高二数学导数中的恒成立问题专题学案含答案文档格式.docx

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复合函数yf（g（x））的导数和函数yf（u）,ug（x）的导数间的关系为yxyuux，即y对x的

导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

解题步骤：

分层一层层求导一作积还原.

5.函数的极值

（1）极值定义：

极值是在X0附近所有的点，都有f（x）Vf（X0），则f（X0）是函数f（x）的极值；

极值是在x0附近所有的点，都有f（x）>

f（X0），则f（X0）是函数f（x）的极值.

（2）判别方法：

1如果在X0附近的左侧f'

（X）>

0,右侧f'

（x）V0，那么f（x。

）是极值；

2如果在X。

附近的左侧f'

（x）V0,右侧f'

（x）>

0，那么f（x。

）是极值.

三、方法培养

一、单参数放在不等式上型:

【例题1】设函数f（x）

解：

令g（x）

（1）若

exex.若对所有f（x）ax，则g（x）f（x）2，当x0时，g（x）ex0时，g（x）g（0），即f（x）

0都有f（x）ax，求a的取值范围.

xx

eea，

xa2a0，故g（x）在（0,）上为增函数,ax.

（2）若

2，方程g（x）0的正根为x1In——a一4，

2

0,故g（x）在该区间为减函数.

0，即f（x）ax，与题设f（x）ax相矛盾.

2].

此时，若x（0,Xi），则g（x）

二x（0,xi）时，g（x）g（0）

综上，满足条件的a的取值范围是（说明：

上述方法是不等式放缩法.

【针对练习1】设函数f（x）ex1x

ax2，当x0时，f（x）0,求a的取值范围.

•••函数

f（x）在x1及x:

2取得;

极值，则有

f

（1）

0，f

（2）0.

即6

6a3b0，解得

a

3，b4.

24

12a3b0

（2）由

（1）

可知，f（x）2x3

9x2

12x8c，

f（x）

6x2

18x126（x

1）（x2）

当x

（0,1）时，f（x）0；

（1,2）时，

0；

当

x（2,3）时，f

（x）0.

32

【例题2】设函数f（x）2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值.

（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0,3]，都有f（x）c2成立，求c的取值范围.解：

（1）f（x）6x26ax3b，

•••当x1时，f（x）取得极大值f

（1）58c，又f（0）8c，f（3）98c.

则当x[0,3]时，f（x）的最大值为f（3）98c.

•••对于任意的x[0,3]，有f（x）c2恒成立，•98cc2，解得c1或c9，因此c的取值范围为（，1）U（9,）.

最值法总结：

区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值.

【针对练习2】已知函数f（x）ax41nxbx4c（x0）在x1处取得极值3c，其中a、b、c为常数.

（1）试确定a、b的值；

（2）讨论函数f（x）的单调区间；

（3）若对任意x0，不等式f（x）2c2恒成立，求c的取值范围.

解:

【针对练习

33211

3】已知函数f（x）ax3-x21（xR），其中a0•若在区间［—］上,

222

f（x）

0恒成立，求a的取值范围.

【例题3】已知函数f（x）In2（x1）

（1）求函数f（x）的单调区间;

11故函数G（x）在（0,1］上的最小值为G

（1）1.•a的最大值为1.

ln2ln2

小结：

解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：

①分离变量；

②构造

函数（非变量一方）；

③对所构造的函数求最值（一般需要求导数，有时还需求两次导数）：

④写出变

量的取值范围.

【针对练习4】已知f（x）（x1）lnxx1，若xf（x）x2ax1，求a的取值范围.

【针对练习5】若对所有的x[e,）都有xlnxaxa成立，求实数a的取值范围.

、单参数放在区间上型:

【例题4】已知三次函数f（x）

ax5xcxd图象上点（1,8）处的切线经过点（3,0），并且f（x）在

x3处有极值.

（1）求f（x）的解析式；

（2）当x（0,m）时，f（x）0恒成立，求实数m的取值范围.解：

（1）：

f（x）3ax10xc，•••f

（1）3a10c，

于是过点（1,8）处的切线为y8（3a10c）（x1），

又切线经过点（3,0），•3a6c0，①

•-f（x）在x3处有极值，•f（3）27a30c0，②

又f

（1）a5cd8，③

•••由①②③解得：

a1，c3，d9，•f（x）x5x23x9.

（2）f（x）

3x10x3

（3x1）（x3），由f（x）

0得

1为3

，x23.

1

（0,—）时，

3

0，f（x）单调递增，•

f（0）

9;

（孑3）时,

0，f（x）单调递减，•

f（3）

0.

•••当m3时，

0在（0,m）内不恒成立，当且仅当

m

（0,3］时，f（x）

0在（0,m）内恒

成立，•m的取值范围为（0,3].

