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1、谈话:
老师准备去水果超市买一些苹果,已知苹果每千克的单价是6元,如果我准备买1千克,你能求出什么?
(总价)
2、出示表格
已知苹果每千克的单价是6元
买的千克数
1
2
3
4
……
总价
根据学生的回答将表格填写完整。
提问:
如果买()千克,总价()元……;
观察表格,你们发现了什么?
(当学生回答:
买的千克数越多,总价就越高)
师小结:
像这样一种量变化,另一种量也随着变化,我们就把这两种量叫做相关联的量[板书:
两种相关联的量]
在这里——“买的千克数”和“总价”就是两种相关联的量。
二、探索新知
(一)体会两种相关联的量
1、出示例1表格
2、提问:
这张表格中的两个量是否相关联?
学生发现:
时间变化,路程也随着变化,路程和时间是两种相关联的量。
(补充板书)
(二)探索两个变量之间的关系
请同学们进一步观察表中的数据,找一找这两种量的变化有什么规律?
启发学生从“变化”中去寻找“不变”。
学生可能会从不同的角度去寻找规律。
2、教师可根据交流的实际情况,及时引导学生通过计算确认这一规律,并有意识地从后一种角度突出这一规律。
如果学生发现不了上述规律,可引导学生写出几组相对应的路程与时间的比,并求出比值。
3、根据上面发现的规律,进一步启发学生思考:
这个比值表示什么?
上面的规律能不能用一个式子来表示?
路程
根据学生的回答,教师板书关系式:
时间=速度(一定)
4、教师对两种量之间的关系作具体说明:
当路程和对应时间的比的比值总是一定,也就是速度一定时,我们就说行驶的路程和时间成正比例,行驶的路程和时间是成正比例的量。
(板书:
路程和时间成正比例)
反问:
在什么条件下行驶的路程和时间呈正比例?
三、教学“试一试”
1、要求学生根据表中的已知条件先把表格填写完整。
2、根据表中的数据,依次讨论表格下面的四个问题,并仿照例1作适当的板书。
3、让学生根据板书完整地说一说铅笔的总价和数量成什么关系。
四、抽象表达正比例的意义
1、引导学生观察上面的两个例子,说说它们有什么共同点。
2、启发学生思考:
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用怎样的式子来表示?
根据学生的回答,板书关系式y/x=k(一定)
五、巩固练习
1、完成第63页的“练一练”。
先让学生独立思考并作出判断,再要求说明判断理由。
你是怎样判断的?
2、做练习十三第1~3题。
第1题让学生按题目要求先各自算一算、想一想,再组织讨论和交流。
第2题先让学生独立进行判断,再指名说判断的理由。
第3题要先让学生说说题目要求我们把已知的正方形按怎样的比放大,放大后正方形的边长各是几厘米,再让学生在图上画一画。
填好表格后,组织学生讨论,明确:
只有当两种相关联的量的比值一定时,它们才能成正比例。
六、全课小结
通过这节课的学习,你有哪些收获?
七、课堂作业:
完成补充习题的相关练习
补充练习:
1、判断下面每题中的两种量是不是成正比例,并说明理由。
①每小时织布米数一定,织布总米数和时间。
②每人树植棵数一定,参加植树人数和植树总棵数。
③订阅《中国少年报》的份数和钱数。
④小新跳高的高度和他的身高。
⑤长方形的宽一定,它的面积和长。
2、选择。
a和b相关联的两种量,下面哪个式子表示a和b成正比例?
