极坐标与参数方程15道典型题Word格式文档下载.docx
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222
sin)3,所以xy3;
(2)若C2与C1有两个不同的公共点,求m的取值范围
解:
(1)由极直互化公式得C1:
2(cos2
分
消去参数t得C2的方程:
y2x2m1
(2)由
(1)知Ci是双曲线,C2是直线,把直线方程代入双曲线方程消去y得:
解:
(I)
(n)设
P到直线
x=2cose,y=3sineF(2cose,3sin
|2cos
I的距离d=-
C:
(e为为参数),1:
X—3y+9=0.
e),则|AF=(2cose—1)2+(3sin
e—3sine+9|2cose—3sine+92
e)=2—cos
22
由|AF=d得3sine—4cose=5,又sine+cos
=1,得sin
A3
0=-,cos
5
e=-5
…10分
故P(-5,9
4..在极坐标系Ox中,直线C的极坐标方程为psine=2,M是C上任意一点,点F在射线OM上,且满足|OF•|OM=4,记点F的轨迹为C2.
(I)求曲线C2的极坐标方程;
(n)求曲线C2上的点到直线pcos(e+亍)=,2的距离的最大值.
(I)设F(p,e),M(p1,e),依题意有p1Sine=2,pp1=4.
消去p1,得曲线G的极坐标方程为p=2sine.5分
(n)将C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,得
C2:
x2+(y—1)2=1,G:
x—y=2.
O是以点(0,1)为圆心,以1为半径的圆,圆心到直线C的距离d=牛2
(1)
42sin(—)4sin4cos,所以
4sin4cos。
2)2
所以x2y24x4y0,即(x2)2(y
直线l的普通方程为.3xy2.330。
(2)
把I的参数方程代入x2y24x4y0得:
t2(45•、3)t330。
设A,B对应参数分别为t1,t2,则址233,点P(2,3)显然在I上,
10
由直线I参数t的几何意义知|PA||PB||址2I33。
6.在直角坐标系xOy中,直线I的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,OC的极坐标方程为p=sin0.
(I)写出OC的直角坐标方程;
(n)p为直线I上一动点,当p到圆心c的距离最小时,求p的直角坐标.
.解:
(I)由0「的极坐标方程为P=2sin0.
2八、r22
■'
■P=2,化为x+y=,
配方为=3.……5分
(II)设P,又C.
•••|PC|==>
2,
因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).……10分
7.在直角坐标系xOy中,以0为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方
n
程为Pcos(0--—)=1,MN分别为C与x轴、y轴的交点.
3
(I)写出C的直角坐标方程,并求出MN的极坐标;
(H)设MN的中点为P,求直线0P的极坐标方程.
⑴将极坐标方程pcos0--—=1化为:
13
pcos0.
直线OP的直角坐标方程为
pcos0+于psin0=1.
则其直角坐标方程为:
2x+今讨=1,M2,0),N0,Z—,其极坐标为M2,0),N-2—3,-2.
化简得tan0=-—3,即极坐标方程为0="
6,
8.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1
的极坐标方程为p2=,直线I的极坐标方程为p=.
(I)写出曲线G与直线l的直角坐标方程;
(H)设Q为曲线G上一动点,求Q点到直线l距离的最小值.
【解答】
(I)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,
曲线G的极坐标方程为p2=,直线I的极坐标方程为p=,
根据p2=x2+y2,x=pcos0,y=psin0,
则Gi的直角坐标方程为x2+2y2=2,直线I的直角坐标方程为.
(H)设Q则点Q到直线I的距离为
一?
当且仅当,即(k€Z)时取等号.
•••Q点到直线I距离的最小值为.
9.在直角坐标系xOy中,曲线G的参数方程为(a为参数)M是G上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线G2
(I)求C2的方程;
(H)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线0=与G1的异于极点的交点为A,
与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
(II)根据(I)将求出曲线C1的极坐标方程,分别求出射线0=与Cl的交点A的极径为P1,
以及射线0=与C的交点B的极径为p2,最后根据|AB|=|p2-pi|求出所求.
【解答】解:
(I)设P(x,y),则由条件知M(,).由于M点在C上,所以即
从而C2的参数方程为
(a为参数)
(H)曲线Cl的极坐标方程为p=4sin0,曲线C2的极坐标方程为p=8sin0.射线0=与Ci的交点A的极径为pi=4sin,
射线0=与C2的交点B的极径为p2=8sin.
所以|AB|=|p2-pi|=.
10.设圆C的极坐标方程为p=2,以极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴,两坐标系
长度单位一致,建立平面直角坐标系.过圆C上的一点M(m,s)作垂直于x轴的直线I:
x=m
设I与x轴交于点N向量.
(I)求动点Q的轨迹方程;
(H)设点R(1,0),求的最小值.
(I)由已知得N是坐标(m,0),
设Q(x,y),由,得
则
22
•••点M在圆p=2上,即在m+s=4上,
…,
•••Q是轨迹方程为;
(n)Q点的参数方程为,
则的最小值为.
11.已知在平面直角坐标系xOy中,直线I的参数方程是(t是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线C的极坐标方程.
(I)判断直线l与曲线C的位置关系;
(n)设M为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.
(I)由,消去t得:
y=x+.
由,得,即,
•,即.
化为标准方程得:
.
圆心坐标为,半径为1,圆心到直线x-y+=0的距离d=>
1.
•直线l与曲线C相离;
(n)由M为曲线c上任意一点,可设,
则x+y=sin0+cos0=,
•x+y的取值范围是.
12.已知曲线C的参数方程为(为参数),以直角坐标系原点为极点,X轴正半轴为极轴建立
极坐标系•
(I)求曲线C的极坐标方程;
(n)若直线的极坐标方程为
(sin0+cos0)=1,求直线被曲线C截得的弦长•
•圆心C到直线的距离为
餌2
••弦长为2“J52=2
⑵■/的直角坐标方程为xy
13.(15年福建理科)在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为.在极坐标系(与平面直角坐标
系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线I的方程为
(I)求圆C的普通方程及直线I的直角坐标方程;
(n)设圆心C到直线I的距离等于2,求m的值.
试题分析:
(I)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得,利用,将直线的极坐标方程化为直
角坐标方程;
(n)利用点到直线距离公式求解.
试题解析:
(I)消去参数t,得到圆的普通方程为,
由,得,
所以直线I的直角坐标方程为.
(n)依题意,圆心c到直线l的距离等于2,即
解得
14.(15年新课标2理科)在直角坐标系xOy中,曲线G:
xtcosytsin
其中0Wa<
n,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,
G:
2.3cos。
(1)求G与C3交点的直角坐标;
(2)若C与C2相交于点A,C与C3相交于点B,求|AB|的最大值。
15.(15年陕西理科)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数)半轴为极轴
建立极坐标系,的极坐标方程为.
I)写出的直角坐标方程;
(II)为直线上一动点,当到圆心的距离最小时,求的直角坐标.
【答案】
(I);
(II).
【解析】
(I)先将两边同乘以可得,再利用,可得的直角坐标方程;
再利用二次函数的性质可得的最小值,进而可得的直角坐标.
(I)由,
从而有•
(II)设,则,
(t为参数,t丰0),
它C:
2sin,
.以原点为极点,轴正
(II)先设的坐标,则,
故当t=0时,|PC|取最小值,此时P点的直角坐标为(3,0).
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