等差数列(一).docx
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等差数列(一).docx
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等差数列
(一)
[学习目标] 1.理解等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念,深化认识并能运用.
知识点一 等差数列的概念
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
思考1 等差数列{an}的概念可用符号表示为an+1-an=d(n∈N*).
思考2 等差数列{an}的单调性与公差d的符号的关系.
等差数列{an}中,若公差d>0,则数列{an}为递增数列;若公差d<0,则数列{an}为递减数列;若公差d=0,则数列{an}为常数列.
知识点二 等差中项的概念
若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,并且A=.
知识点三 等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1,公差为d,则其通项an=a1+(n-1)d.
思考 教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法,还有其它方法吗?
如何操作?
答案 还可以用累加法,过程如下:
∵a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
……
an-an-1=d(n≥2),
将上述(n-1)个式子相加得
an-a1=(n-1)d(n≥2),
∴an=a1+(n-1)d(n≥2),
当n=1时,a1=a1+(1-1)d,符合上式,
∴an=a1+(n-1)d(n∈N*).
题型一 等差数列的概念
例1
(1)下列数列中,递增的等差数列有( )
①1,3,5,7,9;②2,0,-2,0,-6,0,…;③,,,,…;④0,0,0,0,…;⑤-1,,+1.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)已知a=,b=,则a与b的等差中项为( )
A.B.C.D.
答案
(1)C
(2)A
解析
(1)等差数列有①③④⑤,其中递增的为①③⑤,共3个,④为常数列.
(2)a与b的等差中项为=(+)=[(-)+(+)]=.
跟踪训练1
(1)在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N*),则数列{an}是( )
A.公差为1的等差数列
B.公差为的等差数列
C.公差为2的等差数列
D.不是等差数列
(2)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10,则m和n的等差中项是________.
答案
(1)B
(2)6
解析
(1)∵an+1=an+,
∴an+1-an=(n∈N*),
∴数列{an}是以为公差的等差数列.
(2)由题意得.∴3(m+n)=20+16=36,∴m+n=12,∴=6,
即m、n的等差中项为6.
题型二 等差数列的通项公式及应用
例2
(1)若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗?
解
(1)设{an}的公差为d.
由题意知解得
所以a75=a1+74d=+74×=24.
(2)依题意得
∴
解得或∵数列{an}是递减等差数列,
∴d<0.故取a1=11,d=-5.
∴an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16.
即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16.
令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10.
∴-34是数列{an}的第10项.
跟踪训练2 已知{an}为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式:
(1)a3=5,a7=13;
(2)前三项为a,2a-1,3-a.
解
(1)设首项为a1,公差为d,则
解得
∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由等差中项公式得2×(2a-1)=a+(3-a),a=,
∴首项为a=,公差为2a-1-a=a-1=-1=,
∴an=+(n-1)×=+1.
题型三 等差数列的判定与证明
例3 已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N*时,有=,设bn=,n∈N*.
(1)求证:
数列{bn}为等差数列;
(2)试问a1a2是不是数列{an}中的项?
如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.
(1)证明 方法一 ∵=,
∴an-1(1-2an)=an(2an-1+1),
即an-1=an(4an-1+1),∴an=,
∴bn===4+,
∴bn-bn-1=4+-=4,
∴数列{bn}是等差数列.
方法二 当n>1,n∈N*时,=⇔=⇔-2=2+⇔-=4⇔bn-bn-1=4,且b1==5.
∴{bn}是等差数列,且公差为4,首项为5.
(2)解 由
(1)知bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.
∴an==,n∈N*.
∴a1=,a2=,∴a1a2=.
令an==,∴n=11.
即a1a2=a11,
∴a1a2是数列{an}中的项,且是第11项.
跟踪训练3 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n+1.
(1)求证:
数列{an-2n}为等差数列;
(2)设数列{bn}满足bn=2log2(an+1-n),求{bn}的通项公式.
(1)证明 (an+1-2n+1)-(an-2n)=an+1-an-2n=1(与n无关),故数列{an-2n}为等差数列,且公差d=1.
(2)解 由
(1)可知,an-2n=(a1-2)+(n-1)d=n-1,
故an=2n+n-1,所以bn=2log2(an+1-n)=2n.
