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数量关系:
______________________列式:
_______________________
(2)小华用20元钱买了2支圆珠笔,每支圆珠笔的价钱是多少元?
______________________列式:
(3)刘叔叔买了2瓶冰红茶,花了6元钱,每瓶冰红茶的价钱是多少元?
__________________________列式:
____________________
(4)一辆汽车每小时行驶70千米,从甲地到乙地行驶了4小时,一共行驶了多少千米?
___________________
(5)小华5分钟步行400米,每分钟步行多少米?
(6)从甲地到乙地的距离是400千米,一辆汽车行驶了8小时,这辆车每小时行驶多少千米?
_________________________列式:
(7)玩具厂要加工一批玩具,每天加工120件,10天加工完成,这批玩具一共有多少件?
数量关系:
_______________________列式:
_________________________
(8)刘叔叔计划5天加工200个相架,平均每天加工多少个相架?
_________________________列式:
________________________
(9)王老师买了2盒圆珠笔,每盒15元,王老师一共花了多少元?
________________________列式:
3.判断:
对的画“√”,错的画“×
”
(1)已知单价和数量,求总价用单价×
数量。
( )
(2)知道每个铅笔盒的价钱是12元,要买6个铅笔盒是求单价。
()
(3)每双手套的价钱是20元,用100元可以买多少双手套是求数量,用乘法。
()
(4)一辆汽车3小时行驶了180千米,平均1小时行了多少千米?
数量关系是:
时间×
速度=路程。
()
(5)知道每块橡皮的价钱和买的块数,求一共用的钱数,用总价÷
(6)火车每小时行80千米,行驶900千米,需要几小时是求时间。
(7)速度÷
时间=路程。
(8)已知工作总量和工作效率,求工作时间应该用工作总量÷
工作效率。
(9)张师傅每小时加工了40个零件,每天工作8小时,一共能加工多少个零件是求工作效率。
(10)小华每分钟步行60米,步行300米需要多少分钟是求工作时间。
(11)一艘海轮每小时行36千米,航行6小时共航行了多少千米是求工作总量,用乘法。
4.解决下面的问题
(1)小红的妈妈去水果商店买香蕉,她花了30元买了5千克香蕉,每千克香蕉的售价是多少元?
(2)学校买了4个排球,每个36元,买这些排球一共用了多少元钱?
(3)每盒羽毛球的售价是40元,小丽买了3盒,一共需要多少元钱?
商店促销后,每盒羽毛球的售价为28元,促销后买这些羽毛球花多少元钱?
(4)一列火车每小时行驶80千米,8小时一共行驶了多少千米?
(5)小红步行每分钟行驶50米,步行500米需要多少分钟?
步行1000米呢?
(6)电冰箱厂计划每天生产80台电冰箱,10天一共生产了多少台电冰箱?
(7)小强每分钟跳绳110下,跳了3分钟,一共跳了多少下?
(8)修一条长1500米的路用了3天,平均每天修多少米?
