直角三角形的射影定理教案.doc
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3.4直角三角形的射影定理
第一讲相似三角形的判定及有关性质
3.4直角三角形的射影定理
备课组:
高二数学组主备人:
柴海斌持案人:
授课班级:
授课时间:
教学目标
知识与技能:
掌握直角三角形中成比例的线段的性质,并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.
方法与过程:
通过问题设计,层层跟进,引导学生探索和发现射影定理。
情感与价值观:
培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。
教学重难点
重点:
直角三角形的射影定理的证明及应用;
难点:
直角三角形的射影定理的证明。
教学过程
二、教学引入
什么是射影?
点和线段的正射影简称为射影
(让学生复习并挖掘下图中的基本性质.)
已知:
如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.
(1)图中有几条线段?
(答:
6条,分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)
(2)图中有几个锐角?
数量有何关系?
(3)图中有几对相似三角形?
可写出几组比例式?
由图中ΔACD∽ΔCBD∽ΔABC,可分别写出三组比例式:
(ΔACD∽ΔCDB);(ΔCBD∽ΔABC);
(ΔACD∽ΔABC).
(4)观察第(3)题的结果,有几个带有比例中项的比例式?
如何用一句话概括叙述这几个比例
中项的表达式?
只有三个比例中项的表达式,,,
(5)由上可得到哪些等积式?
CD2=AD·BD,BC2=BD·BA,AC2=AD·AB
(二)直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。
请同学们自己写出已知条件并证明。
已知:
在RT△ABC中,∠ABC=90。
,CD⊥AB于D。
求证:
CD2=AD*BDBC2=BD*ABAC2=AD*AB
证明:
在RT△ABC中,因为∠ABC=90。
CD⊥AB
∠B+∠DCB=90º,∠ACD+∠DCB=90º
所以∠B=∠ACD,故△CBD∽△ACD
所以
在RT△ACB与RT△BDC中,为公共角,
∽
同理,由∽,
讨论:
用勾股定理能证明射影定理吗?
写出你的想法.
证明:
二、当堂训练
1、如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D。
求
解:
是半圆上的圆周角,
即ΔABC是直角三角形。
又射影定理可得
2、如图,ΔABC中,顶点C在AB边上的射影为D,且。
求证:
ΔABC是直角三角形。
证明:
在ΔCDA和ΔBDC中,
三、课堂小结与反思
四、课后检测
1.如图1—4—1中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD=3,BD=2,则AC:
BC的值是(C)
A.3:
2 B.9:
4
C.:
D.:
2.在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD:
AD=1:
4,则tan∠BCD的值是(C)
A. B. C. D.2
3.下列命题中,正确的有(B)
①两个直角三角形是相似三角形;
②等边三角形都是相似三角形;
③锐角三角形都是相似三角形;
④两个等腰直角三角形是相似三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知直角△ABC中,斜边AB=5cm,BC=2cm,D为AC上一点,DE⊥AB交AB于E,且AD=3.2cm,则DE=(C)
A.1.24cm B.1.26cm
C.1.28cm D.1.3cm
5.如图1—4—2,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,DF⊥AC于F,DE⊥AB于E。
试说明:
图1—4—2
(1)AB·AC=AD·BC;
(2)AD3=BC·BE·CF。
解:
(1)在Rt△ABC中,AD⊥BC,
∴S△ABC=AB·AC=BC·AD
∴AB·AC=BC·AD。
(2)在Rt△ADB中,DE⊥AB,由射影定理得BD2=BE·AB.
同理CD2=CF·AC,
∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC.*
又在Rt△BAC中,AD⊥BC
∴AD2=BD·DC,
∴*式化为AD4=BE·CF·AB·AC,即AD3=BE·CF·AB·AC·
由
(1)知AB·AC=BC·AD,代入上式得AD3=BE·CF·BC.
应用射影定理证明比例线段
6.如图1—4—3,已知:
BD、CE是△ABC的两条高,过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H,交CE于F,且∠H=∠BCF。
求证:
GD2=GF·GH。
证明:
∵∠H=∠BCE,∠B=∠B,CE⊥BH,
∴△BCE∽△BHG
∴∠BGH=∠BEC=90°,∴HG⊥BC
∵BD⊥AC,在Rt△BCD中,由射影定理得,GD2=BG·CG①
∵∠GFC=∠EFH,
∴△FCG∽△FHE,∴∠FGC=∠FEH,
∴∠FGC=∠BGH
∴△FCG∽△BHG,∴
∴BG·GC=GH·FG. ②
由①②得,GD2=GH·FG.
7.如图1—4—4,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:
AE·AB=AF·AC。
证明:
∵AD⊥BC,∴∠BAD+∠B=90°
又∵DE⊥AB,∴∠BAD+∠EDA=90°.
∴∠B=∠EDA,又∠BAD=∠DAE,
∴△ABD∽△ADE(两角相等的两个三角形相似).
∴,即AD2=AB·AE
同理可证:
AD2=AF·AC,
∴AE·AB=AF·AC.
综合·拓展练 综合运用,拓展知能
8.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若,则(C)
A. B. C. D.
9.如图1—4—5,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,在图中的六条线段中,你认为只要知道(B)条线段的长,就可以求其他线段的长。
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图1—4—6,在梯形ABCD中,AD//BC,AC⊥BD,垂足为E,
∠ABC=45°,过E作AD的垂线交AD于F,交BC于G,过E作AD的平行线交AB于H。
求证:
FG2=AF·DF+BG·CG+AH·BH。
证明:
因为EF2=AF·FD,EG2=BG·CG,
所以FG2=(EF+EG)2=EF2+2EF·EG+EG2
=AF·FD+BG·CG+2EF·EG.
因为∠ABC=45°,
所以2(EF+EG)2=(AH+BH)2
而EF=AHsin45°AH,
EG=BHsin45°=BH.
2EF2=AH2,2EG2=BH2
所以2EF·EG=AH·BH.
所以FG2=AF·FD+BG·CG+AH·BH.
11.△ABC中,若角A、B、C所对的边分别为a、b、c,试用余弦定理证明以下射影公式。
(1)c=acosB+bcosA;
(2)a=bcosC+ccosB;
(3)b=ccosA+acosC。
证明:
(1)由余弦定理得
同理可证:
a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC
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12.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD:
BD=2:
3,则△ACD与△CBD的相似比为()
A.2:
3 B.4:
9 C.:
3 D.不确定
13.Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB于点D,AD=4,sin∠ACD=,则BC=_______________,CD=________________。
答案解析
C
解析:
如图D—1—23,在Rt△ACB中,CD⊥AB
由射影定理得:
CD2=AD·BD,即
又∵∠ADC=∠BDC=90°
∴△ACD∽△CBD.
又∵AD:
BD=2:
3
令AD=2x,BD=3x(x>0)
易知△ACD与△CBD的相似比为
即相似比为
13.,3
解析:
由
由射影定理知
∴
∴
由射影定理知
又
∴
四、预习提纲
1、圆周角定理及证明
2、圆心角定理及证明
3、圆心角定理的推论
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