研究院全国7高考真题理分类汇编直线与圆、圆锥曲线教师版.docx
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2018高考真题分类汇编——直线与圆、圆锥曲线
1.(2018北京·理)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线的距离,当θ,m变化时,d的最大值为( )
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
1.C
2.(2018北京·理)已知椭圆,双曲线.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为__________;双曲线N的离心率为__________.
2.
3.(2018全国I·理)设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=()
A.5 B.6 C.7 D.8
3.D
4.(2018全国I·理)已知双曲线C:
,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的
直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若为直角三角形,则|MN|=()
A. B.3 C. D.4
4.B
5.(2018全国II·理)双曲线的离心率为,则其渐近线方程为()
A.B.C. D.
5.A
6.(2018全国II·理)已知,是椭圆的左、右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为()
A. B. C. D.
6.D
7.(2018全国III·理)直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是()
A. B. C. D.
7.A
8.(2018全国III·理)设是双曲线()的左,右焦点,是
坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为
()
A. B.2 C. D.
8.C
9.(2018江苏)在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点
到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是▲.
9.2
10.(2018江苏)在平面直角坐标系中,A为直线上在第一象限内的点,,
以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若,则点A的横坐标为▲.
10.3
11.(2018浙江)双曲线的焦点坐标是()
A.(−,0),(,0) B.(−2,0),(2,0)
C.(0,−),(0,) D.(0,−2),(0,2)
11.B
12.(2018浙江)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当
m=___________时,点B横坐标的绝对值最大.
12.5
13.(2018天津·理)已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为()
(A)(B)(C)(D)
13.C
14.(2018上海)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为 .
14.y=±
15.(2018上海)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A.2 B.2 C.2 D.4
15.C
16.(2018北京·理)(本小题满分14分)
已知抛物线C:
=2px经过点(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
(2)设O为原点,,,求证:
为定值.
16.【解析】
(1)因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),
所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).
由得.
依题意,解得k<0或0 又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2).从而k≠-3. 所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由 (1)知,. 直线PA的方程为. 令x=0,得点M的纵坐标为. 同理得点N的纵坐标为. 由,得,. 所以 . 所以为定值. 17.(2018全国I·理)(本小题满分12分) 设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为. (1)当与轴垂直时,求直线的方程; (2)设为坐标原点,证明: . 17.【解析】 (1)由已知得,l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为或.所以AM的方程为或. (2)当l与x轴重合时,. 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以. 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,, 则,直线MA,MB的斜率之和为. 由得. 将代入得. 所以,. 则. 从而,故MA,MB的倾斜角互补,所以. 综上,. 18.(2018全国II·理)(本小题满分12分) 设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,. (1)求的方程; (2)求过点,且与的准线相切的圆的方程. 18.【解析】 (1)由题意得,l的方程为.设, 由得.,故. 所以. 由题设知,解得(舍去),.因此l的方程为. (2)由 (1)得AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线方程为,即.设所求圆的圆心坐标为,则 解得或 因此所求圆的方程为或. 19.(2018全国III·理)(本小题满分12分) 已知斜率为的直线与椭圆交于,两点,线段的中点为. (1)证明: ; (2)设为的右焦点,为上一点,且.证明: ,,成等差数列,并求该数列的公差. 19.【解析】 (1)设,则. 两式相减,并由得. 由题设知,于是.①,由题设得,故. (2)由题意得,设,则. 由 (1)及题设得. 又点P在C上,所以,从而,. 于是.同理. 所以. 故,即成等差数列.设该数列的公差为d, 则.② 将代入①得. 所以l的方程为,代入C的方程,并整理得. 故,代入②解得.所以该数列的公差为或. 20.(2018天津·理)(本小题满分14分) 设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且. (1)求椭圆的方程; (2)设直线l: 与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点),求k的值. 20.【解析】(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c,由已知有,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由 已知可得,,,由,可得ab=6,从而a=3,b=2. 所以,椭圆的方程为. (Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故.又因为,而∠OAB=,故.由,可得5y1=9y2. 由方程组消去x,可得.易知直线AB的方程为x+y–2=0,由方程组消去x,可得.由5y1=9y2,可得5(k+1)=,两边平方,整理得,解得,或.所以,k的值为 21.(2018江苏)(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为. (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; ②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程. 21.【解析】 (1)因为椭圆C的焦点为, 可设椭圆C的方程为.又点在椭圆C上, 所以,解得因此,椭圆C的方程为. 因为圆O的直径为,所以其方程为. (2)①设直线l与圆O相切于,则, 所以直线l的方程为,即.由消去y, 得.(*) 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点, 所以. 因为,所以.因此,点P的坐标为. ②因为三角形OAB的面积为,所以,从而. 设,由(*)得, 所以. 因为,所以,即, 解得舍去),则,因此P的坐标为. 综上,直线l的方程为. 22.(2018浙江)(本小题15分) 如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C: y2=4x上存在不同的两点A,B满 PA,PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M,证明: PM垂直于y轴; (2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围. 22.【解析】 (1)设,,. 因为,的中点在抛物线上,所以,为方程, 即的两个不同的实数根. 所以.因此,垂直于轴. (2)由 (1)可知所以,. 因此的面积. 因为,所以. 因此,面积的取值范围是. 23.(2018上海)(本小题16分) 设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l: x=t,曲线Γ: y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点. (1)用t表示点B到点F的距离; (2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积; (3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上? 若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由. 23.【解析】 (1)方法一: 由题意可知: 设B(t,2t),则|BF|==t+2, ∴|BF|=t+2; 方法二: 由题意可知: 设B(t,2t),由抛物线的性质可知: |BF|=t+=t+2,∴|BF|=t+2; (2)F(2,0),|FQ|=2,t=3,则|FA|=1,∴|AQ|=,∴Q(3,),设OQ的中点D,D(,),kQF==﹣,则直线PF方程: y=﹣(x﹣2),联立,整理得3x2﹣20x+12=0,解得: x=,x=6(舍去),∴△AQP的面积S=××=; (3)存在,设P(,y),E(,m),则kPF==,kFQ=, 直线QF方程为y=(x﹣2),∴yQ=(8﹣2)=,Q(8,), 根据+=,则E(+6,),∴()2=8(+6),解得: y2=, ∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且P(,).
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