列方程解决平面图形问题Word格式文档下载.docx
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解方程,求得a=3
所以三角形面积为3×
这是一道比较简单的问题,用上述三种方法都能解决。
如果是比较复杂的问题,用算术方法解决会非常困难,而代数方法会越来越有优势。
这一单元我们就一起来研究列方程解平面图形问题。
例1:
长方形ABFE的宽是8厘米,如果长增加4.5厘米,得到新图形ABCD的面积是168平方厘米。
如下图,求原长方形的面积。
由于新图形的宽与原长方形相同,学生会逆向思考,求出新长方形的长,用算术方法解决问题。
168÷
8=21(厘米)(21-4.5)×
8=132(平方厘米)
根据题意,新长方形的长比原长方形的长多4.5厘米,我们可以利用这一关系设未知数,利用新长方形的面积是168平方厘米列方程。
解:
设原长方形的长为x厘米,根据题意列方程得:
(x+4.5)×
8=168
x+4.5=21
x=16.5
16.5×
答:
原长方形的面积为132平方厘米。
由于长方形的长是未知的,用算术方法解决问题需要逆向思考,根据面积求出边长;
而代数方法则是用字母表示未知数量,直接应用面积的计算方法列出方程。
在解决复杂问题时,用代数的方法,正向思考会更简单。
例2:
在长方形ABCD中,放入6个形状、大小相同的小长方形(如图),求小长方形的宽。
题目中大、小长方形长与宽的关系比较隐蔽,我们必须认真观察图形,找到数量之间的关系。
请同学们认真观察图形,你发现小长方形的长、宽,大长方形长、宽与已知数据之间有哪些关系?
通过观察,引导学生发现:
小长方形的长+3个小长方形的宽=大长方形的长=14厘米,小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽,2个小长方形的宽+6厘米=大长方形的宽。
如果设小长方形的宽为x厘米,根据上面的关系式你能找到相等的关系吗?
由小长方形的长+3个小长方形的宽=大长方形的长=14厘米可以表示出小长方形长为14-3x厘米,再根据小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽,可以表示出大长方形的宽为14-3x+x=14-2x厘米;
根据2个小长方形的宽+6厘米=大长方形的宽,大长方形的宽还可以表示为2x+6厘米。
利用宽相等可以列出方程。
设小长方形的宽为x厘米,根据题意列方程为:
14-2x=2x+6
4x=8
x=2
小长方形的宽为2厘米。
题目给的条件比较少,同学们要注意从图中挖掘隐蔽条件,从图形中分析出大长方形的宽可以用14-2x和2x+6两种方式表示,根据这一等量关系列方程解答。
例3:
如图,将一个三角形纸片折叠一下(如下图),原来三角形的面积是现在纸片盖住面积的1.5倍。
如果阴影部分的面积是1平方厘米,那么这个三角形的面积是多少平方厘米?
折叠后图形中出现了重叠部分(四边形DEFG),所以图形的面积变小了。
观察图形,你能发现变化前、后图形面积之间的关系吗?
三角形ABC面积=阴影面积+2个重叠部分的面积,折叠后图形的面积=阴影面积+1个重叠部分的面积。
设四边形DEFG的面积为x平方厘米。
X+x+1=(x+1)×
1.5
0.5x=0.5
X=1
三角形ABC的面积为:
1+1+1=3(平方厘米)
三角形的面积为3平方厘米。
用代数方法解决问题,发现图形面积之间的关系,寻找到等量关系是解决问题的关键。
而这些关系往往隐藏在图形之中,需要我们认真观察图形,挖掘出隐蔽的数量关系。
例4:
在直角三角形中截出一个面积最大的正方形(如图1)。
求这个正方形的面积。
(单位:
厘米)
直接观察图形,我们很难发现三角形与正方形之间的关系。
在这种情况下,我们需要考虑添加辅助线,沟通图形之间的联系。
连接BD后,就可以把大三角形分成两部分,即三角形ABD和三角形BDC,这两部分都与正方形有直接联系,正方形的边长是每个三角形的高,只要用字母表示正方形的边长,就能表示出每个三角形的面积。
这样题目的等量关系就显现出来了:
三角形ABC的面积等于三角形ABD与三角形BCD的面积和。
设正方形的边长为x米。
3x÷
2+7x÷
2=3×
7÷
2
x=2.1
2.1×
2.1=4.41(平方厘米)
这个正方形的面积是4.41平方厘米。
直接观察图形,我们只知道正方形在三角形之内,他们之间的关系却很难发现。
添加辅助线后,正方形与三角形之间就有了直接联系,等量关系也显现出来。
用代数方法解决比较复杂的平面图形问题,添加辅助线是我们经常采用的方法。
例5:
如下图,梯形ABCD的面积是45平方厘米,下底AB长10厘米,高EF长6厘米,三角形DOC的面积为5平方厘米,求三角形ABO的面积是多少平方厘米?
通过分析,学生可能会用算术方法解决问题。
要想求出三角形ABO的面积,需要求出高OF,因为已知梯形的高EF为
6厘米,所以只要求出三角形DOC的高OE即可。
三角形DOC的面积已知,求它的高,需先求出DC的长度,而DC的长度可由梯形的面积公式求出。
45×
2÷
6=15(厘米)
5×
(15-10)=2(厘米)
10×
(6-2)÷
2=20(平方厘米)
①如果设梯形的上底DC长x厘米,你会列方程解决问题吗?
