.在△ABC中,,,则下列各式中正确的是()
A.B.C.D.
5.在△ABC中,若,则()
A.B.C.D.
6.在△ABC中,若,则△ABC的形状是()
A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形
二、填空题
1.在△ABC中,若则一定大于,对吗?
填_________(对或错)
2.在△ABC中,若则△ABC的形状是______________。
3.在△ABC中,∠C是钝角,设
则的大小关系是___________________________。
4.在△ABC中,若,则______。
5.在△ABC中,若则B的取值范围是_______________。
6.在△ABC中,若,则的值是_________。
三、解答题
1.在△ABC中,若,请判断三角形的形状。
2.如果△ABC内接于半径为的圆,且
求△ABC的面积的最大值。
3.已知△ABC的三边且,求
4.在△ABC中,若,且,边上的高为,求角的大小与边的长
[基础训练A组]
一、选择题
1.C
2.A
3.C都是锐角,则
4.D作出图形
5.D或
6.B设中间角为,则为所求
二、填空题
1.
2.
3.
4.∶∶∶∶∶∶,
令
5.
三、解答题
1.解:
或,得或
所以△ABC是直角三角形。
2.证明:
将,代入右边
得右边
左边,
∴
3.证明:
∵△ABC是锐角三角形,∴即
∴,即;同理;
∴
4.解:
∵∴,即,
∴,而∴,
∴
[综合训练B组]
一、选择题
1.C
2.A,且都是锐角,
3.D
4.D
,等腰三角形
5.B
6.C,为最大角,
7.D,
,或
所以或
二、填空题
1.
2.,即
,
3.
4.锐角三角形为最大角,为锐角
5.
6.
三、解答题
1.解:
,而
所以
2.证明:
∵△ABC是锐角三角形,∴即
∴,即;同理;
∴
∴
3.证明:
∵
∴
4.证明:
要证,只要证,
即
而∵∴
∴原式成立。
5.证明:
∵
∴
即
∴
即,∴
[提高训练C组]
一、选择题
1.C
而
2.B
3.D
4.D则,
,
5.C
6.B
二、填空题
1.对则
2.直角三角形
3.
4.
则
5.
6.
三、解答题
1.解:
∴等腰或直角三角形
2.解:
另法:
此时取得等号
3.解:
4.解:
,联合
得,即
当时,
当时,
∴当时,
当时,。
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