①a+b=12②=5③ab=④a-b=3.8⑤b=7a
3、x、y、z是三种相关联的量,已知x×
y=z。
当()一定时,()和()成正比例。
本单元内容练习册有关训练要求:
理解正、反比例的意义,能正确进行判断。
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量。
它们的关系就叫做正比例关系。
用关系式表示为:
=k(一定)。
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量。
它们的关系就叫做反比例关系。
x×
y=k(一定)。
判断依据:
①必须是两种相关联的量,也就是一种量变化,另一种量也要随着变化。
②商一定,正比例;
积一定,反比例;
积不一定,商也不一定,就不成比例;
和一定、差一定都不成比例。
错题成因分析:
1、圆的面积和半径成正比例。
(有些学生对此提出疑问)
虽然圆的面积随着圆半径的增大而增大,但圆的面积和它半径的比值不是固定,所以它们不成正比例。
S=πr2,S∶r=πr,r是变化的量,所以πr不是一个固定的值。
2、出油率一定,大豆的质量与油的质量。
学生不能正确说出这三者之间的关系,没有掌握正确的分析方法。
大豆的质量×
出油率=油的质量,根据这一个等量关系式,可以得出:
油的质量一定,大豆的质量和出油率成正比例。
油的质量÷
大豆的质量=出油率,可以得出:
出油率一定,油的质量和大豆的质量成反比例。
出油率=大豆的质量,得出大豆的质量一定,油的质量和出油率成正比例。
单元(或阶段性)测试情况分析:
正比例和反比例这一单元,通过丰富的情境,让学生从具体情境中抽象出正、反比例这一数学模型。
学生能理解什么是变化的量,了解生活中存在着大量的成正、反比例关系的量,也了解正、反比例的图像的特征,但由于对正、反比例在生活中的广泛应用缺乏生活的积累,学生在理解正比例、反比例的意义时存在一定的困难,感觉正、反比例的概念比较抽象。
从检测看了解到大部分学生能正确判断两个量是否成正比例或反比例,对正反比例关系的说明语言不准确,对正确描述正反比例关系有一定的困难。
其中,一部分学生对正、反比例意义的理解时思路不是很清晰。
还有一些学生在用关系式来正确描述正、反比例关系时,存在较大的困难。
第六单元或小节综合分析:
解决问题的策略
教学内容
本单元教学转化的策略。
转化是解决问题时经常采用的方法,能把较复杂的问题变成较简单的问题,把新颖的问题变成已经解决的问题。
转化的手段和具体方法是多样而灵活的,既与实际问题的内容和特点有关,也与学生的认知结构有关,掌握转化策略不仅有利于问题的解决,更有益于思维的发展。
本单元编排两道例题和一个练习,通过例1的教学让学生联系实际感悟转化的含义,体会无论在过去还是现在,转化都是解决问题的有效方法。
例2在解决较复杂的分数问题时应用转化策略,进一步体验转化的意义。
要指出的是,与前几册教材教学的倒推、置换等策略相比,转化策略的应用更为广泛,两道例题与练习十四涉及的数学内容也更丰富。
本单元的教学不以学生能够解决教材里的各个问题为目的,而在于学生对转化策略的体验与主动应用。
具有初步的转化意识和能力,对以后的学习与解决问题将会产生十分积极的作用。
回忆经历过的转化活动,初步感悟转化。
转化要利用概念进行推理。
在丰富的题材里灵活应用转化策略。
1、学生初步学会运用转化的策略分析问题,并能根据问题的特点确定具体的转化方法,灵活确定解决问题的思路,从而有效地解决问题。
2、学生通过回顾曾经运用转化策略解决问题的过程,从策略的角度进一步体会知识之间的联系,感受转化策略的应用价值。
3、学生进一步积累运用转化策略解决问题的经验,增强解决问题的策略意识,主动克服在解决问题中遇到的困难,获得成功的体验。
教学重、难点
能根据具体的问题,确定转化后要实现的目标和具体的转化方法。
2课时
用转化的策略解决问题
九年义务教育六年制小学数学第十二册P71~72.
1.教材让学生在直观的情境中想到转化,并应用图形的平移和旋转知识进行图形的等积,等周长的变形.
2.在解决实际问题过程中体会转化的含义和应用的手段,感受转化在解决这个问题时的价值。
3.进一步积累解决问题的经验,增强解决问题的"
转化"
意识,提高学好数学的信心.
教学重点:
感受“转化”策略的价值,会用“转化”的策略解决问题。
教学难点:
会用“转化”的策略解决问题。
一、观察交流,明确转化的策略
分别出示两组图片
1、出示第一组:
你能比较这两个图形面积的大小吗?
生:
第2个图形面积大。
师:
为什么:
这两个图形的高和宽是相同的,但第一个图形比第二个图形少了下面半个圆的面积。
2、出示第二组:
那这两个图形呢?
(让学生猜测。
)你是怎么比较的?
说给同桌听一听。
学生汇报。
汇报时,可能有:
(1)数方格的方法,
问:
你觉得这种方法有怎么样?
(麻烦、不准确)
(2)变成长方形进行比较。
怎样把它们变成长方形的?