专题二高斯求和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数,又叫等差数列。
等差数列里数的个数叫做这个等差数列的项数,每一个数称为一项,其中最前面一项称为首项,最后面一项称为尾项。
等差连续数的和=(首项+尾项)×
项数÷
2
一.例题选讲
【例1】计算:
2+5+8+11+14+17+20+23
【分析与解】观察,每相邻两个数的差都是3,所以这是一个等差连续数求和。
首项是2,尾项是23,一共有8个数相加,项数是8。
根据等差连续数的和公式可求结果。
【解】2+5+8+11+14+17+20+23
=(2+23)×
8÷
=25×
=100
【例2】计算:
8+10+12+14+16+18+20
【分析与解】先观察,每相邻两个数的差都是2,所以可以运用公式求和,这题有7个数(奇数个数),中间数14就是这7个数的平均数。
因此,这七个数的和还等于中间数乘以7的积。
【解法一】8+10+12+14+16+18+20
=(8+20)×
7÷
=28×
=98
【解法二】8+10+12+14+16+18+20
=14×
7
【例3】5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5
【分析与解】可将5、6、7、8、9看作一个等差数列,这样此题的和包括两个这样的等差数列和再加上一个10即可。
5、6、7、8、9五个数的和,只要用中间数乘以个数即可。
【解】5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5
=(5+6+7+8+9)×
2+10
=7×
5×
=70+10
=80
【例4】计算:
9+11+13+15+17+19+22
【分析与解】仔细观察,前6个数每相邻两个数之间都相差2,可看作是一个等差数列。
但19与22相差3,不能算。
因此先求前6个数等差数列的和再加上22即可。
【解】9+11+13+15+17+19+22
=(9+19)×
6÷
2+22
=84+22
=106
【例5】计算:
8+9+10+11+12+13+15+17+19+21+23
【分析与解】先观察,此题可分成两个等差数列求和,前5个数可看作一个每相邻两个数相差1的等差数列。
后6个数可看作一个每相邻两个数相差2的等差数列。
【解】8+9+10+11+12+13+15+17+19+21+23
=(8+9+10+11+12)+(13+15+17+19+21+23)
=10×
5+(13+23)×
=50+36×
=50+108
=158
【例6】杨晨为了买课外书自己存钱,2003年元月存1元钱,以后每月都比前一个月多存1元钱,那么2003年这一年里一共可存多少钱?
【分析与解】一月份存1元,二月份应存2元,三月份应存3元,……12月份应存12元。
1+2+3+4+……+11+12
=(1+12)×
12÷
=78(元)
答:
2003年这一年里一共可存78元钱。
【例7】三年级数学培优班第1小组有8名同学,开学时,老师要求该组每两人都握一次手,问共握多少次手?
【分析与解】第1个同学和其余7名同学都握一次,共握手7次,除第1个同学外,第2个同学与其余6名同学都握一次手,共握手6次。
除前2个同学外,第3个同学与其余5名同学各握手一次,共握手5次,依次类推,他们握手的总次数应为
7+6+5+4+3+2+1
【解】7+6+5+4+3+2+1
=4×
=28(次)
共握手28次。
二.巩固练习
1.计算下面各题。
①1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
②3+6+9+12+15+18+21
③20+17+14+11+8+5+2
④13+17+21+25+29+33+37+41+45+49
⑤12+13+14+15+16+18+20+22+24+26
⑥5+7+9+11+13+15+17+19+21+25
⑦2+4+6+8+……+998+1000
2.求所有十位数字与个位数字相同的两位数的和。
3.一辆双层公共汽车空车出发,第一站上一位乘客,第二站上两位,第三站上三位,依次类推,到第11站之后,公共汽车上的座位刚好坐满,求这辆公共汽车共有多少个座位?
4.如图11-1,有一堆电线杆,最底下一层有29根,倒数第二层有28根,以后每往上一层减少一根,最顶上一层有1根,这堆电线杆有多少根?
5.计算23+25+27+29+31+33+36+39+42+45+48
6.求所有十位数字比个位数字大1的两位数的和。
专题三植树问题
(一)
一.基础知识
小聪要爷爷出一道趣味算术题。
爷爷给他念了一首顺口溜:
湖边春色分外娇,一株杨柳一株桃。
平湖周长二公里,四米一株都栽到。
漫步湖畔红绿色?
可知桃柳各多少?
这道顺口溜实际上是一道应用题,这类应用题,叫做植树问题。
植树问题是关于全长(2公里)、株距(4米)和棵数的应用题,只要知道其中两个量,就可以求出第三个量。
植树问题具有下面的基本数量关系:
路长=株距×
段数
段数=路长÷
株距
株距=路长÷
植树问题通常有两种情况:
一是植树路线是不封闭的;
另一种是植树路线是封闭的,本讲重点研究非封闭线上的植树及推广。
二.例题选讲
【例1】学校门前有一条直直的小路长27米,在小路的一旁每隔3米种一棵杨树,头尾共种多少棵树?
【分析与解】从图上可以看出,“每隔3米种一棵树”就把这条小路平均分成了9段,因为两端都有一棵树,所以总棵数应当是9+1=10(棵)
【解】
(1)求段数:
27÷
3=9(段)
(2)求棵数:
9+1=10(棵)
综合算式:
3+1=10(棵)
答:
头尾一共种10棵树。
【例2】两棵大树相距120米,在两棵大树中间补栽19棵小树,每两棵树的间隔距离相等,树与树之间的间隔是多少米?
