人教A版高中数学必修2教案第三章Word文档下载推荐.docx
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(2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
(3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度.
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;
倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.
直线的斜率
日常生活中,常用坡度(坡度=)表示倾斜程度,例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者更陡一些,因为坡度>.
对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度,可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度?
可以.
由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值,那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量?
通过坐标比,你会发现它与倾斜角有何关系?
与倾斜角的正切值相等.
1.斜率的定义:
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示,即k=tan_α.
2.斜率公式:
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.当x1=x2时,直线P1P2没有斜率.
3.斜率作用:
用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度.
1.倾斜角α与斜率k的关系
(1)直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°
时,直线的斜率不存在,此时,直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合).
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度.当0°
≤α<90°
时,斜率越大,直线的倾斜程度越大;
当90°
<α<180°
时,斜率越大,直线的倾斜程度也越大.
2.斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换,就是说,如果分子是y2-y1,分母必须是x2-x1;
反过来,如果分子是y1-y2,分母必须是x1-x2,即k==.
(2)用斜率公式时要一看,二用,三求值.一看,就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步;
二用,就是将点的坐标代入斜率公式;
三求值,就是计算斜率的值,尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要对参数进行讨论.
[例1]
(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°
角,则直线l的倾斜角为( )
A.30°
B.60°
C.30°
或150°
D.60°
或120°
(2)下列说法中,正确的是( )
A.直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα
B.直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为α
C.若直线的倾斜角为α,则sinα>0
D.任意直线都有倾斜角α,且α≠90°
时,斜率为tanα
[解析]
(1)如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°
(2)对于A,当α=90°
时,直线的斜率不存在,故不正确;
对于B,虽然直线的斜率为tanα,但只有0°
时,α才是此直线的倾斜角,故不正确;
对于C,当直线平行于x轴时,α=0°
,sinα=0,故C不正确,故选D.
[答案]
(1)D
(2)D
[类题通法]
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法:
结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)两点注意:
①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°
,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°
②注意直线倾斜角的取值范围是0°
[活学活用]
1.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是( )
A.[0°
,90°
) B.[90°
,180°
)
C.(90°
)D.(0°
解析:
选C 直线倾斜角的取值范围是[0°
),又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是(90°
).
2.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°
,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( )
A.α+45°
B.α-135°
C.135°
-α
D.当0°
≤α<135°
时为α+45°
,当135°
时为α-135°
选D 当0°
时,l1的倾斜角是α+45°
.当135°
时,结合图形和倾斜角的概念,即可得到l1的倾斜角为α-135°
,故应选D.
[例2]
(1)已知过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为135°
,则y=________;
(2)过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为________;
(3)已知过A(3,1),B(m,-2)的直线的斜率为1,则m的值为________.
[解析]
(1)直线AB的斜率k=tan135°
=-1,
又k=,由=-1,得y=-5.
(2)由斜率公式k==1,得m=1.
(3)当m=3时,直线AB平行于y轴,斜率不存在.
当m≠3时,k==-=1,解得m=0.
[答案]
(1)-5
(2)1 (3)0
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的;
(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.
3.(2012·
河南平顶山高一调研)若直线过点(1,2),(4,2+),则此直线的倾斜角是( )
B.45°
C.60°
D.90°
选A 设直线的倾斜角为α,
直线斜率k==,
∴tanα=.
又∵0°
,∴α=30°
直线的斜率的应用
[例3] 已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求的最大值和最小值.
[解] 如图所示,由于点(x,y)满足关系式2x+y=8,且2≤x≤3,可知点P(x,y)在线段AB上移动,并且A,B两点的坐标可分别求得为A(2,4),B(3,2).
由于的几何意义是直线OP的斜率,且kOA=2,kOB=,所以可求得的最大值为2,最小值为.
根据题目中代数式的特征,看是否可以写成的形式,若能,则联想其几何意义(即直线的斜率),再利用图形的直观性来分析解决问题.
4.点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,5]时,求的取值范围.
解:
=的几何意义是过M(x,y),N(-1,-1)两点的直线的斜率.
∵点M在函数y=-2x+8的图象上,且x∈[2,5],
∴设该线段为AB且A(2,4),B(5,-2).
∵kNA=,kNB=-,
∴-≤≤.
∴的取值范围为[-,].
[典例] 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则l的倾斜角的取值范围________;
直线l的斜率k的取值范围________.
[解析] 如图,由题意可知kPA==-1,kPB==1,则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°
,PA的倾斜角是135°
,
∴直线l的倾斜角α的取值范围是45°
≤α≤135°
;
要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.
[答案] 45°
k≤-1或k≥1
[易错防范]
1.本题易错误地认为-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间,要特别注意,当l的倾斜角小于90°
时,有k≥kPB;
当l的倾斜角大于90°
时,则有k≤kPA.
2.如图,过点P的直线l与直线段AB相交时,因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在,而PC所在的直线与线段AB不相交,所以满足题意的斜率夹在中间,即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时,可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边.
