直线与圆的位置关系一对一讲义.doc

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直线与圆的位置关系 

中考要求：

内容

基本要求

略高要求

较高要求

点与圆的位置关系

了解点与圆的位置关系

直线与圆的位置关系

了解直线与圆的位置关系；

了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线 

能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题

能解决与切线有关的问题

切线长

了解切线长的概念

会根据切线长知识解决简单问题

一、点与圆的位置关系

点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有：

点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．

设的半径为，点到圆心的距离为，则有：

点在圆外；点在圆上；点在圆内.

如下表所示：

位置关系

图形

定义

性质及判定

点在圆外

点在圆的外部

点在的外部.

点在圆上

点在圆周上

点在的外部.

点在圆内

点在圆的内部

点在的外部.

确定圆的条件

1.圆的确定

确定一个圆有两个基本条件：

①圆心（定点），确定圆的位置；②半径（定长），确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．

2.过已知点作圆

⑴经过点的圆：

以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．

⑵经过两点的圆：

以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．

⑶过三点的圆：

若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．

⑷过个点的圆：

只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．

3.定理：

不在同一直线上的三点确定一个圆．

注意：

⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；

⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．

4.三角形的外接圆

⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

⑵三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.

⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.

二、直线与圆的位置关系

一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：

位置关系

图形

定义

性质及判定

相离

直线与圆没有公共点．

直线与相离

相切

直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．

直线与相切

相交

直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．

直线与相交

从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：

直线和圆的位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

圆心到直线的距离与半径的关系

公共点名称

交点

切点

无

直线名称

割线

切线

无

二、切线的性质及判定

1．切线的性质：

定理：

圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

2．切线的判定：

定义法：

和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

距离法：

到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

3．切线长和切线长定理：

⑴切线长：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

⑵切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

①切线的判定定理

设OA为⊙O的半径，过半径外端A作⊥OA，则O到的距离d=r，∴与⊙O相切．因此，我们得到：

切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注：

定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：

只满足题设的一个条件不是⊙O的切线．

证明一直线是圆的切线有两个思路：

（1）连接半径，证直线与此半径垂直；

（2）作垂线，证垂足在圆上

②切线的性质定理及其推论

切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径．

我们分析：

这个定理共有三个条件：

一条直线满足：

（1）垂直于切线

（2）过切点（3）过圆心

定理：

①过圆心，过切点垂直于切线

过圆心，过切点，则

②经过圆心，垂直于切线过切点

③经过切点，垂直于切线过圆心

三、三角形内切圆

1．定义：

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

2．多边形内切圆：

和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．

3．直角三角形的内切圆半径与三边关系

（1）

（2）

图

（1）中，设分别为中的对边，面积为

则内切圆半径

（1），其中；

图

（2）中，，则

重点：

切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．

难点与关键：

由点和圆的位置关系迁移到运动直线，导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．

易错点：

圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间

一、点与圆的位置关系

【例1】已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（）

A．2 B．6 C．12 D．7

【巩固】一个已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为______．

【例2】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，4），B（－3，－3），C（4，）。

试判断A、B、C三点与⊙O的位置关系。

二、直线与圆的位置关系

1.切线的证明

【例3】如图，中，，是的中点，以为圆心的圆与相切于点。

求证：

是的切线。

【例4】如图，已知是的直径，为的切线，切点为，平行于弦，。

（1）求证：

是的切线；

（2）求的值；

（3）若，求CD的长。

【巩固】如图，已知是的直径，是和相切于点的切线，过上点的直线，若且，则。

【巩固】如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。

（1）求证：

CD是半圆的切线；

（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为，点A到直线CD的距离为，试求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

【例5】如图，为的直径，是外一点，交于点，过点作的切线，交于点，，作于点，交于点。

（1）求证：

是的切线；

（2）。

例6.如图，割线与相交于、两点，为上一点，为的中点，交于，交于，。

（1）求证：

是的切线；

（2）如果，求的半径。

2.切线长定理及切线性质的应用

【例6】在中，，点在上，以为圆心的分别与、相切于、，若，，则的半径为（）

A、B、C、D、

【例7】如图，，，与以为直径的相切于点，，，则四边形的面积为。

【例8】如图，过外一点作的两条切线、，切点分别为、，连结，在、、上分别取一点、、，使，，连结、、，则（）

A、B、C、D、

【例9】如图，已知中，，（定值），的圆心在上，并分别与、相切于点、。

（1）求；

（2）设是延长线上的一个动点，与相切于点，点在的延长线上，试判断的大小是否保持不变，并说明理由。

【例10】如图，为的内切圆，点、、为切点，若，，则的面积为。

【例11】正方形中，切以为直径的半圆于，交于，则（）

A、1∶2B、1∶3C、1∶4D、2∶5

【巩固】如图，以正方形的边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为，切半圆于，交于，交的延长线于，。

（1）求的余弦值；

（2）求的长。

【例12】如图，是半的直径，点是半径的中点，点在线段上运动（不与点重合），点在半上运动，且总保持，过点作的切线交的延长线于点。

（1）当时，请你对的形状做出猜想，并给予证明；

（2）当时，的形状是三角形；

（3）则

（1）

（2）得出的结论，请进一步猜想，当点在线段上运动到任何位置时，一定是三角形。

【巩固】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动， PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC=2.5。

（1）当CE正好是⊙O的半径时，PT=2，求⊙O的半径；

（2）设，，求出与之间的函数关系式；

（3）△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？

若能，请求出△PTC的面积；若不能，请说明理由。

1．“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（）

A、经过半径外端点的直线是圆的切线；

B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；

C、垂直于半径的直线是圆的切线；

D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2．两个圆的圆心都是O，半径分别为、，且＜OA＜，那么点A在（）

A、⊙内B、⊙外C、⊙外，⊙内D、⊙内，⊙外

3．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）

A、2.5cm或6.5cmB、2.5cmC、6.5cmD、5cm或13cm

4．三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（）

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定

5．已知、是的切线，、是切点，，点是上异于、的任一点，则

6．如图，已知的直径为，，，

7．请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论

8．（除外）：

①；②；

9．③；④。

10．若圆外切等腰梯形的面积为20，与之和为10，则圆的半径为。

11．如图，AB是⊙O直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，求证：

AC2=AD·AB。

12．如图，AB是⊙O的弦，AB=12，PA切⊙O于A，PO⊥AB于C，PO=13，求PA的长。

解题指导：