精华讲义数学人教版高二必修五不等式.doc
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不等式
(一)不等式与不等关系
1、应用不等式(组)表示不等关系;
不等式的主要性质:
(1)对称性:
(2)传递性:
(3)加法法则:
;(同向可加)
(4)乘法法则:
;
(同向同正可乘)
(5)倒数法则:
(6)乘方法则:
(7)开方法则:
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:
作差法(作差——变形——判断符号——结论)
3、应用不等式性质证明不等式
(二)解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集:
设相应的一元二次方程的两根为,,则不等式的解的各种情况如下表:
二次函数
()的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
2、分式不等式的解法:
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。
解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。
3、不等式的恒成立问题:
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
(三)线性规划
1、用二元一次不等式(组)表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(),把它的坐标()代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点)
3、线性规划的有关概念:
①线性约束条件:
在上述问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件.
②线性目标函数:
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫线性目标函数.
③线性规划问题:
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
④可行解、可行域和最优解:
满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.
由所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤:
(1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;
(3)依据线性目标函数作参照直线ax+by=0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解
(四)基本不等式
1.若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
2.如果a,b是正数,那么
变形:
有:
a+b≥;ab≤,当且仅当a=b时取等号.
3.如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.
注:
(1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等”
4.常用不等式有:
(1)(根据目标不等式左右的运算结构选用);
平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数):
(2)a、b、cR,(当且仅当时,取等号);(3)若,则(糖水的浓度问题)。
不等式主要题型讲解
(一)不等式与不等关系
题型一:
不等式的性质
1.对于实数中,给出下列命题:
①;②;
③;④;
⑤;⑥;
⑦;⑧,则。
其中正确的命题是________________________
题型二:
比较大小(作差法、函数单调性、中间量比较,基本不等式)
2.设,,,试比较的大小
3.比较1+与的大小
4.若,则的大小关系是.
(二)解不等式
题型三:
解不等式
5.解不等式
6.解不等式。
7.解不等式
8.不等式的解集为{x|-1<x<2},则=_____,b=_______
9.关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为
10.解关于x的不等式
题型四:
恒成立问题
11.关于x的不等式ax2+ax+1>0恒成立,则a的取值范围是_____________
12.若不等式对的所有实数都成立,求的取值范围.
13.已知且,求使不等式恒成立的实数的取值范围。
(三)基本不等式
题型五:
求最值
14.(直接用)求下列函数的值域
(1)y=3x2+
(2)y=x+
15.(配凑项与系数)
(1)已知,求函数的最大值。
(2)当时,求的最大值。
16.(耐克函数型)求的值域。
注意:
在应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数的单调性。
17.(用耐克函数单调性)求函数的值域。
18.(条件不等式)
(1)若实数满足,则的最小值是.
(2)已知,且,求的最小值。
(3)已知x,y为正实数,且x2+=1,求x的最大值.
(4)已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.
题型六:
利用基本不等式证明不等式
19.已知为两两不相等的实数,求证:
20.正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:
(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
21.已知a、b、c,且。
求证:
题型七:
均值定理实际应用问题:
22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图),如果池外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建筑单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价。
(四)线性规划
题型八:
目标函数求最值
23.满足不等式组,求目标函数的最大值
24.已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,.则的取值范围是
25.已知满足约束条件:
则的最小值是
26.已知变量(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围为。
27.已知实数满足如果目标函数的最小值为,则实数等于()
题型九:
实际问题
28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元,售价50元;凤梨月饼每个成本20元,售价30元。
现在要将这两种月饼装成一盒,个数不超过10个,售价不超过350元,问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个,可使利润最大?
又利润最大为多少?
复习――不等式的基本知识参考答案
高中数学必修内容练习---不等式
1.②③⑥⑦⑧;
2.;
3.当或时,1+>;当时,1+<;当时,1+=
4.∵∴
(
∴R>Q>P。
5.
6.或;
7.);
8.不等式的解集为{x|-1<x<2},则=___-6____,b=__6_____
9.).
10.解:
当a=0时,不等式的解集为; 2分
当a≠0时,a(x-)(x-1)<0;当a<0时,原不等式等价于(x-)(x-1)>0
不等式的解集为; 6分
当0<a<1时,1<,不等式的解集为; 8分
当a>1时,<1,不等式的解集为; 10分
当a=1时,不等式的解为φ. 12分
11._____0≤x<4________
12.)
13.
14.解:
(1)y=3x2+≥2=∴值域为[,+∞)
(2)当x>0时,y=x+≥2=2;
当x<0时,y=x+=-(-x-)≤-2=-2
∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)
15.
(1)解,
当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。
(2)
当,即x=2时取等号当x=2时,的最大值为8。
16.解析一:
当,即时,(当且仅当x=1时取“=”号)。
解析二:
本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。
当,即t=时,(当t=2即x=1时取“=”号)。
17.解:
令,则
因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。
因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。
所以,所求函数的值域为。
18.(条件不等式)
(1)解:
都是正数,≥
当时等号成立,由及得即当时,的最小值是6.
(2)解:
,
当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,
(3)解:
x=x=x·
下面将x,分别看成两个因式:
x·≤==即x=·x≤
(4)解:
法一:
a=,ab=·b=
由a>0得,0<b<15
令t=b+1,1<t<16,ab==-2(t+)+34∵t+≥2=8
∴ab≤18∴y≥当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。
法二:
由已知得:
30-ab=a+2b∵a+2b≥2 ∴30-ab≥2
令u= 则u2+2u-30≤0,-5≤u≤3
∴≤3,ab≤18,∴y≥
19.已知为两两不相等的实数,求证:
20.正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:
(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
21.已知a、b、c,且。
求证:
证明:
a、b、c,。
。
同理,。
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
。
当且仅当时取等号。
22.解:
若设污水池长为x米,则宽为(米)
水池外圈周壁长:
(米)
中间隔墙长:
(米)
池底面积:
200(米2)
目标函数:
≥
23.4
24.
25.1
26.。
27.5
28.解:
设一盒內放入x个豆沙月饼,y个凤梨月饼,利润为z元
则x,y必须满足,
目标函数为z=15x+10y
在可行区內的顶点附近z=f(x,y)的最大值,
所以,一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼,可得最大利润110元。
绝对值不等式的解法:
方法1:
利用绝对值性质:
一般的:
①②
特别地:
①
②
练习1:
不等
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