高三第四次模拟考试数学含答案Word格式文档下载.docx
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11.设一次函数为函数的导数.若存在实数(1,2),使得,
则不等式F(2x1)<
F(x)的解集为▲.
【答案】
12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆:
上存在一点到直
线:
的距离等于,则实数的值为▲.
【答案】1
13.设正实数,满足,则实数的最小值为▲.
14.在等腰三角形ABC中,已知ACBC,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,
且ADDBEF1.若,则的取值范围是▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,四棱锥PABCD中,为菱形ABCD对角线的交点,M为棱PD的中点,MAMC.
(1)求证:
PB平面AMC;
(2)求证:
平面PBD平面AMC.
证明:
(1)连结,
因为为菱形ABCD对角线的交点,
所以为BD的中点,
又M为棱PD的中点,
所以,……2分
又平面AMC,平面AMC,
所以PB平面AMC;
……6分
(2)在菱形ABCD中,ACBD,且为AC的中点,
又MAMC,故A,……8分
而OMBD,OM,BD平面PBD,
所以AC平面PBD,……11分
又AC平面AMC,
所以平面PBD平面AMC.……14分
16.(本小题满分14分)
已知函数
,.
(1)求函数的值域;
(2)若,求的值.
解:
(1)依题意,
……3分
, ……5分
因为,所以,从而,
所以函数的值域为;
……7分
(2)依题意,,,
令,则,
从而,且,……9分
所以,
又
,,
故,,……11分
从而
.
……14分
17.(本小题满分14分)
某公司销售一种液态工业产品,每升产品的成本为30元,且每卖出一升产品需向税务
部门交税a元(常数a,且2≤a≤5).设每升产品的售价为x元(35≤x≤41),根
据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知当每升产品的售价为
40元时,日销售量为10升.
(1)求该公司的日利润y与每升产品的售价x的函数关系式;
(2)当每升产品的售价为多少元时,该公司的日利润y最大?
并求出最大值(参考数
据:
取55,148).
(1)设日销售量(k为比例系数),
因为当x40时,p10,所以k,……2分
从而,x;
(2)设,,
则
,
由,得ta1,……9分
因为5≤t≤11,2≤a≤5,,所以a+13,4,5,6,
若a+13,4,5,则,函数在[5,11]上单调递减,
所以当t5即x35时,
;
……11分
若a+16,列表:
(5,6)
6
(6,11)
↗
极大值
↘
所以当t6即x36时,,
答:
若a2,3,4,则当每升售价为35元时,日利润最大为元;
若a5,则当每升售价为36元时,日利润最大为550元.
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,设A(-1,0),B(1,0),C(m,n),且△ABC的周长为.
(1)求证:
点C在一个椭圆上运动,并求该椭圆的标准方程;
(2)设直线l:
①判断直线l与
(1)中的椭圆的位置关系,并说明理由;
②过点A作直线l的垂线,垂足为H.证明:
点H在定圆上,并求出定圆的方程.
(1)证明:
依题意,CACBAB,
根据椭圆的定义知,点C的轨迹是以A(-1,0),B(1,0)为焦点,为
长轴的椭圆(不含长轴的两个端点),即证,……2分
不妨设该椭圆的方程为,
依题意知,,,从而,
故该椭圆的标准方程为;
……4分
(2)①解:
直线l与
(1)中的椭圆相切,下证之:
因为C(m,n)在椭圆上,所以,
由得,
,……6分
判别式
,
所以直线l与
(1)中的椭圆相切;
……8分
②猜想:
若点H在定圆P上,
故圆心P必在x轴上;
当点C时,H(0,);
当点C时,H(0,);
故圆心P必在y轴上,
综上,圆心P必为坐标原点O,且半径为,
从而定圆P的方程为:
,……10分
证明:
过A(-1,0)与直线l:
的垂直的直线方程为:
联立直线l与直线的方程解得,
……12分
从而OH2
,其中,
所以点H在定圆上.……16分
19.(本小题满分16分)
设,函数,其中常数a.
