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内容19480摘要1
12100关键词1
27686Abstract1
22083Keywords1
311841.Cauchy-Schwarz不等式的简介2
237832.Cauchy-Schwarz不等式的四种形式2
123152.1实数域中的Cauchy-Schwarz不等式2
204902.1.1定理2
140272.1.2应用3
136432.1.2.1用于证明不等式3
20__72.1.2.2用于求最值3
632.1.2.3用于解方程组4
15452.1.2.4用于解三角形相关问题4
108152.2.n维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式5
165242.2.1定理5
188852.2.2应用6
27982.2.2.1用于证明不等式6
116222.2.2.2用于求最值6
242782.2.2.3用于证明三维空间中点到面的距离公式7
245582.3数学分析中的Cauchy-Schwarz不等式7
155122.3.1定理7
261672.3.1.1定理(积分学中的柯西—施瓦茨不等式)7
195092.3.1.2定理(数项级数的柯西—施瓦茨不等式)9
196122.3.2应用10
254562.3.2.1用于证明不等式10
23752.4概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式10
3782.4.1定理10
86152.4.2应用11
53752.4.2.1用于研究两个随机变量的相关系数11
135152.4.2.2用于求方程的系数12
183322.4.2.3用于判断极值是否存在13
229113.Cauchy-Schwarz不等式四种形式的内在联系13
87083.1证明方法的相似性13
302963.2内在之间的互推性14
3.3四种形式的本质15
22911参考文献16
内容摘要:
本文介绍了柯西施瓦茨不等式在实数域、维欧式空间、数学分析、概率空间四个不同分支的表现形式并简单说明了其在各个领域内的应用主要包括证明不等式、求最值解三角形的相关问题解方程组研究概率论中的相关系数、判断极值的存在性。
此外本文还给出了柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系。
关键词:
柯西施瓦茨不等式应用内在联系
Abstract:
Inthispaper,thefourdifferentformsofCauchy-Schwarz-inequalityarefirstlyintroduced.Thefourdifferentformsincluderealnumberfield,dimensionalEuclideanspace,mathematicalanalysis,probabilityspace.Thenitsapplicationsareshowed,whichincludeprovingtheinequality,findingasolutiontothema_imumvalueandminimumvalueofafunctionorequations,solvingtriangle,studyingthecorrelationcoefficientontheprobabilitytheory,determiningthee_istenceofe_tremevalue.Inaddition,thispaperalsogivestheinternalrelationsofthefourdifferentformsofCauchy-Schwarz-inequality.
Keywords:
Cauchy-Schwarz-inequalityapplicationinternal-relations
1.Cauchy-Schwarz不等式的简介
柯西施瓦茨不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
数学上柯西—施瓦茨不等式又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西施瓦茨不等式是一条很多场合都用得上的不等式例如证明不等式、求函数最值、线性代数的矢量研究三角形的相关问题数学分析的无穷级数和乘积的积分和概率论的方差求方程系数判断极值的存在性。
2.Cauchy-Schwarz不等式的四种形式
2.1实数域中的Cauchy-Schwarz不等式
2.1.1定理
设则当且仅当时不等式等号成立.
证明:
通过构造关于的二次函数来证明
设
若即时显然不等式成立.
若时则有且由于成立所以且当且仅当时不等式等号成立.
故
2.1.2应用
在中学数学和竞赛数学中常常巧妙地应用柯西—施瓦茨不等式(即Cauchy-Schwarz不等式)将许多繁琐复杂的问题简单化比如常常用于求证不等式、最值、解方程组和解三角形的相关问题而运用柯西施瓦茨不等式的关键在于根据问题的要求并按照其形式巧妙地构造两组数。
2.1.2.1用于证明不等式
例1.已知都是正数求证:
根据柯西—施瓦茨不等式的形式构造两个数组:
利用柯西施瓦茨不等式有
即
所以
2.1.2.2用于求最值
例2.已知求的最小值.
解:
和
则有
所以的最小值.
2.1.2.3用于解方程组
例3.在实数范围内解方程组
由柯西施瓦茨不等式知
所以当且仅当时等号成立并将其与联立解方程组可得:
2.1.2.4用于解三角形相关问题
例4.设分别为三角形三边其对应的高分别为为三角形外切圆半径且满足试确定三角形的形状.
设三角形的面积为则
等号当且仅当时成立因此此三角形为等边三角形。
2.2.n维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式
2.2.1定理[1]
在维欧氏空间中对任意向量有其中等号当且仅当线性相关时成立。
证法1通过构造关于的二次函数来证明
由实向量的内积的双线性对称性和正定性可知
当时不等式成立。
当时由于成立则等号当且仅当时成立即不等式得证。
证法2通过利用实向量空间的内积的基本性质来证明
如果故结论成立。
若由内积的正定性知令仍由内积的正定性知且等号只在时成立。
把的表达式代入利用内积的双线性计算得
由于且由内积的对称性知故其等号只在时成立即时成立不等式获证。
注:
如果把此不等式中的内积用坐标表达出来就是下述不等式:
它也被称为柯西—布尼亚可夫斯基不等式。
2.2.2应用
2.2.2.1用于证明不等式
例5.证明:
取由柯西施瓦茨不等式得
整理得:
2.2.2.2用于求最值
例6.已知的最小值。
构造向量
可得:
由柯西施瓦茨不等式得:
则
即的最小值为.
2.2.2.3用于证明三维空间中点到面的距离公式
例7.已知为三维空间中的一点平面求点
设为平面上的任意一点则
又因为由柯西施瓦茨不等式有
所以等号当且仅当即时成立。
又由距离的定义可知点为。
2.3数学分析中的Cauchy-Schwarz不等式
2.3.1定理
2.3.1.1定理[2](积分学中的柯西—施瓦茨不等式)
设在上可积则.
