福建省福州八县(市)一中2012-2013学年高二上学期期末联考数学(理)试题.doc
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2012-2013学年度第一学期八县(市)一中期末考
高二年级数学(理科)试卷
命题学校:
福清一中
完卷时间:
120分钟满分:
150分
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.命题“若ab=0,则a=0或b=0”的否命题是( )
A.若ab=0,则a≠0或b≠0B.若ab=0,则a≠0且b≠0
C.若ab≠0,则a≠0或b≠0D.若ab≠0,则a≠0且b≠0
2.已知△ABC的顶点A(1,-1,1),B(5,6,2),C(1,m,-1),若∠ACB=90,则m等于( )
A.0 B.5 C.0或5D.不存在
3.已知方程,该方程表示椭圆的充要条件是( )
A. B. C. D.
4.若平面α的一个法向量n=(2,2,1),直线l的一个方向向量为a=(1,-1,-4),则l与α所成角的正弦值为( )
A.B.C.-D.±
5.过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点,为其右焦点,则的值为( )
A.4 B.8C.16 D.12
6.若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a、b、c共面,则λ=( )
A.1B.-1 C.1或2D.±1
7.已知命题p:
x²∈{x|},则Øp是( )
A.x∈{x|}B.x²∈{x|}C.x²∉{x||}D.x²∉{x|}
8.下列有关双曲线的命题中,叙述正确的是( )
A.渐近线方程y=±x B.离心率e=
C.顶点(0,±) D.焦点(±,0)
9.已知经过点M(4,0)的直线交抛物线于A、B两点,则以线段AB为直径的圆与原点的位置关系是( )
A.原点在圆内 B.原点在圆上C.原点在圆外D.不能确定
10.设,下列给出三个命题:
①“存在,使得对任意的,都有;
②“任意,存在使得”;
③存在两个无理数,使得为有理数.其中真命题的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分。
把正确答案填在答卷的相应位置上。
11.设抛物线方程为,则该抛物线的焦点坐标是
12.直线与双曲线恰有一个交点,则的取值集合是[来源:
高[考∴试﹤题∴库GkStK]
13.已知经过椭圆左焦点F的一条直线交椭圆于A、B两点,那么线段长的最小值为
14.已知正四面体A-BCD的棱长为1,O为底面BCD的中心,则=
15.经过点P(4,1)的直线l交双曲线于M、N两点,若点P恰为线段MN中点,则直线l的方程为___________________.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分13分)已知,设命题:
关于的不等式有解;命题:
直线与抛物线没有公共点.
若命题“”与“”都为真命题,求的取值范围.
17.(本小题满分13分)已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,过原点作直线OP的垂线l交椭圆C于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求△ABP的面积.
18.(本小题满分13分)如图,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=,E,F分别是AD,PC的中点.试建立适当的空间坐标系,利用空间向量解答以下问题:
A
B
C
D
E
F
P
(1)证明:
PC⊥平面BEF;
(2)求平面PAD与平面BEF所成角.
19.(本小题满分13分)平面直角坐标系中,O为原点,给定两点A(1,0)、
B(0,-2),点C满足,其中α、β∈R,且α-2β=1,
(1)求点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与双曲线(a>0,b>0)交于两点M、N,且,求双曲线方程.
20.(本小题满分14分)如图,FD垂直于矩形ABCD所在平面,CE//DF,[来源:
GkStK.Com]
.
A
B
C
D
E
F
(1)求证:
BE//平面ADF;
(2)若矩形ABCD的一个边AB=,EF=,则另一
边BC的长为何值时,点A到平面BEF的距离为?
21.(本小题满分14分)如图所示,过抛物线的对称轴上一点作直线与抛物线交于两点,点是点关于原点的对称点.
(1)求证:
;
(2)若,且,求证:
.
