线面垂直的证明中的找线技巧.doc
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线面垂直的证明中的找线技巧
u
u通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直
1如图1,在正方体中,为的中点,AC交BD于点O,求证:
平面MBD.
证明:
连结MO,,∵DB⊥,DB⊥AC,,
∴DB⊥平面,而平面∴DB⊥.
设正方体棱长为,则,.
在Rt△中,.∵,∴.∵OM∩DB=O,∴⊥平面MBD.
评注:
在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明.
u利用面面垂直寻求线面垂直
2如图2,是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC.求证:
BC⊥平面PAC.
证明:
在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D.
因为平面PAC⊥平面PBC,且两平面交于PC,
平面PAC,且AD⊥PC,由面面垂直的性质,得AD⊥平面PBC.又∵平面PBC,∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,平面ABC,∴PA⊥BC.
∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.
(另外还可证BC分别与相交直线AD,AC垂直,从而得到BC⊥平面PAC).
评注:
已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直线面垂直线线垂直.
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:
线线垂直线面垂直面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明.
3如图1所示,ABCD为正方形,⊥平面ABCD,过且垂直于的平面分别交于.求证:
,.
证明:
∵平面ABCD,
∴.∵,∴平面SAB.又∵平面SAB,∴.∵平面AEFG,∴.∴平面SBC.∴.同理可证.
评注:
本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化.
4如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:
AH⊥平面BCD.
证明:
取AB的中点F,连结CF,DF.
∵,∴.
∵,∴.
又,∴平面CDF.
∵平面CDF,∴.
又,,
∴平面ABE,.
∵,,,
∴平面BCD.
评注:
本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直.如此反复,直到证得结论.
5如图3,是圆O的直径,C是圆周上一点,平面ABC.若AE⊥PC,E为垂足,F是PB上任意一点,求证:
平面AEF⊥平面PBC.
证明:
∵AB是圆O的直径,∴.
∵平面ABC,平面ABC,
∴.∴平面APC.
∵平面PBC,
∴平面APC⊥平面PBC.
∵AE⊥PC,平面APC∩平面PBC=PC,
∴AE⊥平面PBC.
∵平面AEF,∴平面AEF⊥平面PBC.
评注:
证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系.
6.空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,求证:
AC⊥BD
证明:
过A作AO⊥平面BCD于O
同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心
7.证明:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D
证明:
连结AC
AC为A1C在平面AC上的射影
8.如图,平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点,求证:
.证:
取PD中点E,则
9如图在ΔABC中,AD⊥BC,ED=2AE,过E作FG∥BC,且将ΔAFG沿FG折起,使∠A'ED=60°,求证:
A'E⊥平面A'BC
分析:
弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
解:
∵FG∥BC,AD⊥BC
∴A'E⊥FG
∴A'E⊥BC
设A'E=a,则ED=2a
由余弦定理得:
A'D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°
=3a2
∴ED2=A'D2+A'E2
∴A'D⊥A'E
∴A'E⊥平面A'BC
10如图,在空间四边形SABC中,SA^平面ABC,ÐABC=90°,AN^SB于N,AM^SC于M。
求证:
①AN^BC;②SC^平面ANM
分析:
①要证AN^BC,转证,BC^平面SAB。
②要证SC^平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SC^AM,SC^AN。
要证SC^AN,转证AN^平面SBC,就可以了。
证明:
①∵SA^平面ABC
∴SA^BC
又∵BC^AB,且ABSA=A
∴BC^平面SAB
∵AN平面SAB
∴AN^BC
②∵AN^BC,AN^SB,且SBBC=B
∴AN^平面SBC
∵SCC平面SBC
∴AN^SC
又∵AM^SC,且AMAN=A
∴SC^平面ANM
11已知如图,P平面ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90°求证:
平面ABC⊥平面PBC
分析:
要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可。
显然BC中点D,证明AD垂直平PBC即可
证明:
取BC中点D连结AD、PD∵PA=PB;∠APB=60°∴ΔPAB为正三角形
同理ΔPAC为正三角形设PA=a在RTΔBPC中,PB=PC=a
BC=a∴PD=a在ΔABC中AD=
=a∵AD2+PD2==a2=AP2∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC
∴AD⊥平面PBC
∴平面ABC⊥平面PBC
12.如图,直角BAC在外,,,求证:
在内射影为直角。
证:
如图所示,、
为射影
确定平面
13以AB为直径的圆在平面内,于A,C在圆上,连PB、PC过A作AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,试判断图中还有几组线面垂直。
解:
面AEF
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