证法1通过建立辅助函数来证明
作函数由定积分的性质得
=
故在上单调递减即
而故即不等式成立。
此证法的关键在于将变成而构建辅助函数进而将问题转化成利用函数单调性来证明不等式。
此外也可以类似定理1.1和定理2.1构建一元二次函数来求证。
证法2通过构造积分不等式来证明
因为在上可积所以都可积且对任何实数也可积又故即
由此推得关于的二次三项式的判别式非正即
故.
此法的关键在于构造积分不等式展开求关于的判别式这就将问题转化成了关于的二次三项式有无根的问题。
证法3通过利用定积分的定义来证明
因为在上可积所以都可积对区间进行等分分为由定积分的定义得
因为
即.
此证法的关键在于应用“分割近似求和取极限”的思想方法.
证法4通过利用二重积分的知识来证明[3]
令
=
当且仅当时故
当时故
综上则有.
本证法将问题转化成二重积分问题并利用了轮换对称性重积分对称性在
积分中的应用时高等数学学习中的一个重点、难点值得注意。
2.3.1.2定理(数项级数的柯西—施瓦茨不等式)
若级数收敛则级数收敛且.
由于收敛则有收敛而故绝对收敛.
由定理1.1中的可知当令取极限时即为所要证明的不等式.
2.3.2应用
2.3.2.1用于证明不等式
例8.若都在在上可积则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式:
由柯西施瓦茨不等式得
2.4概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式
2.4.1定理[4]
设为任意随机变量若存在则也存在
且等号成立当且仅当存在常数使得
构造二次函数
定义任意实数的二次函数为
因为对一切必然有从而有于是方程要么无实根
要么有一个实根即重根则判别式非正从而
当等号成立方程有一个重根使
从而
即且于是
反之若存在常数使得成立即
于是
即在式中等号成立。
2.4.2应用
2.4.2.1用于研究两个随机变量的相关系数
例9.对于相关系数成立并且当且仅当;
而当且仅当
对随机变量应用柯西施瓦茨不等式有
即故等号成立当且仅当存在使得
(其中是方程时的解)
显然时即
时即
以上表明当时存在完全线性关系这时如果给定一个随机
变量的值另一个随机变量的值便完全决定.
2.4.2.2用于求方程的系数
例10.当函数是由实验或观察得到的建立直线趋势方程的模型时要求实际观察值与趋势值离差的平方和必须为最小。
设这里
整理得消去
由柯西施瓦茨不等式得故等号成立当且仅当.
又由于为时间变量故所以
2.4.2.3用于判断极值是否存在
例11.证明存在极小值。
求二阶偏导得
又故存在极小值。
从以上两个例子可以看出柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起了补充说明的作用增强了预测模型的准确性、科学性、严密性[5]。
3.Cauchy-Schwarz不等式四种形式的内在联系
3.1证明方法的相似性
以上我们介绍了柯西施瓦茨不等式在实数域、维欧式空间、数学分析、概率空间四个不同分支的表现形式并简单说明了其在各个领域内的应用尽管这四种表现形式涉及到不同的数学对象证明方法各自也呈现出多样化但是我们发现这四种种形式在证明方法上都可以通过构造二次函数或者二次不等式(本质都是通过判别式对根的情况进行判断)来进行统一的证明。
如:
在实数域中
在维欧式空间中
在微积分中
在概率空间中
从以上各式可看出都是通过构造二次函数或二次不等式利用判别式进行求证。
3.2内在之间的互推性[6]
从“分析”的角度:
定理2.1.1定理2.3.1.1
从“代数”的角度:
本质上是一致的如:
1)若在向量空间中取
定义内积则定理2.2.1定理2.1.1
2)若在空间取
定义内积则定理2.2.1定理2.3.1.1
从“测度论”的角度:
若选取离散型随机变量
则故定理2.4.1定理2.1.1
若选取连续性随机变量则
故定理2.4.1定理2.3.1.1
3.3四种形式的本质是内积在不同的(赋范)空间的表现形式
即为柯西施瓦茨不等式在实数域和维欧式空间的表现形式。
即为柯西施瓦茨不等式在数学分析数项级数上的表现形式。
当定义内积其中是关于在上的连续函数则取
即为柯西施瓦茨不等式在数学分析积分学中的表现形式。
当定义内积若为随机变量取则由得即为柯西施瓦茨不等式在概率空间的表现形式。
因此柯西施瓦茨不等式的四种形式是内积在不同的(赋范)空间的表现形式。
参考文献:
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科学出版
社20__.
[2]华东师范大学数学系编数学分析(上册第三版)[M]北京:
高等
出版社20__(20__重印)
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北京联合大学学报22:
4(20__),77-78.
[6]张千祥.柯西不等式的教学价值[J].大学数学20__
(2):
116-118.
电度表原始值记录表
#1主变主表
#1主变副表
正向有功
正向无功
反向有功
反向无功
0.049
0.071
0.036
0.037
0.064
0.032
正向有功峰值
正向有功平值
正向有功谷值
有功功率
反向有功峰值
反向有功平值
反向有功谷值
无功功率
#2主变主表
#2主变副表
#1主变主、副表数值不同#2主变主、副表数值相同有功单位:
Kwh无功单位:
Kvarh。
#0启备变主表
#0启备变副表
0.022
0.015
线路主表
线路副表
0.093
0.123
0.018
0.023
0.057
0.009
0.008
#0启备变主、副表数值相同线路主、副表数值不同有功单位:
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- 施瓦茨 不等式 形式