【分析与解】本题就是把全长120米平均分成19+1=20(段)。
(因为是在两棵大树中间栽树,所以两端不必再栽,因此,补栽的棵数比分的段数少1。
)求树的间隔就是求每一段长多少米。
【解】
(1)全长分成的段数:
19+1=20(段)
(2)树的间隔:
120÷
20=6(米)
综合算式:
120÷
(19+1)=6(米)
树与树之间的间隔是6米。
【例3】在博物馆前小路的一侧每隔10米种一棵杨树(门前不种),共种120棵杨树,小路全长多少米?
【分析与解】由于树本身会占有一定的空间,所以通常在门前不能种树,此题就变成只种一头的植树问题。
求小路全长,仍然要先找段数和每段长度,在本题中每段长10米,通过画图研究我们可以知道在只种一头时,棵数=段数,所以共有120段,可直接求全长。
(1)全长分成的段数:
120棵=120段
(2)小路全长:
10×
120=1200(米)
小路全攻1200米。
【例4】一条走廊从一端到另一端每隔2米放一盆花,两侧总共放了36盆花,这条走廊长多少米?
【分析与解】一盆花相当于一棵树。
走廊两侧共放了36盆花,那么一侧放36÷
2=18(盆),走廊两端各摆放一盆花,说明走廊被花盆分成了18-1=17(段),每段长2米,由此即可求出走廊长度。
【解】
(1)一侧花的盆数:
36÷
2=18(盆)
(2)一侧的段数:
18-1=17(段)
(3)走廊的长度:
2×
17=34(米)
2×
(36÷
2-1)=34(米)
这条走廊长34米。
三.巩固练习
1.一条水渠长360米,在它的一侧每隔4米植一棵树(两端都要植),共植树多少棵?
2.沿一条公路的一侧植树,每隔4米一棵,共植树101棵,这条公路长多少米?
3.在一条长400米的小路一侧,从头到尾共种41棵树,每两棵小树之间相隔多少米?
4.在一条40米长的走廊上,均匀地放了7盆花,两端不放,每两盆花之间相隔多少米?
5.两栋居民楼相距60米,绿化队准备在两楼之间栽一行树,每两棵树苗之间相距3米,一共可以栽多少棵树?
6.一条路长200米,先在它的一端种一棵柳树后,每隔10米种一棵杨树,在这条路的一侧共可种杨树多少棵?
7.在一条长4千米的街道两侧安装路灯(两端也要安),每隔40米安一盏,一共要安装多少盏路灯?
专题四植树问题
(二)
本节继续研究植树问题,重点探讨封闭线的植树及有关应用。
对一条没有端点的封闭状路,基本关系有:
路长=株距×
棵数
解决植树问题首先得考虑植树的线路,其次要弄清楚植树的要求。
一.例题选讲
【例1】一个圆形的花园周长是150米,沿花园的外圈每隔10米栽一棵树,一共可以栽多少棵?
【分析与解】圆形花园的外圈是个封闭的线路,首尾相接,分的段数正好等于植树的棵数。
【解】150÷
10=15(棵)
一共可以栽15棵。
【例2】在一个正方形的池塘四边上种树,每边种10棵(四个角上都种一棵),四边一共种了多少棵?
【分析与解】这是在首尾相接的线路上植树的问题,树的棵数和段数相等,先求出每边上的段数,再求四边共有的段数。
当然我们还可以先求出四条边一共种了多少棵,再减去四个角重复计算的四棵,也可以求出四边一共有的棵数。
【解法一】
(1)正方形每边的段数:
10-1=9(段)
(2)四边共有的段数:
9×
4=36(段)
因为段数=棵数,所以一共种了36棵树。
(10-1)×
4=36(棵)
答:
四边一共种了36棵。
【解法二】
(1)四条边共种的棵数:
4=40(棵)
(2)一周共种的棵数:
40-4=36(棵)
10×
4-4=36(棵)
【例3】一个圆形的花坛,周长是180米,每隔6米种芍药花,每相邻两棵芍药花之间均匀地种两棵月季花,问可栽多少棵芍药花?