对等差数列的定义理解不深刻
例4 若数列{an}的通项公式为an=10+lg3n,求证:
数列{an}为等差数列.
错解 因为an=10+lg3n=10+nlg3,
所以a1=10+lg3,a2=10+2lg3,a3=10+3lg3,所以a2-a1=lg3,a3-a2=lg3,则a2-a1=a3-a2,故数列{an}为等差数列.
错因分析 由数列的通项公式求出的a2-a1=a3-a2仅能确保数列的前三项成等差数列,不能保证数列是等差数列.
正解 因为an=10+lg3n=10+nlg3,
所以an+1=10+(n+1)lg3.
所以an+1-an=[10+(n+1)lg3]-(10+nlg3)=lg3(n∈N*),所以数列{an}为等差数列.
误区警示 数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的.若数列是等差数列,则数列的前三项成等差数列;而若数列的前三项成等差数列,则数列未必是等差数列;但若数列的前三项不是等差数列,则数列一定不是等差数列.因此利用非等价关系求出的结果未必满足题设条件,必须对求出的结果代入验证,以确保满足题设条件.
1.等差数列{1-3n},公差d等于( )
A.1B.3C.-3D.n
2.下列命题:
①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列;②数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列;③等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k,b为常数);④数列{2n+1}是等差数列.其中正确命题的序号是( )
A.①② B.①③
C.②③④ D.③④
3.在等差数列{an}中,若a1=84,a2=80,则使an≥0,且an+1<0的n为( )
A.21B.22C.23D.24
4.若{an}是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有( )
①{|an|};②{an+1-an};③{pan+q}(p,q为常数);④{2an+n}.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.下列命题中正确的是( )
A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列
B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列
C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列
D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列
一、选择题
1.在等差数列{an}中,a2=5,a6=17,则a14等于( )
A.45B.41C.39D.37
2.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7等于( )
A.10B.18C.20D.28
3.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为( )
A.49B.50C.51D.52
4.已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若{}是等差数列,则a11等于( )
A.0B.C.D.
5.数列{an}中,an+1=,a1=2,则a4为( )
A.B.C.D.
6.若lg2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值等于( )
A.0B.log25C.32D.0或32
7.设函数f(x)=(x-1)2+n(x∈[-1,3],n∈N*)的最小值为an,最大值为bn,记cn=b-an·bn,则{cn}是( )
A.常数列 B.摆动数列
C.公差不为0的等差数列 D.递减数列
二、填空题
8.等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为________.
9.已知数列{an}满足a=a+4,且a1=1,an>0,则an=________.
10.若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m,n∈R,且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列,则m+n的值为________.
三、解答题
11.已知等差数列{an}.
(1)若a12=31,a32=151,求a42的值;
(2)若a1=5,d=3,an=2009,求n.
12.若等差数列{an}的公差d≠0且a1,a2是关于x的方程x2-a3x+a4=0的两根,求数列{an}的通项公式.
13.已知函数f(x)=,数列{xn}的通项由xn=f(xn-1)(n≥2,且n∈N*)确定.
(1)求证是等差数列;
(2)当x1=时,求x100.
课堂检测
1.答案 C
解析 ∵an=1-3n,∴a1=-2,a2=-5,
∴d=a2-a1=-3.
2.答案 C
解析 ②③④正确,①中公差为-2.
3.答案 B
解析 公差d=a2-a1=-4,
∴an=a1+(n-1)d=84+(n-1)(-4)=88-4n,
令即⇒21 又∵n∈N*,∴n=22. 4.答案 C 解析 设an=kn+b, 则an+1-an=k,故②为常数列,也是等差数列. pan+q=p(kn+b)+q=pkn+(pb+q), 故③为等差数列, 2an+n=2(kn+b)+n=(2k+1)n+2b, 故④为等差数列. ①未必,如an=2n-4,则{|an|}的前4项为2,0,2,4,显然{|an|}不是等差数列. 5.答案 C 解析 ∵a,b,c为等差数列,∴2b=a+c, ∴2(b+2)=(a+2)+(c+2), ∴a+2,b+2,c+2成等差数列. 课时精练答案 一、选择题 1.答案 B 解析 设公差为d,则d===3, ∴a1=a2-d=2, ∴a14=a1+13d=2+13×3=41. 2
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