解:
设DC边长x厘米
(x+10)×
2=45
解方程得x=5
根据三角形DOC面积为5平方厘米,由三角形面积公式可以求出OE的长:
5=2(厘米)
所以OF=6-2=4(厘米)
三角形ABO面积=10×
4÷
②如果设三角形ABO的面积为x平方厘米,你会列方程解决问题吗?
整体观察图形可以发现,三角形ABC与三角形ABD是等高同底的三角形,它们的面积必相等。
在这两个三角形中,显然三角形ABO“重叠”一次,如果加上已知的三角形DOC的面积,正好是梯形ABCD的面积又多了一个三角形ABO的面积。
所以:
三角形ABO面积+梯形ABCD面积=三角形ABD面积+三角形ABC面积+三角形DOC面积
设三角形ABO的面积为x平方厘米。
X+45=10×
2×
2+5
X=20
所以,三角形ABO的面积为20平方厘米。
本题用算术方法解答,需要逆向思考,两次运用面积公式计算边的长度,用代数方法解答就可以回避逆向思考带来的麻烦。
我们介绍了两种代数方法,第二种方法更简单,需要我们有整体观察发现图形面积之间关系的能力。
例6:
如下图,在三角形ABC中,D为BC边中点,BF=
AB,已知四边形BDEF的面积是35cm2。
求三角形ABC的面积。
通过以前的学习,我们知道如果两个三角形的底、高有关系,它们的面积之间就有关系。
为了便于比较图形面积之间的关系,我们连接BE。
通过观察比较,你能发现哪些三角形面积之间的关系?
因为D是BC的中点,所以三角形BDE的面积=三角形CDE的面积,三角形BDA的面积=三角形CDA的面积;
因为F是
点,所以三角形AEF的面积=2倍三角形BEF的面积。
连接BE,设三角形BDE的面积为a,设三角形BFE的面积为b。
因为BF=
AB,所以S△AEF=2S△BEF=2b
因为D为BC边中点,所以S△BDE=S△CDE=a
S△BDA=S△CDA=a+3b
S△BAE=S△CAE(等量减等量差相等)
设三角形ABC的面积为“1”
思路一:
2b+3b=2(2a+b)
5b=4a+2b
3b=4a
S△ABC=10a
∴a=
b=
∴a+b=
∴35÷
=150cm2
按照思路一也可以列出如下方程组
思路二:
(2a+b)×
3=(3b+a)×
按照思路二也可以列出如下方程组
三角形ABC的面积为150平方厘米。
在本题的分析中,通过添加辅助线,观察、比较图形的面积,我们发现了很多面积之间的关系,用代数的方法能够清楚地表示这些关系。
在比较中我们主要应用了两个三角形高相同时,它们面积间的关系与底之间的关系相同。
练习应用。
1.把一个正方形的两组对边分别减少5厘米和8厘米后,得到一个长方形,已知长方形的面积比正方形的面积少220平方厘米(如下图)。
求正方形的面积多少?
2.如下图所示,有9张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形.已知每个小长方形的周长为18厘米,短边长为4厘米,求大长方形面积是多少平方厘米?
3.下图中,梯形ABCD的面积为24平方厘米,AD=5厘米,BC=7厘米,求三角形ABD的面积是多少平方厘米?
4.如图,直角三角形ABC内有一个正方形BDEF。
已知AB=3厘米,BC=4厘米,AC=5厘米,EG垂直于AC,且EG=0.3厘米,求正方形BDEF的面积。
5.六张大、小不同的正方形纸片A、B、C、D、E、F,拼成如右图所示的图形。
已知正方形F(阴影部分)面积是256平方厘米,正方形A的面积是多少平方厘米?
6.如下图,正方形ABCD的面积是1,BF=
AB,EC=
BC。
求阴影部分的面积。
四、趣味驿站。
完美长方形
一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形,则称为完美长方形。
下面长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。
已知正方形A和B的边长分别是7和4,你能算出这个完美长方形的面积吗?
观察图形可以知道,完美长方形中相邻正方形的边长之间有着紧密的联系,若能用两种不同的形式表示同一个正方形的边长,或表示出完美长方形的长或宽,即可顺利列方程求解。
为了叙述方便,我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如下图)。
设最小的正方形边长为X,
因为小正方形A的边长为7,小正方形B的边长为4,所以
小正方形C的边长可以表示为7+X
小正方形D的边长可以表示为7+X+X=7+2X
小正方形E的边长可以表示为7-X+4=11-X
小正方形F的边长可以表示为11-X+4=15-X
小正方形G的边长可以表示为15-X+4=19-X
小正方形H的边长可以表示为7+X+7=14+X
观察大长方形可知:
小正方形D、C、H的边长之和等于小正方形F、G的边长之和,可以列方程为:
(7+2X)+(7+X)+(14+X)=(15-X)+(19-X)
解得X=1
从而可得小正方形C、D、E、F、G、H的边长分别为8、9、10、14、18、15。
大长方形的长为:
18+15=33,宽为:
14+18=32,
大长方形的面积为:
33×
32=1056。
聪明的小朋友,你还能寻找出不同的等量关系,列出不同的方程来解答吗?
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