[成功破障]
已知直线l过点P(3,4),且与以A(-1,0),B(2,1)为端点的线段AB有公共点,求直线l的斜率k的取值范围.
∵直线PA的斜率kPA==1,直线PB的斜率kPB==3,∴要使直线l与线段AB有公共点,k的取值范围为[1,3].
[随堂即时演练]
1.关于直线的倾斜角和斜率,下列说法正确的是( )
A.任一直线都有倾斜角,都存在斜率
B.倾斜角为135°
的直线的斜率为1
C.若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tanα
D.直线斜率的取值范围是(-∞,+∞)
选D 任一直线都有倾斜角,但当倾斜角为90°
时,斜率不存在.所以A、C错误;
倾斜角为135°
的直线的斜率为-1,所以B错误;
只有D正确.
2.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是( )
A.5 B.8
C.D.7
选C 由斜率公式可得=1,解之得m=.
3.直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角为________.
kl==-1,
因此倾斜角为135°
答案:
135°
4.已知三点A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同一条直线上,实数a的值为________.
∵A、B、C三点共线,
∴kAB=kBC,即=,∴a=2或.
2或
5.已知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,求m的值.
由题意直线AC的斜率存在,即m≠-1.
∴kAC=,kBC=.
∴=3·
整理得:
-m-1=(m-5)(m+1),
即(m+1)(m-4)=0,
∴m=4或m=-1(舍去).
∴m=4.
[课时达标检测]
一、选择题
1.给出下列说法,正确的个数是( )
①若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;
②一条直线的倾斜角为-30°
③倾斜角为0°
的直线只有一条;
④直线的倾斜角α的集合{α|0°
}与直线集合建立了一一对应关系.
A.0B.1
C.2D.3
选A 若两直线的倾斜角为90°
,则它们的斜率不存在,①错;
直线倾斜角的取值范围是[0°
),②错;
所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°
,③错;
不同的直线可以有相同的倾斜角,④错.
2.过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°
,则y=( )
A.-B.
C.-1D.1
选C tan45°
=kAB=,即=1,所以y=-1.
3.如图,设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关系为( )
A.k1<k2<k3
B.k1<k3<k2
C.k2<k1<k3
D.k3<k2<k1
选A 根据“斜率越大,直线的倾斜程度越大”可知选项A正确.
4.经过两点A(2,1),B(1,m2)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是( )
A.m<1B.m>-1
C.-1<m<1D.m>1或m<-1
选C ∵直线l的倾斜角为锐角,
∴斜率k=>0,∴-1<m<1.
5.(2012·
广州高一检测)如果直线l过点(1,2),且不通过第四象限,那么l的斜率的取值范围是( )
A.[0,1]B.[0,2]
C.D.(0,3]
选B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时,图象不过第四象限.
二、填空题
6.已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=________.
若平面内三点共线,则kAB=kBC,即=,整理得a2-2a-1=0,解得a=1+,或a=1-(舍去).
1+
7.如果直线l1的倾斜角是150°
,l2⊥l1,垂足为B.l1,l2与x轴分别相交于点C,A,l3平分∠BAC,则l3的倾斜角为________.
因为直线l1的倾斜角为150°
,所以∠BCA=30°
,所以l3的倾斜角为×
(90°
-30°
)=30°
30°
8.已知实数x,y满足方程x+2y=6,当1≤x≤3时,的取值范围为________.
的几何意义是过M(x,y),N(2,1)两点的直线的斜率,因为点M在函数x+2y=6的图象上,且1≤x≤3,所以可设该线段为AB,且A,B,由于kNA=-,kNB=,所以的取值范围是∪.
∪
三、解答题
9.已知直线l过点A(1,2),B(m,3),求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.
设l的斜率为k,倾斜角为α,
当m=1时,斜率k不存在,α=90°
当m≠1时,k==,
当m>1时,k=>0,此时α为锐角,0°
<α<90°
当m<1时,k=<0,此时α为钝角,
所以α∈(0°
),k∈(-∞,0)∪(0,+∞).
10.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2),
(1)求直线AB和AC的斜率.
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的变化范围.
(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==.直线AC的斜率kAC==.故直线AB的斜率为,直线AC的斜率为.
(2)如图所示,当D由B运动到C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的变化范围是.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行
平面几何中,两条直线平行同位角相等.
在平面直角坐标中,若l1∥l2,则它们的倾斜角α1与α2有什么关系?
相等.
若l1∥l2,则l1,l2的斜率相等吗?
不一定,可能相等,也可能都不存在.
若l1与l2的斜率相等,则l1与l2一定平行吗?
不一定.可能平行也可能重合.
对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,有l1∥l2⇔k1=k2.
对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是:
①两条直线的斜率都存在;
②l1与l2不重合.
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时,l1与l2的倾斜角都是90°
,则l1∥l2.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是:
l1∥l2⇔k1=k2或l1,l2斜率都不存在.
两条直线垂直
已知两条直线l1,l2,若l1的倾斜角为30°
,l1⊥l2.
上述问题中,l1,l2的斜率是多少?
k1=,k2=-.