第一个图形:
上面半圆向下平移5格。
第二个图形:
下半部分凸出的两个半圆分割出来,以直径的上面端点为中心,分别按顺时针和逆时针方向旋转180度。
〈设计意图:
此时学生想象会发生困难,充分利用电子白板的功能能化解难点,突出了感受“转化”策略这一重点,提高效益。
〉
教师在电子白板上将图形平移、旋转、拼合,图形的变化过程迅速呈现在学生眼前,学生清晰直观地感受到了,从而化解了理解上的障碍。
图形变化的过程中,它们的面积变了吗?
现在可以准确判断面积大小吗?
你知道你刚才比较时运用了什么策略吗?
是用的转化的策略解决问题
教师板书转化,将课题补全(用转化的策略解决问题)
3、小结:
你为什么要把原来的图形转化成长方形呢?
(原来图形复杂,难以比较,转化后图形简单了便于比较。
)看来,在解决这样的问题时,转化是一种很巧妙的策略。
二、回顾转化实例,感受转化的价值
师引导:
在以往的学习中,我们曾经就运用转化的策略解决过一些问题,回忆一下。
同桌交流。
学生充分列举,教师媒体配合演示并板书。
预设一:
推导平行四边形的面积公式时,把平行四边形转化成长方形。
预设二:
推导圆的面积公式时,把圆转化成长方形。
预设三:
推导圆柱的体积公式时,把圆柱转化成长方体。
预设四:
计算小数乘法时转化成整数乘法
预设五:
计算异分母分数加减法时,把异分母分数转化成同分母分数。
图形面积公式探索过程中,转化前后的各种对应关系,是难点也是关键处。
交互式电子白板提供了多种性能的书写笔,教师不需要使用键盘而在白板上可以直接书画和操作,方便了教学。
师生一起边找边画边批注,再加上一些简单的书写,既回忆了这些知识本身的难点,又示范了如何进行探索图形面积公式的转化,更凸现了会用“转化”的策略这一本课重点。
另外回忆计算法则的转化时,让学生直接在白板上举例,学生获得了一个实践参与的机会,而且有利于教师清晰明了地了解了学生的思维和所存在的不足,更有的放矢地进行教学,充分体现了交互、参与的新课程理念。
这些运用转化的策略解决问题的过程有什么共同点?
(把新问题转化成熟悉的或者已经解决过的问题。
)
转化是一种常用的、也是重要的解决问题的策略。
在我们以往的学习中,早就运用这一策略分析并解决问题了。
以后再遇到一个陌生问题时我们就可以把新问题转化成熟悉或已经解决的问题。
三、分层练习,运用转化的策略
下面我们就用转化的策略解决一些题目。
第一次:
空间与图形的领域
1、练一练1(课本练习十四第二题)用分数表示图中的涂色部分
通过第一个图形让学生感受到原来的图形的涂色部分无法直接用某一个分数,而通过白板将图形换色、移动、旋转,发现图中的特殊关系进行转化,可以发现涂色部分是整个圆的二分之一;
第二个图形进行巩固刚才的转化意识。
第三个图形中的涂色部分是难点,受思维定势的影响,学生误认为可以旋转得到9/16,教师要把此作为促使学生反思的好材料,利用白板进行即时分割、平移、转化,特别是刷新和局部放大、以及保存痕迹的独特功能,很好地帮助学生思考、辨析错在何处,在错误辨析中加深对转化策略运用时要保证“变中不变”的本质的理解。
〉
2、练一练2(课本练一练)先出示后,让学生计算左边长方形的周长,右边这个图形的周长怎样计算呢?
指名指周长
发现边较多,转化成什么图形可以使计算简便?
怎样转化?
指名操作
教师利用电子白板即时变色,突出周长的概念;
同时在保留平移前的痕迹的同时演示平移的过程,这样避免了由于过程发生变化,原先的图形脑子里不储存,缺乏对比说服力不强的弊端〉
刚才我们解决这个问题的策略是什么?
(复杂——简单)
3、练一练3(练习十四第三题)
〈设计意图在第2张图形中,教师利用电子白板即时变色后再移动,突出周长的概念;
第3张图形中,让学生在电子白版上实际操作图形,并利用白板回溯和重现操作过程和细节的功能,师生一起对学生的操作过程动态和细节在屏幕上评讲、纠正,一目了然,提高学生的学习兴趣以及参与和交互的积极性;
第四张图形的难点是拼合后的周长概念,教师利用电子白板即时变色,可以方便地解决。
第二次数与代数的领域
4、试一试:
1/2+1/4+1/8+1/16
这道题我们以前都是通分然后按顺序求和的。
还有不同的转化吗?
