直线与圆相切、弦长问题(学生).doc

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　直线与圆的位置关系（复习）

复习要求　1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．

直线与圆的位置关系：

设直线l：

Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0），圆：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r>0），

d为圆心（a，b）到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

几何法

代数法

相交

d

Δ>0

相切

d＝r

Δ＝0

相离

d>r

Δ<0

[难点正本　疑点清源]

1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．

2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法

几何方法：

运用弦心距（即圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．

1.．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．

2．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P（3,2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．

3．（2015·重庆）过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________

题型一　直线与圆的位置关系

例1　已知直线l：

y＝kx＋1，圆C：

（x－1）2＋（y＋1）2＝12.

（1）试证明：

不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．

（2015·安徽改编）若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是__________．

题型二　圆的切线问题

例2　已知点M（3,1），直线ax－y＋4＝0及圆（x－1）2＋（y－2）2＝4.

（1）求过M点的圆的切线方程；

（2）若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；

（3）若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．

探究提高　求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．

已知点A（1，a），圆x2＋y2＝4.（a>0）若过点A的圆的切线只有一条，

求a的值及切线方程；

方法与技巧

1．过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.

2．过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法

（1）几何方法：

当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k（x－x0），即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．

（2）代数方法：

设切线方程为y－y0＝k（x－x0），即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．

3．圆的弦长的求法

（1）几何法：

设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2.

（2）代数法：

设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点,两点间距离公式。

失误与防范

1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．

2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．

　基础训练

1．若过点A（a，a）可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为______________．

2．若直线y＝x＋4与圆（x－a）2＋（y－3）2＝8相切，则a＝___________．

3．设m，n∈R，若直线（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1相切，则m＋n的取值范围是____________．

4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．

5．设直线ax－y＋3＝0与圆（x－1）2＋（y－2）2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a＝________.

6．直线y＝kx＋3与圆（x－2）2＋（y－3）2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是______________．