立体几何中二面角的求法(教师版).doc
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立体几何中二面角的求法(教师版).doc
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高二文科数学培优:
立体几何中二面角的求法
编写:
林洪兵2016-1-6
一、定义法:
例1:
如图1,设正方形ABCD-A1B1C1D!
中,E为CC1中点,求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。
分析与解:
本题可用定义法直接作出两截面A1BD、EBD所成二面角的平面角,设AC、BD交于O,连EO,A1O,由EB=ED,A1B=A1D即知EO⊥⊥BD,A1O⊥BD,故∠EOA1为所求二面角的平面角。
变式1:
正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A-BD-C1的正切值为.
分析与略解:
“小题”不必“大做”,由图1知所求二面角为
二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”
这个概念,但通过几何直观又很容易理解其意义,这就叫做直觉
思维,在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1
是二面角C-BD-C1的平面角,且tan∠COC1=。
将题目略作变化,二面角A1-BD-C1的余弦值为.
在图1中,∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角,设出正方体的棱长,用余弦定理易求得
cos∠A1OC1=
二、三垂线法
这是最典型也是最常用的方法,当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.
A
图3
P
B
l
此法最基本的一个模型为:
如图3,设锐二面角,过面
内一点P作PA⊥于A,作AB⊥l于B,连接PB,由三垂线定理得PB
⊥l,则∠PBA为二面角的平面角,故称此法为三垂线法.
最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作
出所求二面角的平面角,再在该角所在的三角形(最好是直角三角形,如图3中的Rt△PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法,锐角的补角不就是钝角吗?
例2如图3,设三棱锥V-ABC中,VA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分VC,且分别交AC、VC于D、E,又VA=AB,VB=BC,求二面角E-BD-C的度数。
分析与解 本题应用垂线法作出二面角的平面角,因△VBC为等腰三角形,E为VC中点,故BE⊥VC,又因DE⊥VC,故VC⊥平面BED,所以BD⊥VC,又VA⊥平面ABC,故VA⊥BD,从而BD⊥平面VAC。
图4
B1
A
A1
B
l
E
F
例3(2006年陕西试题)如图4,平面⊥平面,∩=l,A∈,B∈,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:
(Ⅰ)略;(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的正弦值.
分析与略解:
所求二面角的棱为AB,不像图3的那样一看就明白
的状态,但本质却是一样的,对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.
作A1E⊥AB1于AB1于E,则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥A
B交AB于F,连接A1F,则得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的
平面角.
依次可求得AB1=B1B=,A1B=,A1E=,A1F=,则在Rt△A1EF中,sin∠A1FE==.
三、垂面法:
例3如图6,设正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB、C1D1的中点。
(1)求证:
A1、E、C、F四点共面;
(2)求二面角A1-EC-D的正切值的大小。
分析与证明
(1)要证A1、E、C、F四点共面,可证:
A、F//EC,取DC中点H,连AH、FH,则AHEC,又FHA1A。
故A1F//AH,即A1F//EC,从而A、E、C、F四点共面。
(2)要求二面角A1-EC-D的大小,先要作出二面角的平面角,本题可用三垂线法,因FH⊥底面ABCD于H,过H作HM⊥EC于M,连FM,则由三垂线定理知FM⊥EC。
所以∠HMF为所求二面角A1-EC-D的平面角。
例4空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别
为4、3、,求二面角的大小.
分析与略解:
如图5,分别作PA⊥于A,PB⊥于B,则易知
l⊥平面PAB,设l∩平面PAB=C,连接PC,则l⊥PC.
分别在Rt△PAC、Rt△PBC中,PC=,PA=4,PB=3,则AC=,BC=.
因为P、A、C、B四点共圆,且PC为直径,设PC=2R,二面角的大小为.
分别在△PAB、△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos(),
则可解得cos=,=120o,二面角的大小为120o.
四、延伸法
例4.如图10,设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α,D为CC1中点,求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。
分析与解 由图,平面A'BD与平面ABC只出现一个交点,故延长A'D交AC延长线于F点,连BF,则BF为所求二面角的棱。
因CD=C'D,则A'C'=CF=BC=AC,所以∠ABF=90°,取BF中点E,连DE,则CE⊥BF,又DC⊥平面ABF,即DE⊥BF,从而∠DEC为所求二面角的平面角。
说明 本题也可用射影法求二面角的度数。
五、射影法
例5如图12,设正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AA1上点,A1M:
MA=3:
1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角的余弦值。
分析与解:
本题应用“射影法”求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角容易。
它可以不作出所求二面角的平面角。
因是正方体,所以B1、D1、M在底面射影分别为B、D、A,设棱长为a.
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