解三角形专题.doc

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解三角形专题

一、基础知识：

1、正弦定理：

，其中为外接圆的半径

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。

其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。

如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行

例如：

（1）

（2）（恒等式）

（3）

2、余弦定理：

变式：

（1）

①此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角

当时，，即为锐角；

当（勾股定理）时，，即为直角；

当时，，即为钝角

②观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出

（2）此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可

3、三角形面积公式：

（1）（为三角形的底，为对应的高）

（2）

（3）（为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）

（4）海伦公式：

（5）向量方法：

（其中为边所构成的向量，方向任意）

证明：

，而

坐标表示：

，则

4、三角形内角和（两角可表示另一角）。

5、确定三角形要素的条件：

（1）唯一确定的三角形：

①已知三边（SSS）：

可利用余弦定理求出剩余的三个角

②已知两边及夹角（SAS）：

可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角

③两角及一边（AAS或ASA）：

利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边

（2）不唯一确定的三角形

①已知三个角（AAA）：

由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。

由正弦定理可得：

已知三个角只能求出三边的比例：

②已知两边及一边的对角（SSA）：

比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。

其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。

（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）

6、解三角形的常用方法：

（1）直接法：

观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解

（2）间接法：

可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解

7、三角形的中线定理与角平分线定理

（1）三角形中线定理：

如图，设为的一条中线，则（知三求一）

证明：

在中

①

②

为中点

①②可得：

（2）角平分线定理：

如图，设为中的角平分线，则

证明：

过作∥交于

为的角平分线

为等腰三角形

而由可得：

二、典型例题：

例1：

（1）的内角所对的边分别为，若，则_____

（2））的内角所对的边分别为，若，则_____

思路：

（1）由已知求可联想到使用正弦定理：

代入可解得：

。

由可得：

，所以

答案：

（2）由已知求可联想到使用正弦定理：

代入可解得：

，则或，由可得：

，所以和均满足条件

答案：

或

小炼有话说：

对比

（1）

（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。

进而确定是一个解还是两个解。

例2：

在中，，若的面积等于，则边长为_________

思路：

通过条件可想到利用面积与求出另一条边，再利用余弦定理求出即可

解：

答案：

例3：

（2012课标全国）已知分别为三个内角的对边，且有

（1）求

（2）若，且的面积为，求

（1）思路：

从等式入手，观察每一项关于齐次，考虑利用正弦定理边化角：

，所涉及式子与关联较大，从而考虑换掉，展开化简后即可求出

解：

即

或（舍）

（2）思路：

由

（1）可得，再由，可想到利用面积与关于的余弦定理可列出的两个方程，解出即可

解：

可解得

小炼有话说：

通过第

（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。

另一方面当角同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角

例4：

如图，在中，是边上的点，且，则的值为___________

思路：

求的值考虑把放入到三角形中，可选的三角形有和，在中，已知条件有两边，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在中，三边比例已知，进而可求出，再利用补角关系求出，从而中已知两边一角，可解出

解：

由可设则

在中，

在中，由正弦定理可得：

小炼有话说：

（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。

（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的），这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算

例5：

已知中，分别是角所对边的边长，若的面积为，且，则等于___________

思路：

由已知可联想到余弦定理关于的内容，而，所以可以得到一个关于的式子，进而求出

解：

而代入可得：

答案：

例6：

在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为.

思路：

已知求可以联想到余弦定理，但要解出的值，所以寻找解出的条件，，而代入可得，再由可得，所以

答案：

例7：

设的内角所对边的长分别为，若，且，则的值为（）

A.B.C.D.

思路：

由可得：

，从而，解得，从可联想到余弦定理：

，所以有，从而再由可得，所以的值为

答案：

C

小炼有话说：

本题的难点在于公式的选择，以及所求也会让我们想到正弦定理。

但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。

所以在解三角形的题目中，条件的特征决定选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理。

如果条件中含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。

例8：

设的内角所对边的长分别为，且，则（）

A.B.C.D.或

思路：

由的结构可以联想到余弦定理：

，可以此为突破口，即，代入解得：

，进而求出，得到比例代入余弦定理可计算出

解：

由可得：

，

代入到

可得：

例9：

已知的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（）

A.B.C.D.

思路：

不妨考虑，将三个边设为，则，想到正弦定理，再将利用余弦定理用边表示，列方程解出，从而求出

解：

设，则

代入可得：

，解得：

答案：

A

小炼有话说：

本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角2倍”这个条件，可联想到正余弦的二倍角公式。

本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联系。

如果采用余弦二倍角公式，则有，即便使用余弦定理也会导致方程次数过高，不利于求解。

例10：

在中，为边上一点，，若的面积为，则_________

思路：

要求出，可在中求解，通过观察条件，可从可解，解出，进而求出，再在中解出，从而三边齐备，利用余弦定理可求出

解：

同理

答案：

小炼有话说：

（1）本题与例4想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素

（2）本题还可以利用辅助线简化运算，作于，进而利用在中得，再用解出

进而，则在上

所以可得：

，所以

三、近年好题精选

1、设的内角所对边的长分别为，且，则（）

A.B.C.D.

2、设的内角所对边的长分别为，且，则的值为（）

A.B.C.D.

3、在中，为边上一点，，若，则（）

A.B.C.D.

4、（2015，北京）在中，，则_______

5、（2015，广东）设的内角的对边分别为，若，则_______

6、（2015，福建）若锐角的面积为，且，则等于_______

答案：

7

7、（2015，天津）在中，内角的对边分别为，已知的面积为，，则的值为_________

8、（2014，天津）在中，内角的对边分别为，已知，，则的值为_______

9、（2014，山东）在中，已知，当时，的面积为_____

10、（2014，辽宁）在中，内角的对边分别为，且，已知，求：

（1）的值

（2）的值

11、（2015，陕西）设的内角的对边分别为，向量与平行

（1）求

（2）若，求的面积

12、（2015，新课标II）在中，是上的点，平分，的面积是面积的2倍

（1）求

（2）若，求的长

13、（2015，安徽）在中，，点在边上，，求的长

14、（2015，江苏）在中，已知

（1）求的长

（2）求的值

习题答案：

1、答案：

A

解析：

代入可得：

2、答案：

D

解析：

3、答案：

C

解析：

设，则，由余弦定理可得：

，代入可得：

解得：

4、答案：

1

解析：

5、答案：

1

解析：

由及可得：

，从而，由正弦定理可得：

，

解得

6、答案：

7

解析：

由，可得：

，即，再由余弦定理可计算

7、答案：

8

解析：

由余弦定理可得：

8、答案：

解析：

由可得代入到即可得到，不妨设，则

9、答案：

解析：

10、解析：

由可得：

由余弦定理可得：

即

解得：

（2）由可得：

由正弦定理可知：

为锐角

11、解析：

（1）

（2）由余弦定理可得：

即

12、解析：

（1）

（2）

在中，由余弦定理可得：

再由可解得：

13、解析：

由正弦定理可得：

由可知为等腰三角形

由正弦定理可得：

14、解析：

（1）由余弦定理可得：

（2）由余弦定理可得：

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