【针对练习6】

（07陕西文）已知f（x）ax3bx2cx在区间[0,1]上是增函数，在区间（，0），（1,）

0）上恒有f（x）x成立，求m的取值范围.

2.

（2）若在区间［0,m］（m

三、双参数中知道其中一个参数的范围型:

【例题5】已知函数f（x）xb（x0），其中a，bR.x

（1）讨论函数f（x）的单调性；

217

利用导数可以得到10（x）在x时取得最小值一，

x44

从而得b-，•满足条件的b的取值范围是（，°

］.

44

法三：

变更主元.

f（x）10在[―,1]上恒成立，即x

b10，（a）

x—

b100，

4

x

x-b100

11

•-x［4,1］，^（a）在q,2］递增,

即

（a）的最大值为

⑵

以下同上法.

说明：

本题是在对于任意的a[2,2],f（x）1在[1,1]上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往

先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立.

四、强化练习

239

（A）1已知函数f（x）（x）（x）对任意xi,X2[1,0],不等式|f（xi）f（X2）|m恒成立,

试求m的取值范围。

五、训练辅导

双参数中的范围均未知型：

【例题7】

（10湖南理）已知函数f（x）xbxc（b,cR），对任意的xR，恒有f（x）f（x）.

（1）证明：

当x0时，f（x）（xc）2；

22

（2）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）f（b）M（cb）恒成立，求M的最小值.解:

（1）易知f（x）2xb.由题设，对任意的xR，2xbx2bxc，即

x2

（b

2）x

c

b

0恒成立，•••

2）2

4（c

b）

0,

从而c

匕1.

1，且

b2

于是

2-

41

|b|,

因此

2c

bc

（c

故当

0时,

有

（x

c）2

（2c

b）x

c（c

1）

即当x

0时，f（x）（xc）

（2）由（

知，c

|b|.

当c

|

b|时，

M

f（c）

f（b）

c2

bc

2b

令t-，则1t1,2—•而函数g（t）2—（1t1）的值域是（，3）.

cbc1t1t2

因此，当c|b|时，M的取值集合为［3）.

2，

当c|b|时，由

（1）知，b2，c2.此时f（c）f（b）8或0,c2b20.

3223

从而f（c）f（b）（c2b2）恒成立.综上所述，M的最小值为㊁.

【针对练习8】若f（x）笃图象上斜率为3的两切线间的距离为—一，设g（x）f（x）一二3.a5a

（1）若函数g（x）在x1处有极值，求g（x）的解析式；

（2）若函数g（x）在区间［1,1］上为增函数，且b2mb4g（x）在区间［1,1］上都成立，求实数m的取值范围.

六、家庭作业布置:

家长签字：

（请您先检查确认孩子的作业完成后再签字）

附件：

堂堂清落地训练

（坚持堂堂清，学习很爽心）

1.双参数中的绝对值存在型：

1设x3是函数f（x）（x2axb）e3x（xR）的一个极值点.

（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；

（2）设a0，g（x）（a225）ex•若存在1，2［0,4］使得|f（Jg

（2）|1成立，求a的

取值范围.

（1）f（x）［x2（a2）xba］e3x，由f（3）0,得［32（a2）3ba］e330,

即得b32a，则f（x）［x2（a2）x33a］e3x（x3）（xa1）e3x.

令f（x）0,得Xi3或X2a1，由于x3是极值点，二人x?

，即a4.

当a4时，X23Xi，则在区间（，3）上,f（x）0，f（x）为减函数；

在区间（3,a1）上,f（x）0，f（x）为增函数；

在区间（a1,）上,f（x）0,f（x）为减函数.

当a4时，X23捲，则在区间（，a1）上,f（x）0,f（x）为减函数；

在区间（a1,3）上,f（x）0,f（x）为增函数；

在区间（3,）上,f（x）0,f（x）为减函数.

（2）由

（1）知，当a0时，a10,f（x）在区间（0,3）上的单调递增，在区间（3,4）上单调递减，那么f（x）在区间［0,4］上的值域是［min{f（0）,f（4）},f（3）］,

而f（0）（2a3）e0,f（4）（2a13）e0,f（3）a6,

那么f（x）在区间［0,4］上的值域是［（2a3）e3,a6］.

225x

又g（x）（a2）ex在区间［0,4］上是增函数，且它在区间［0,4］上的值域是

22522542252112

［a2--,（a2--）e4］，由于（a2--）（a6）a2a-（a-）20,

44442

2533

•••只须仅须（a2）（a6）1且a0，解得0a•故a的取值范围是（0,—）.

422

2已知函数f（x）（a1）lnxax21.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）设a1，如果对任意x-i,x2（0,）,|f（x-i）f（x2）41x-ix21，求a的取值范围.