八县(市)一中高二年级期末考数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
C
B
B
A
D
A
B
A
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11.(0,-1)12.{0,1,-1}13.214.15.4x-3y-13=0
三、解答题(本大题共6小题,16-19每小题13分,20-21每小题14分,共80分)
16.(本小题满分13分)
解:
由已知关于的不等式有解
,解得或………………………………5分
当或时,P是正确的…………………6分
∵直线①与抛物线②没有公共点,
联立①、②,消去得……7分
令,解得
因此,当时,Q是正确的……………………10分
∵与都为真命题
∴假且真,画数轴可得:
…………12分
∴实数m的取值范围为…………13分
17.(本小题满分13分)
解:
(1)由题意:
;①………1分
左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:
.②……3分
由①②可解得:
.……………6分
∴所求椭圆C的方程为:
.………………7分
(2)易得直线OP的方程:
y=x,即x-2y=0
因直线l过原点且垂直于直线OP,故直线l的方程:
2x+y=0………8分
由得:
.∴………………10分
y
x
z
A
B
C
D
E
F
P
∴=………………11分
又
∴△ABP的面积S=………………13分
18.(本小题满分13分)
解:
(1)如图,建立空间直角坐标系A-xyz.………………1分
∵,四边形ABCD是矩形.
∴,,,
………………2分
又E,F分别是AD,PC的中点,[来源:
学优高考网GkStK]
∴
∴,…………4分
∴,分
∴…………6
又∵
∴平面…………………………8分
(2)由
(1)知平面BEF的法向量:
平面BEF的法向量:
…………10分
设平面BEF与平面BAP的夹角为θ,
则,……12分
∴,∴平面BEF与平面BAP的所成角为…………13分
19.(本小题满分13分)
解:
(1)设C(x,y),因为=α+β,
则(x,y)=α(1,0)+β(0,-2)………………………2分
∴∵α-2β=1,∴x+y=1.…………………4分
即点C的轨迹方程为x+y=1.………………………5分
(2)由得:
………………6分
由题意,得a2-1≠0,设M(x1,y1),N(x2,y2),
则:
x1+x2=,x1x2=.……………………………8分
因为,=0,
即x1x2+y1y2=0,………………9分
x1x2+(1-x2)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2
A
B
C
D
E
M
F
x
y
z
=1=0,………………11分
即1-3a2=0,得
∴双曲线方程为………………13分
20.(本小题满分14分)
解:
(1)法1:
过点E作CD的平行线交DF于点M,连接AM.
因为CE//DF,所以四边形CEMD是平行四边形.
可得EM=CD且EM//CD,
于是四边形BEMA也是平行四边形,
所以有BE//AM,而直线BE在平面ADF外,
所以BE//平面ADF.………………………5分
法2:
以直线DA为x轴,直线DC为y轴,直线DF为z轴,
建立空间直角坐标系.…………1分[来源:
高[考∴试﹤题∴库]
则平面ADF的一个法向量为.
设AB=a,BC=b,CE=c,
则点B、E的坐标分别为(b,a,0)和(0,a,c),……………3分
那么向量.
可知,得,
而直线BE在平面ADF的外面,所以BE//平面ADF.………………………6分
(2)由EF=,EM=AB=,得FM=3且.
由可得FD=4,从而得CE=1.………………………7分
设BC=a,则点B的坐标为(a,,0).
又点E、F的坐标分别为(0,,1)和(0,0,4),
所以,.…………………9分
设平面BEF的一个法向量为,
则,取,得.……11分
易知向量,设点A到平面BEF的距离为d:
则……12分
由已知点A到平面BEF的距离为,
所以,可得.………13分
所以当另一边BC的长为时,点A到平面BEF的距离为……………14分
21.(本小题满分14分)
解:
(1)设方程为:
,
由得,………………3分
所以………………………5分
(2),得(-,m-)=(,-m)
∴=-,即,………………6分
由,
得………………………8分
又∵,[来源:
高[考∴试﹤题∴库GkStK]
从而,………………………………9分
把代入上式并化简得,……10分
∴,……………………11分
则,
所以或,而显然,…………………13分
所以.……………………………14分
高:
考α试ω题∠库
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