立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答).doc
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高中立体几何证明平行的专题(基本方法)
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为
线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法:
(1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行,等等。
(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质
1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,点E、F分别为棱AB、PD的中点.求证:
AF∥平面PCE;
(第1题图)
分析:
取PC的中点G,连EG.,FG,则易证AEGF是平行四边形
2、如图,已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+,
过A作AE⊥CD,垂足为E,G、F分别为AD、CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.
(Ⅰ)求证:
BC⊥面CDE;(Ⅱ)求证:
FG∥面BCD;
分析:
取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形
3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别为AA1,CC1,AB的中点,
M为BE的中点,AC⊥BE.求证:
(Ⅰ)C1D⊥BC;(Ⅱ)C1D∥平面B1FM.
分析:
连EA,易证C1EAD是平行四边形,于是MF//EA
4、如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,CD=2AB,E为PC的中点,证明:
;
分析:
:
取PD的中点F,连EF,AF则易证ABEF是平行四边形
(2)利用三角形中位线的性质
A
B
C
D
E
F
G
M
5、如图,已知、、、分别是四面体的棱、、、的中点,求证:
∥平面。
分析:
连MD交GF于H,易证EH是△AMD的中位线
6、如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,E是PC的中点。
求证:
PA∥平面BDE
7.如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,D为AC的中点.
求证:
AB1//面BDC1;
分析:
连B1C交BC1于点E,易证ED是
△B1AC的中位线
8、如图,平面平面,四边形与都是直角梯形,
,,分别为的中点
(Ⅰ)证明:
四边形是平行四边形;
(Ⅱ)四点是否共面?
为什么?
(.3)利用平行四边形的性质
9.正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心,M为BB1的中点,
求证:
D1O//平面A1BC1;
分析:
连D1B1交A1C1于O1点,易证四边形OBB1O1
是平行四边形
P
E
D
C
B
A
10、在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=DC,.
求证:
AE∥平面PBC;
分析:
取PC的中点F,连EF则易证ABFE
是平行四边形
11、在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ ACB=,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF.
(Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:
GM∥平面ABFE;
(Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.
(I)证法一:
因为EF//AB,FG//BC,EG//AC,,
所以∽
由于AB=2EF,因此,BC=2FC,
连接AF,由于FG//BC,
在中,M是线段AD的中点,则AM//BC,且
因此FG//AM且FG=AM,所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM//FA。
又平面ABFE,平面ABFE,所以GM//平面AB。
(4)利用对应线段成比例
12、如图:
S是平行四边形ABCD平面外一点,M、N分别是SA、BD上的点,且=,
求证:
MN∥平面SDC
分析:
过M作ME//AD,过N作NF//AD
利用相似比易证MNFE是平行四边形
A
FA
EA
BA
CA
DA
MA
NA
13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB,M,N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证:
MN∥平面BEC
分析:
过M作MG//AB,过N作NH/AB
利用相似比易证MNHG是平行四边形
(5)利用面面平行
14、如图,三棱锥中,底面,,PB=BC=CA,为的中点,为的中点,点在上,且.
(1)求证:
平面;
(2)求证:
平面;
分析:
取AF的中点N,连CN、MN,易证平面CMN//EFB
直线、平面平行的判定及其性质经典题(附详细解答)
一、选择题
1.下列条件中,能判断两个平面平行的是()
A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2.E,F,G分别是四面体ABCD的棱BC,CD,DA的中点,则此四面体中与过E,F,G的截面平行的棱的条数是
A.0B.1C.2D.3
3.直线及平面,使成立的条件是()
A.B.C.D.
4.若直线m不平行于平面,且m,则下列结论成立的是()
A.内的所有直线与m异面B.内不存在与m平行的直线
C.内存在唯一的直线与m平行D.内的直线与m都相交
5.下列命题中,假命题的个数是()
①一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面内的任何直线不相交;②过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行;③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行;④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行;⑤a和b异面,则经过b存在唯一一个平面与平行
A.4 B.3C.2 D.1
6.已知空间四边形中,分别是的中点,则下列判断正确的是()
A.B.
C.D.
二、填空题
7.在四面体ABCD中,M,N分别是面△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
8.如下图所示,四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得到AB//面MNP的图形的序号的是
①②③④
9.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD中点,则BD1和平面ACE位置关系是.
三、解答题
10.如图,正三棱柱的底面边长是2,侧棱长是,D是AC的中点.求证:
平面.
11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N,G分别是AA1,CD,CB,CC1的中点,求证:
(1)MN//B1D1;
(2)AC1//平面EB1D1;(3)平面EB1D1//平面BDG.
参考答案
一、选择题
1.D
【提示】当时,内有无数多条直线与交线平行,同时这些直线也与平面平行.故A,B,C均是错误的
2.C
【提示】棱AC,BD与平面EFG平行,共2条.
3.C
【提示】则或异面;所以A错误;则或异面或相交,所以B错误;则或异面,所以D错误;,则,这是公理4,所以C正确.
4.B
【提示】若直线m不平行于平面,且m,则直线m于平面相交,内不存在与m平行的直线.
5.B
【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行,有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.
6.D
【提示】本题可利用空间中的平行关系,构造三角形的两边之和大于第三边.
二、填空题
7.平面ABC,平面ABD
【提示】连接AM并延长,交CD于E,连结BN并延长交CD于F,由重心性质可知,E、F重合为一点,且该点为CD的中点E,由==得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
8.①③
【提示】对于①,面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③,MP//AB,故AB//面MNP,对于②④,过AB找一个平面与平面MNP相交,AB与交线显然不平行,故②④不能推证AB//面MNP.
9.平行
【提示】连接BD交AC于O,连OE,∴OE∥BD,OEC平面ACE,∴BD∥平面ACE.
三、解答题
10.证明:
设与相交于点P,连接PD,则P为中点,
D为AC中点,PD//.
又PD平面D,//平面D
11.证明:
(1)M、N分别是CD、CB的中点,MN//BD
又BB1DD1,四边形BB1D1D是平行四边形.
所以BD//B1D1.又MN//BD,从而MN//B1D1
(2)(法1)连A1C1,A1C1交B1D1与O点
四边形A1B1C1D1为平行四边形,则O点是A1C1的中点
E是AA1的中点,EO是AA1C1的中位线,EO//AC1.
AC1面EB1D1,EO面EB1D1,所以AC1//面EB1D1
(法2)作BB1中点为H点,连接AH、C1H,E、H点为AA1、BB1中点,
所以EHC1D1,则四边形EHC1D1是平行四边形,所以ED1//HC1
又因为EAB1H,则四边形EAHB1是平行四边形,所以EB1//AH
AHHC1=H,面AHC1//面EB1D1.而AC1面AHC1,所以AC1//面EB1D1
(3)因为EAB1H,则四边形EAHB1是平行四边形,所以EB1//AH
因为ADHG,则四边形ADGH是平行四边形,所以DG//AH,所以EB1//DG
又BB1DD1,四边形BB1D1D是平行四边形.所以BD//B1D1.
BDDG=G,面EB1D1//面BDG
8
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