多少棵月季花?
两棵月季花之间最少有几米?
【分析与解】因为每相邻的两棵芍药花之间均匀地种两棵月季花,即每6米长的一段株距上都种两棵月季花,所以月季花的棵数是芍药花的2倍。
6米长的一段,株距两端是芍药花,中间是月季花,4棵花把这一段平均分成4-1=3小段,每小段长6÷
(4-1)=2(米),这就是离得最近的两棵月季花之间的距离。
【解】芍药花:
180÷
6=30(棵)
月季花:
30×
2=60(棵)
两棵月季花之间的距离:
6÷
(4-1)=2(米)
答:
可栽30棵芍药花,60棵月季花,两棵月季花之间最少有2米。
【例4】一个圆形的街心花园,花园四周的长度是320米,现在计划在花园的四周等距离地修8个花台,每个花台长10米。
相邻两个花台之间的距离是多少米?
【分析与解】求两个花台之间的距离用花园全长除以花台个数即可,但由于每个花台都有10米的长度,所以先必须从花园全长里减去8个花台的长度。
【解】
(1)8个花台长度:
10×
8=80(米)
(2)两花台的间隔距离:
(320-80)÷
8=30(米)
综合算式:
(320-10×
8)÷
相邻两个花台之间的距离是30米。
【例5】学校有一个光辉正五边形花坛,学生们在它的每边都摆上5盆花(五个顶点各有一盆),间隔是80厘米,这个五边形花坛的周长是多少厘米?
【分析与解】每边5盆花,除去顶上的2盆,每边中间有3盆,5边就有15盆,再加上顶点上的5盆,一共是20盆。
因为五边形是封闭的,20盆花正好有20个间隔,可利用公式求解。
【解】
(1)这个花坛摆花的总盆数:
(5-2)×
5+5=20(盆)
(2)五边形的周长:
80×
20=1600(厘米)
这个五边形花坛的周长是1600厘米。
【例6】一块长方形坝长164米,宽62米,在坝四周围,距坝边2米的长方形边上,每隔2米栽一棵树,一共栽了多少棵?
【分析与解】因为是在距坝边2米的地方栽树,这是一个在长是(164+4)米、宽是(62+4)米的封闭线路上的植树问题,用长方形的周长除以它的株距就得出树的棵数。
【解】
(1)长方形的周长:
(164+4+62+4)×
2=468(米)
(2)栽树的棵数:
468÷
2=234(棵)
一共栽了234棵。
二.巩固练习
1.一个圆形养鱼池的周长是240米,沿着它的周长栽一圈柳树,每隔3米栽一棵,一共可以栽多少棵?
2.同学们用花盆在校园里摆成一个正方形,4个顶点各有一盆,每边都有20盆,一共有多少盆花?
3.在一个淡水湖四周筑成周长为8000米的大堤,堤上每隔8米栽柳树一棵,然后在每相邻两棵柳树之间均匀地栽了3棵桃树。
问可栽多少棵柳树?
多少棵桃树?
两棵桃树之间最少有多少米?
4.某环城公共汽车从起点到终点是一个圆形路线,全长80100米,在圆形路线上等距离地设有20个站台,每个站台长5米。
问相邻两个站台之间的距离是多少米?
5.某街心花坛是一个正六边形,园林工人在花坛的每一边都摆上了7盆鲜花(六个顶点各有一盆),间隔都是1米,这个六边形花坛的周长是多少米?
6.有一个正方形水池的边长是40米,在水池外围2米的地方沿四周围一圈铁栏杆,每相隔2米竖一根铁管,一共竖了多少根铁管?
7.在一个周长为1200米的住宅小区周围绿化,每隔12米种一棵槐树,在相邻两棵槐树之间每隔3米又种一棵杨树,问槐树和杨树一共有多少棵?
8.在一个正方形花塘的四周种上树,四个顶点都种有一棵树,这样每边都有24棵,四周一共种了多少棵?