上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系?
k1k2=-1.
若两条直线垂直且都有斜率,它们的斜率之积一定为-1吗?
一定.
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;
反之,如果它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直,即l1⊥l2⇔k1·
k2=-1.
对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1⊥l2⇔k1·
k2=-1成立的前提条件是:
②k1≠0且k2≠0.
(2)两条直线中,一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零,则两条直线垂直.
(3)判定两条直线垂直的一般结论为:
l1⊥l2⇔k1·
k2=-1或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零.
两条直线平行的判定
[例1] 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);
(2)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3);
(3)l1的倾斜角为60°
,l2经过点M(1,),N(-2,-2);
(4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5).
[解]
(1)由题意知,k1==-,k2==-,所以直线l1与直线l2平行或重合,又kBC==-≠-,故l1∥l2.
(2)由题意知,k1==1,k2==1,所以直线l1与直线l2平行或重合,kFG==1,故直线l1与直线l2重合.
(3)由题意知,k1=tan60°
=,k2==,k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.
(4)由题意知l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,所以l1∥l2.
判断两条不重合直线是否平行的步骤
1.试确定m的值,使过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.
由题意直线CD的斜率存在,则与其平行的直线AB的斜率也存在.kAB==,kCD==,由于AB∥CD,即kAB=kCD,所以=,得m=-2.经验证m=-2时直线AB的斜率存在,所以m=-2.
两条直线垂直的问题
[例2] 已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),如果l1⊥l2,求a的值.
[解] 设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.
∵直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),且2≠-1,
∴l2的斜率存在.
当k2=0时,a-2=3,则a=5,此时k1不存在,符合题意.当k2≠0时,即a≠5,此时k1≠0,
由k1·
k2=-1,得·
=-1,解得a=-6.
综上可知,a的值为5或-6.
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看,就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第一步.
(2)二用:
就是将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值:
计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论.
总之,l1与l2一个斜率为0,另一个斜率不存在时,l1⊥l2;
l1与l2斜率都存在时,满足k1·
2.已知定点A(-1,3),B(4,2),以A、B为直径作圆,与x轴有交点C,则交点C的坐标是________.
以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C,则AC⊥BC.设C(x,0),则kAC=,kBC=,所以·
=-1,得x=1或2,所以C(1,0)或(2,0).
(1,0)或(2,0)
平行与垂直的综合应用
[例3] 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定图形ABCD的形状.
[解] 由题意知A,B,C,D四点在坐标平面内的位置,如图所示,由斜率公式可得kAB==,
kCD==,kAD==-3,
kBC==-.
所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,
所以AB∥CD.由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.
又因为kAB·
kAD=×
(-3)=-1,
所以AB⊥AD,
故四边形ABCD为直角梯形.
1.在顶点确定的情况下,确定多边形形状时,要先画出图形,由图形猜测其形状,为下面证明提供明确目标.
2.证明两直线平行时,仅有k1=k2是不够的,注意排除两直线重合的情况.
3.已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,试求点D的坐标.
设D(x,y),则kAB==1,kBC==-,kCD=,kDA=.因为AB⊥CD,AD∥BC,
所以,kAB·
kCD=-1,kDA=kBC,所以
解得即D(10,-6).
[典例] 已知直线l1经过A(3,m),B(m-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,m+2).
(1)若l1∥l2,求m的值;
(2)若l1⊥l2,求m的值.
[解题流程]
先求l2的斜率―→由l1∥l2得k1=k2列关系式检验―→由l1⊥l2讨论k2=0或k2≠0,再由k1·
k2=-1得出结论
当k2≠0②时,直线l2的斜率存在且不为0,则直线l1的斜率也存在,且k1·
k2=-1,即-·
=-1,解得m=3或m=-4,(10分)
所以m=3或m=-4时,l1⊥l.(12分)
[名师批注]
①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m值,解答过程不严谨
②处讨论k2=0和k2≠0两种情况
③此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范
已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.
因为A,B两点纵坐标不等,所以AB与x轴不平行.因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,故m≠-3.
当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1,而m=-1时,C,D纵坐标均为-1,所以CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意.
当AB与x轴不垂直时,由斜率公式得kAB==,kCD==.
因为AB⊥CD,所以kAB·
kCD=-1,解得m=1.
综上,m的值为1或-1.
1.下列说法正确的有( )
①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行;
②若l1∥l2,则k1=k2;
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直;
④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
选A 若k1=k2,则这两条直线平行或重合,所以①错;
当两条直线垂直于x轴时,两条直线平行,但斜率不存在,所以②错;
若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,才有这两条直线垂直,所以③错;
④正确.
2.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是( )
A.平行B.重合
C.相交但不垂直D.垂直
选D 设l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1·
3.已知△ABC中,A(0,3)、B(2,-1),E、F分别为AC、BC的中点,则直线EF的斜率为________.
∵E、F分别为AC、BC的中点,
∴EF∥AB.
∴kEF=kAB==-2.
-2
4.经过点(m,3)和(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是________.
由题意可知kl=,又因为kl=,所以
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