福建师大附中12-13学年度上学期高二期末考试数学理.doc
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福建师大附中
2012—2013学年度上学期期末考试
高二数学理试题
本试卷共4页.满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
试卷分第I卷和第II卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.
第I卷共60分
一、选择题:
本大题有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.命题“,”的否定是
A.,B.,
C.,D.,
2.下列有关命题的说法正确的是
A.命题“若,则”的否命题为“若,则”
B.命题“若,则”的逆否命题是假命题
C.命题“若,则全不为0”为真命题
D.命题“若”,则”的逆命题为真命题
3.抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
4.已知正方体中,点为上底面的中心,若,则的值是
A. B. C. D.
第5题图
5.如图,在正方体A1B1C1D1ABCD中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC夹角的余弦值为
A.B.C.D.
6.过点,且与有相同渐近线的双曲线方程是
A.B.C. D.
7.“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是
A. B.C. D.
8.已知△的顶点、分别为双曲线的左右焦点,顶点在双曲线上,
则的值等于
A.B.C.D.
9.已知抛物线上的焦点,点在抛物线上,点,则要使的值最小的点的坐标为
第10题图
A
E
B
C
G
D
F
A.B.C.D.
10.如图,已知正方形的边长为,分别是的
中点,⊥平面,且,则点到平面的距
离为
y
O
x
A.B.C.D.1
B
A
D
C
11.如图,椭圆的四个顶点构成
的四边形为菱形,若菱形的内切圆恰好过焦点,则椭圆
第11题图
的离心率是
A.B.C.D.
12.双曲线的实轴长和焦距分别为
A.B.C.D.
第Ⅱ卷共90分
二、填空题:
本大题有6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答卷的相应位置.
13.已知向量,,且与垂直,则等于*****.
14.设,是椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且,则△的面积为*****.
15.已知抛物线,为其焦点,为抛物线上的任意点,则线段中点的轨迹方程是*****.
16.有一抛物线形拱桥,中午点时,拱顶离水面米,桥下的水面宽米;下午点,水位下降了米,桥下的水面宽*****米.
第17题图
17.如图,甲站在水库底面上的点处,乙站在水坝斜面
上的点处,已知测得从到库底与水坝的交线
的距离分别为米、米,的长
为米,的长为米,则库底与水坝所成的二
面角的大小为*****度.
18.已知平面经过点,且是它的一个法向量.类比曲线方程的定义以及求曲线方程的基本步骤,可求得平面的方程是*****.
三、解答题:
本大题有5题,共60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(本小题满分12分)
在如图的多面体中,⊥平面,,,,,,,是的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
20.(本小题满分10分)
已知抛物线与直线交于两点.
(Ⅰ)求弦的长度;
(Ⅱ)若点在抛物线上,且的面积为,求点P的坐标.
21.(本小题满分12分)
已知双曲线C与椭圆有相同的焦点,实半轴长为.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)若直线与双曲线有两个不同的交点和,且
(其中为原点),求的取值范围.
22.(本小题满分12分)
如图,在平行四边形中,,将它们沿对角线折起,折后的点变为,且.学优高考网
(Ⅰ)求证:
平面平面;
(Ⅱ)为线段上的一个动点,当线段的
长为多少时,与平面所成的角为?
学优高考网
23.(本小题满分14分)
如图,已知椭圆,是椭圆的顶点,若椭圆的离心率,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)作直线,使得,且与椭圆相交于两点(异于椭圆的顶点),设直线和直线的倾斜角分别是,求证:
.
参考答案
2,4,6
一、选择题:
1-12:
BDCADBADABCC
二、填空题:
13.14.15.16.17.18.
三、解答题:
19.解:
(Ⅰ)证法一:
∵,∴.
又∵,是的中点,∴,
∴四边形是平行四边形,∴.
∵平面,平面,∴平面.
证法二:
∵平面,平面,平面,
∴,,又,∴两两垂直.
以点E为坐标原点,分别为轴建立如图的空间
直角坐标系.由已知得,(0,0,2),(2,0,0),
(2,4,0),(0,3,0),(0,2,2),(2,2,0)
设平面的法向量为
则,即,令,得.
∴,即.
∵平面,∴平面.
(Ⅱ)由已知得是平面的法向量.
设平面的法向量为,∵,
∴,即,令,得.
则,∴二面角的余弦值为
20.解:
(Ⅰ)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由得x2-5x+4=0,Δ>0.
法一:
又由韦达定理有x1+x2=5,x1x2=,
∴|AB|==
法二:
解方程得:
x=1或4,∴A、B两点的坐标为(1,-2)、(4,4)
∴|AB|=
(Ⅱ)设点,设点P到AB的距离为d,则
∴S△PAB=··=12,
∴.∴,解得或
∴P点为(9,6)或(4,-4).
21.解:
(Ⅰ)设双曲线的方程为,,,
故双曲线方程为.
(Ⅱ)将代入得
由得且
设,则由得
=
得
又,,即
22.(Ⅰ)
又,
∴平面平面
y
z
x
(Ⅱ)在平面过点B作直线,分别直线为x,y,z建立空间直角坐标系B-xyz
则A(0,0,1),C1(1,,0),D(0,,0)
∴
设,则∴
又是平面BC1D的一个法向量
依题意得,即
解得,即时,与平面所成的角为.
23.解:
(Ⅰ)由已知得:
,椭圆C的方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
,,
故可设直线的方程为,设,
由得
,即,
异于椭圆C的顶点,,
,
,
又,∴,故.
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