(1)求函数的极值;
(2)设一直线与函数的图象切于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且.
①求的值;
②求证:
解:
则
由得,,,
当时,,所以无极值;
……3分
当时,列表:
x
(-,0)
极小值0
所以函数的极小值为,极大值为;
(2)①当时,,,
直线AB的方程为
或
于是
即
故(常数);
②证明:
设,,则
解得
或(舍去,否则),
故
即证.……16分
20.(本小题满分16分)
(1)设为不小于3的正整数,公差为1的等差数列,,…,和首项为1的
等比数列,,…,满足…,求正整数的最大值;
(2)对任意给定的不小于3的正整数,证明:
存在正整数,使得等差数列:
,,…,和等比数列:
,,…,
满足….
(1)设,,依题意得,
…,
……2分
从而
即①,②,③,④,
⑤,…,由①②③④得,;
因为,所以由
①②③④⑤得,不存在了,从而正整数的最大值为5;
……6分
(2)依题意,
,,且,2,…,,
一方面,当时,,因此,
结合及是公比为的等比数列可得,
,…,
从而对任意的1,2,…,,都有;
另一方面,因为
(1,2,…,,其中为给定的不小于
3的正整数)
…
…(*)
显然,(*)式左边是关于的次式,右边是关于的次式,
只要正整数充分大,(*)式即可成立,从而1,2,…,时,都有.
综上,必存在正整数,满足….……16分
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学
xx高三联合考试
数学Ⅱ参考答案及评分建议
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作
答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
(本小题满分10分)
如图,已知△ABC的内角A的平分线交BC于点D,
交其外接圆于点E.
求证:
ABACADAE.
连结EC,易得∠B∠E,……2分
由题意,∠BAD∠CAE,
所以△ABD∽△AEC,……6分
从而,
所以ABACADAE.……10分
B.选修4—2:
矩阵与变换
已知点P(a,b),先对它作矩阵M
对应的变换,再作N对应的
变换,得到的点的坐标为(8,),求实数a,b的值.
依题意,NM
,……4分
由逆矩阵公式得,(NM)
,……8分
所以
,即有,.……10分
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
在极坐标系中,设直线过点,,且直线与曲线:
有且只有一个公共点,求实数的值.
依题意,,的直角坐标为,,
从而直线的普通方程为,……4分
曲线:
的普通方程为,……8分
因为直线与曲线有且只有一个公共点,
所以,解得(负值已舍).……10分
D.选修4—4:
不等式证明选讲
已知a,b>0,且ab1,求证:
因为(2a12b1)(1212)8,……8分
所以.……10分
【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
设为随机变量,从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条,为这两条
棱所成的角.
(1)求概率;
(2)求的分布列,并求其数学期望E().
(1)从正四棱锥的8条棱中任选两条,共有种不同方法,
其中“”包含了两类情形:
①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱,共有4种不同方法;
②从4条侧棱中选两条,共有2种不同方法,
所以;
(2)依题意,的所有可能取值为0,,,
“”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱,共2种不同方法;
所以的分布列为:
数学期望E()
.……10分
23.(本小题满分10分)
设整数3,集合P{1,2,3,…,n},A,B是P的两个非空子集.记an为所有满
足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数.
(1)求a3;
(2)求an.
(1)当3时,P{1,2,3},
其非空子集为:
{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},
则所有满足题意的集合对(A,B)为:
({1},{2}),({1},{3}),({2},{3}),
({1},{2,3}),({1,2},{3})共5对,
所以a3;
(2)设A中的最大数为k,其中,整数3,
则A中必含元素k,另元素1,2,…,k可在A中,故A的个数为:
,……5分
B中必不含元素1,2,…,k,另元素k1,k2,…,k可在B中,但不能
都不在B中,故B的个数为:
,……7分
从而集合对(A,B)的个数为,
所以an
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