经典均值不等式练习题.doc
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经典均值不等式练习题.doc
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均值不等式
均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一,在形式上均值不等式比较简单,但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件(正、定、等)。
1.
(1)若,则
(2)若,则 (当且仅当时取“=”)
2.
(1)若,则
(2)若,则 (当且仅当时取“=”)
(3)若,则(当且仅当时取“=”)
3.均值不等式链:
若都是正数,则,当且仅当时等号成立。
(注:
以上四个式子分别为:
调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权(平方)平均数)
一、基本技巧
技巧1:
凑项
例已知,求函数的最大值。
技巧2:
分离配凑
例求的值域。
技巧3:
利用函数单调性
例求函数的值域。
技巧4:
整体代换
例已知,且,求的最小值。
典型例题
1.若正实数X,Y满足2X+Y+6=XY,则XY的最小值是
2.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是()
A.0 B.1 C.2 D.4
3.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则a的取值范围为()
A. B. C. D.
4.若直线2ax+by-2=0(a,b∈R+)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则+的最小值是()
A.1 B.5 C.4 D.3+2
5.已知x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是.
6.已知,且满足,则xy的最大值为.
7.设若的最小值为()
A8B4C1D
8.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()
A.B.C.5D.6
9.若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是(写出所有正确命题的编号).
①;②;③;④;⑤
10.设,则的最小值是()
(A)1(B)2(C)3(D)4
11.下列命题中正确的是
A、的最小值是2B、的最小值是2
C、的最大值是D、的最小值是
12.若,则的最小值是______
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