专题五简单的归一问题
一.基础知识
归一问题是常见的典型应用题之一。
因为这种问题的求解,往往归结到先求出一个单位的数量(通称“单一量”),然后再求若干个单一量是多少或某数里包含几个单一量,因此,把用这种方法解答应用题,称为归一应用题。
二.例题选讲
【例1】工人们修一段路4天修路48米,照这样计算,10天修路多少米?
【分析与解】要求“工人们10天修路多少米”,首先要知道工人们每天修多少米,可以利用“4天修路48米”这个条件求得。
(1)工人们每天修多少米?
(2)10天修路多少米?
48÷
4=12(米/天)12×
10=120(米)
综合算式:
4×
10天修路120米。
【例2】李佳3小时植树10棵,照这样的速度,9小时植树多少棵?
【分析与解】通过分析我们发现在计算每小时植树棵数时10÷
3除得的商有余数,这时我们可以利用时间上的倍比关系求得9小时里包含3个3小时,那么也就有3个10棵。
(1)9小时里有多少个3小时?
(2)9小时植树多少棵?
9÷
3=310×
3=30(棵)
(9÷
3)=30(棵)
李佳9小时植树30棵。
【例3】一列火车8小时行640千米,照这样的速度,行1600千米需要多少小时?
【分析与解】求行1600千米需要多少小时就是求在1600千米里有多少个1小时所行的路程。
(1)火车每小时行多少千米?
(2)行1600千米需要多少小时?
640÷
8=80(千米/小时)1600÷
80=20(小时)
1600÷
(640÷
80)=20(小时)
行1600千米需要20小时。
【例4】5台拖拉机每天耕地200公亩,现在有1400公亩土地需同样的拖拉机多少台?
【分析与解】此题和例3类型相似我们还可以利用例2的解法,通过1400和200之间的倍比关系去解决。
解法一:
(1)每台每天耕地多少公亩?
(2)耕1400亩需多少台拖拉机?
200÷
5=40(公亩/天)1400÷
40=35(台)
1400÷
(200÷
5)=35(台)
解法二:
(1)1400公亩有多少个200公亩?
(2)共需多少台拖拉机?
200=75×
7=35(台)
(1400÷
200)=35(台)
需要同样的拖拉机35台。
1.小明5天看书60页,照这样计算,20天共看书多少页?
2.后勤王老师买5盒粉笔用了15元,照这样计算,买20盒粉笔一共用多少元钱?
3.一只小蜗牛,6分钟爬行12分米,照这样计算的速度,1小时爬行多少分米?
4.一只小老虎3天可90千克的肉,照这样计算,7天吃肉多少千克?
5.修一条长1200米的道路,前7天修了420米,照这样计算,修完这条路共需要多少天?
6.卢奇4天看书50页,照这样的速度看完一本100页的书需要多少天?
专题六较复杂的归一问题
一.基础知识
有时我们在解决归一应用题时需要通过两次除法才能得到单一量,我们称之为双归一应用题。
【例1】晟嘉农场中,4台拖拉机3小时耕地72公顷,照这样计算5小时6台拖拉机可以耕地多少公顷?
【分析与解】此题关键是求出每台拖拉机每小时耕地多少公顷这一单一量,再求出5小时6台拖拉机耕地的公顷数。
(1)每台拖拉机每小时耕地多少公顷?
72÷
3÷
4=6(公顷/小时)
(2)5小时6台拖拉机可以耕地多少公顷?
6×
6=180(公顷)
5小时6台拖拉机可以耕地180公顷。
【例2】晟嘉农场中4台拖拉机3小时耕地72公顷,照这样计算想在2小时内耕完84公顷土地需要几台拖拉机?
【分析与解】与例1不同的是最后要求的问题是84公顷地2小时耕完需要
多少台拖拉机,我们可以理解为求数量。
(1)每台每小时耕地多少公顷?
4÷
3=6(公顷/小时)
(2)2小时耕84公顷地需要多少台拖拉机?
84÷
2÷
6=7(台)
需要拖拉机7台。
【例3】刘华帅前3天做数
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