(可以化小数求和)
你对这种转化有什么看法?
(化小数反而麻烦)
看右边正方形图。
观察图可以把这一算式转化成什么算式来计算?
图中那一部分表示这几个数的和?
空白部分是大正方形的几分之几?
能不能根据空白部分求出涂色部分?
小组交流。
利用数转化为图形来解决问题对学生来说是史无前例的,因此即使算式和图形静态放在一起,学生也是无从下手的,针对这一难点,利用白板软件中复制副本、层等的特点将图形和数字组合在一起拖动,巧妙地暗示了其中的联系,学生在轻松自然学会用“转化”的策略解决问题。
小结:
要求阴影部分的和可以从空白部分着想,看来用转化的思想解决问题也可以从反面入手。
我们要善于从不同的角度灵活地分析问题,换个角度思考,你就会有全新的收获。
5、练一练4(课本练习十四1)
每一排的点分别表示每一轮参加比赛的球队,把两个点合成一个点的过程表示进行了一场比赛。
淘汰制是指每场比赛都要淘汰1支球队。
运用白板软件中的拉幕功能,让学生根据示意图的逐步提示,领会淘汰制的含义,通过图示找到被淘汰的队伍有15个。
)
如果64个球队呢?
100个呢?
有更简单的计算方法吗?
(师板书:
产生冠军,就是要淘汰多少支队伍?
)为什么16-1就是求的比赛的场数?
引导学生将这题的解题方法转化为求被淘汰的队伍的个数,只要去掉一个冠军就是要打的场数。
四、故事启迪,领悟转化的技巧
1、数学家爱迪生求灯泡的容积的故事(幻灯片)有一次,爱迪生把一只灯泡交给他的助手阿普顿,让他计算一下这只灯泡的容积是多少。
阿普顿是普林顿大学数学系高材生,又在德国深造了一年,数学素养相当不错。
他拿着这只梨形的灯泡,打量了好半天,又特地找来皮尺,上下量了尺寸,画出了各种示意图,还列出了一道又一道的算式。
一个钟头过去了。
爱迪生着急了,跑来问他算出来了没有。
“正算到一半。
”阿普顿慌忙回答,豆大的汗珠从他的额角上滚了下来。
“才算到一半?
”爱迪生十分诧异,走近一看,哎呀,在阿普顿的面前,好几张白纸上写满了密密麻麻的算式。
“何必这么复杂呢?
”爱迪生微笑着说,“你把这只灯泡装满水,再把水倒在量杯里,量杯量出来的水的体积,就是我们所需要的容积。
”
“哦!
”阿普顿恍然大悟。
他飞快地跑进实验室,不到1分钟,没有经过任何运算,就把灯泡的容积准确地求出来了。
听了这个故事,你明白了什么道理?
利用音频等丰富多彩的媒体,使原本单调的内容变得更为生动有趣〉
2、总结:
多位数学家说过:
“什么叫解题?
