第三章不等式单元测试(人教A版必修5).doc
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第三章不等式单元测试
(时间90分钟,满分120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式(x+3)2<1的解集是( )
A.{x|x>-2} B.{x|x<-4}
C.{x|-4<x<-2} D.{x|-4≤x≤-2}
解析:
原不等式可化为x2+6x+8<0,
解得-4<x<-2.
答案:
C
2.已知t=a+2b,s=a+b2+1,则t和s的大小关系正确的是( )
A.t>s B.t≥s
C.t<s D.t≤s
解析:
∵t-s=a+2b-a-b2-1
=-(b-1)2≤0,
∴t≤s.
答案:
D
3.当x∈R时,不等式kx2-kx+1>0恒成立,则k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.[0,4) D.(0,4)
解析:
(1)当k=0时,不等式变为1>0成立;
(2)当k≠0时,不等式kx2-kx+1>0恒成立,
则
即0<k<4,所以0≤k<4.
答案:
C
4.设A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B=(3,4],则a+b等于( )
A.7 B.-1
C.1 D.-7
解析:
A=(-∞,-1)∪(3,+∞),
∵A∪B=R,A∩B=(3,4],则B=[-1,4],
∴a=-(-1+4)=-3,b=-1×4=-4,
∴a+b=-7.
答案:
D
5.已知a,b,c满足a+b>0,ab>0,且ac<0,则下列选项中一定成立的是( )
A.ab>ac B.c(b-a)<0
C.cb2>ab2 D.c(b-a)>0
解析:
∵a+b>0,ab>0.∴a>0,b>0,
又∵ac<0,∴c<0.
∴b>c,又∵a>0,∴ab>ac.
答案:
A
6.满足不等式y2-x2≥0的点(x,y)的集合(用阴影表示)是( )
解析:
取测试点(0,1)可知C,D错;再取测试点(0,-1)可知A错,故选B.
答案:
B
7.已知x,y为正实数,且x+4y=1,则xy的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析:
∵x,y为正实数,
∴x·y=x·4y≤2=,
当且仅当x=4y即x=,y=时取等号.
答案:
C
8.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为( )
A.3,-11 B.-3,-11
C.11,-3 D.11,3
解析:
作出可行域如图所示.
目标函数y=x-z
则过B、A点时分别取到最大值与最小值.
易求B(5,3),A(3,5)
∴zmax=3×5-4×3=3.
∴zmin=3×3-4×5=-11.
答案:
A
9.若a>1,则a+的最小值是( )
A.0 B.2
C. D.3
解析:
a+=a-1++1
∵a>1,∴a-1>0
∴a-1++1≥2+1=3.
当且仅当a-1=即a=2时取等号.
答案:
D
10.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是( )
A.(1,3] B.[2,3]
C.(1,2] D.[3,+∞)
解析:
区域D如图中阴影部分所示
l
当y=ax过A点时a=3,当y=ax过B点时a=2,
由图知1<a<3.故选A.
答案:
A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
11.已知-1 解析: 设2x-3y=m(x+y)+n(x-y) 即2x-3y=(m+n)x+(m-n)y 由-1<x+y<4 知-2<-(x+y)<① 由2<x-y<3知5<(x-y)<② ①+②得3<-(x+y)+(x-y)<8 即3<z<8 答案: (3,8) 12.已知点P(x,y)满足条件(k为常数),若x+3y的最大值为8,则k=________. 解析: 作出可行域如图所示, 作直线l0: x+3y=0,平移l0知当l0过点A时,x+3y最大,由于A点坐标为. ∴--k=8,从而k=-6. 答案: -6 13.已知不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},则a=______. 解析: 原不等式化为<0⇒(x-1)[(a-1)x+1]<0.因为此不等式的解集为{x|x<1或x>2},所以a-1<0且=2,所以a=. 答案: 14.若<<0,已知下列不等式: ①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④+>2; ⑤a2>b2;⑥2a>2b. 其中正确的不等式的序号为________. 解析: ∵<<0, ∴b<a<0,故③错, 又b<a<0,可得|a|<|b|,a2<b2,故②⑤错. 答案: ①④⑥ 三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分12分)不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对一切x∈R恒成立,求实数m的取值范围. 解析: 若m2-2m-3=0,则m=-1或m=3. 当m=-1时,不合题意; 当m=3时,符合题意. 若m2-2m-3≠0,设f(x)=(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1,则由题意,得 解得: -<m<3. 综合以上讨论,得-<m≤3. 16.(本小题满分12分)一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区.为安全起见,每两辆汽车的前后间距不得小于2km,问这批物资全部到达灾区,最少要多少小时? 解析: 设全部物资到达灾区所需时间为t小时,由题意可知,t相当于: 最后一辆车行驶了25个2km+400km所用的时间, 因此,t=+≥2=10. 当且仅当=,即x=80时取“=”. 故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少要10小时. 17.(本小题满分12分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? 解析: 设投资人分别用x,y万元投资甲、乙两个项目, 目标函数为z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域.作直线l0: x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的点M,此时z最大,这里点M是直线x+y=10与直线0.3x+0.1y=1.8的交点. 此时,z=4+0.5×6=7(万元). ∴当x=4,y=6时,z取得最大值. 答: 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能使可能的盈利最大. 18.(本小题满分14分)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 解析: 因为ax2-(a+1)x+1<0⇔(ax-1)(x-1)<0 (1)当a=0时,(ax-1)(x-1)<0⇔-x+1<0⇔x>1; (2)当a<0时,(ax-1)(x-1)<0⇔(x-1)>0 ⇔x<或x>1; (3)当a>0时,(ax-1)(x-1)<0⇔(x-1)<0 因为-1==- ①当-<0即a>1时, <1,(ax-1)(x-1)<0⇔<x<1. ②当-=0,即当a=1时,不等式的解集为∅. ③当->0,即0<a<1时, 1<,(ax-1)(x-1)<0⇔1<x<; 综上所述: 原不等式的解集为: 当a<0时为; 当a=0时为{x|x>1};当0<a<1时为; 当a=1时为∅;当a>1时为.
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