解题就是把题目转化为已经解过的题。
今天我们学习了用转化的策略解决问题,在解决问题时我们要善于运用转化,用好转化策略,才能正确解题。
本单元内容练习册有关训练要求:
1、让学生在直观的练习情境中内化转化策略,增强他们解决问题的策略意识,并应用图形的平移和旋转知识进行图形的等积、等周长的变形。
2、在解决实际问题过程中体会转化的含义和应用的手段,感受转化在解决这个问题时的价值。
3、进一步积累解决问题的经验,增强解决问题的"
意识,提高学好数学的信心。
1、同步练第53页第3题
如果让学生求一个正方体的表面积的话,学生都会解。
但是给了一个不规则立体图形,让他们求表面积,就有困难了。
由此可见,学生的空间观念比较薄弱,还未确立真正的策略意识,还处于为了用策略而用策略的阶段。
2、同步练第53页第6题
学生不能将算式与图像完美的链接起来,处于嘴唇两片皮的状态,学生的逻辑推理和抽象思维能力有待提高,同时策略不是单个的个体,策略意识还应具有整体视野。
3、同步练第55页第3题
很多学生将这道题与书上第74页第1题混同看待,说明学生对“单场淘汰制”、“单循环制”的含义不理解,这是缺乏生活经验的表现。
反思本单元的教学,有得也有失。
注重数学思想方法的渗透,力求让课堂上的数学味儿再浓一些是我的追求,如何使“转化”策略内化为学生自身解题的需求是我仍需探索研究的课题。
同时,在教学中,我还应更加强调本单元的难点:
根据具体问题,确定转化后要实现的目标和转化的具体方法。
使学生明确:
不能为了转化而转化,通过转化,是要建立起所求问题和已知数量之间的联系,变间接条件为已知条件,让解题变得简便。
本单元的教学,不是教会学生解几道题,而是要让学生确立解决问题的策略意识。
通过测试,我们发现培养学生的策略意识必须矢志不渝,必须从低年级就有渗透。
第七单元或小节综合分析:
统计
在前面的教材里,学生已经认识了条形统计图和折线统计图,能够利用这些统计图表示数据及变化态势;
初步理解了平均数的意义,会求一组数据的平均数,能够应用平均数对数据进行分析、比较。
本单元教学扇形统计图、众数和中位数,扇形统计图过去是选学内容,现在是基本的教学内容,而众数和中位数是根据《标准》的要求新增加的教学内容。
扇形统计图能直观地表示出各个部分的数量分别是总数量的百分之几,众数和中位数都是统计量,在平均数不能有效地反映出一组数据的基本特点时,往往选用众数或中位数来表达数据的特点。
因此,本单元的教学能进一步提高学生表示数据、分析数据的能力。
教材编排了四道例题和两个练习,例1和练习十五主要教学扇形统计图的知识,例2至例4以及练习十六教学众数和中位数的知识。
1、以百分数的知识为基础,教学扇形统计图。
2、联系现实的素材,教学众数和中位数。
1.扇形统计图的教学要求是看懂图的内容,理解图上的每个百分数的具体含义,能利用图呈现的数据进行分析、比较、计算。
2、整理数据,认识众数。
分析数据,认识中位数。
选用合适的统计量,反映数据的实际状况。
3、使学生进一步体会统计在实际生活中的价值,感受数学与生活的密切联系,发展数学应用价值。
结合对百分数意义的理解,对扇形统计图提供的信息进行简单的分析,提出或解决简单的实际问题;
初步理解众数和中位数的意义。
3课时
认识中位数
国标苏教版第十二册第80-81页例3、例4、练一练,练习十六第2、3题
1.让学生通过具体的实例,初步理解中位数的意义,会求一组简单数据的中位数;
能根据具体的问题,选择适当的统计量表示一组数据的特征,体会不同统计量的特点。
2.让学生在认识中位数的过程中,经历运用数据描述信息、做出判断、解决简单实际问题的过程,发展统计观念。
3.让学生进一步体会统计在实际生活中的作用,感受数学与生活的密切联系,发展数学应用意识。
理解中位数的意义,会求一组数据的中位数。
理解平均数、中位数在描述一组数据特征方面的差异,能根据具体问题情境,恰当地选择统计量。
一、创设矛盾,引出新知
1.谈话:
在一次跳绳比赛中,高明同学跳了110下,而他所在的男生小组的平均成绩是117下。
你认为他的成绩在小组中是怎样的?
(出示例3的表格)
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
成绩∕下
102
170
96
90
97
106
110
182
100
2.你看到这个表格的成绩后又有什么想法?
同一个成绩,用平均数来衡量觉得不怎么样,可在小组中却是第三名,名次比较好。
为什么会出现这种情况呢?
看来有时候仅仅用平均数还不能正确反映一组数据的真实情况,今天我们就来学习一种新的统计量——中位数。
(板书课题:
认识中位数)
3.明确所要探究的问题:
对于中位数,你有什么疑问和问题需要解决?
学生可能会提出以下问题,师生共同提炼出来。
师板书:
什么是中位数?
怎样找出中位数?
中位数有什么特征和作用?
设计意图:
通过创设具体情境,引出矛盾,揭示平均数这个统计量的局限性,从而激起认知冲突,产生引入新的统计量的认知欲望,激发学生的求知欲。
二、引导探究,学习新知
1.探索新知,感悟特征
(1)教师谈话揭示出中位数的概念。
把一组数据按大
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