直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题.doc
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直线与圆、圆与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离无交点;
2、直线与圆相切有一个交点(切点);
3、直线与圆相交有两个交点;
二、切线的判定定理与性质
(1)切线的判定定理:
过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件:
过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:
∵且过半径外端
∴是⊙的切线
(2)性质定理:
经过切点的半径垂直于圆的切线
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心(如上图)
①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
例1、在中,BC=6cm,∠B=30°,∠C=45°,以A为圆心,当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切?
相交?
相离?
解题思路:
作AD⊥BC于D
在中,∠B=30° ∴
在中,∠C=45°
∴CD=AD
∵BC=6cm ∴
∴
∴当时,⊙A与BC相切;当时,⊙A与BC相交;当时,⊙A与BC相离。
例2.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB=∠A.
(1)CD与⊙O相切吗?
如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由.
(2)若CD与⊙O相切,且∠D=30°,BD=10,求⊙O的半径.
解题思路:
(1)要说明CD是否是⊙O的切线,只要说明OC是否垂直于CD,垂足为C,因为C点已在圆上.
由已知易得:
∠A=30°,又由∠DCB=∠A=30°得:
BC=BD=10
解:
(1)CD与⊙O相切
理由:
①C点在⊙O上(已知)
②∵AB是直径
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°
∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A
∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°
综上:
CD是⊙O的切线.
(2)在Rt△OCD中,∠D=30°
∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°
∴BC=BD=10
∴AB=20,∴r=10
答:
(1)CD是⊙O的切线,
(2)⊙O的半径是10.
三、切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:
∵、是的两条切线
∴平分
(证明)
四、圆幂定理
(1)相交弦定理:
圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
即:
在⊙中,∵弦、相交于点,
∴(相似)
(2)推论:
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:
在⊙中,∵直径,
∴
(3)切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即:
在⊙中,∵是切线,是割线
∴
(4)割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:
在⊙中,∵、是割线
∴
五、三角形的内切圆
(1)定义:
与三角形三边都相切的圆(角平分线的交点)
(2)内心、外切三角形
例1:
如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=,AO的延长线交BC于点D,AC=4,DC=1,,则⊙O的半径等于 ( )
1、如图,∠ABC=90°,O为射线BC上一点,以点O为圆心、BO长为半径作⊙O,当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与⊙0相切.
六、圆与圆的位置关系
外离(图1)无交点;
外切(图2)有一个交点;
相交(图3)有两个交点;
内切(图4)有一个交点;
内含(图5)无交点;
例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示(点O,O′是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大小.
(1)
(2)
解题思路:
要求∠TPN,其实就是求∠OPO′的角度,很明显,∠POO′是正三角形,如图2所示.
解:
∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60°
又∵TP与NP分别为两圆的切线,∴∠TPO=90°,∠NPO′=90°
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°
例2.如图1所示,⊙O的半径为7cm,点A为⊙O外一点,OA=15cm,
求:
(1)作⊙A与⊙O外切,并求⊙A的半径是多少?
(1)
(2)
(2)作⊙A与⊙O相内切,并求出此时⊙A的半径.
解题思路:
(1)作⊙A和⊙O外切,就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA;(2)作OA与⊙O相内切,就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA-rO.
解:
如图2所示,
(1)作法:
以A为圆心,rA=15-7=8为半径作圆,则⊙A的半径为8cm
(2)作法:
以A点为圆心,rA′=15+7=22为半径作圆,则⊙A的半径为22cm
例3.如图所示,点A坐标为(0,3),OA半径为1,点B在x轴上.
(1)若点B坐标为(4,0),⊙B半径为3,试判断⊙A与⊙B位置关系;
_
A
_
y
_
x
_
O
(2)若⊙B过M(-2,0)且与⊙A相切,求B点坐标.
答
(1)AB=5>1+3,外离.
(2)设B(x,0)x≠-2,则AB=,⊙B半径为│x+2│,
①设⊙B与⊙A外切,则=│x+2│+1,
当x>-2时,=x+3,平方化简得:
x=0符题意,∴B(0,0),
当x<-2时,=-x-1,化简得x=4>-2(舍),
②设⊙B与⊙A内切,则=│x+2│-1,
当x>-2时,=x+1,得x=4>-2,∴B(4,0),
当x<-2时,=-x-3,得x=0,
七、两圆公共弦定理:
两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图:
垂直平分。
即:
∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
八、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式:
(1)公切线长:
中,;
(2)外公切线长:
是半径之差;内公切线长:
是半径之和。
九、圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:
;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在中进行,:
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在中进行,.
基础训练
1.填表:
直线与圆的
位置关系
图形
公共点
个数
公共点
名称
圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系
直线的
名称
相交
相切
相离
2.若直线a与⊙O交于A,B两点,O到直线a的距离为6,AB=16,则⊙O的半径为_____.
3.在△ABC中,已知∠ACB=90°,BC=AC=10,以C为圆心,分别以5,5,8为半径作图,那么直线AB与圆的位置关系分别是______,_______,_______.
4.⊙O的半径是6,点O到直线a的距离为5,则直线a与⊙O的位置关系为()
A.相离B.相切C.相交D.内含
5.下列判断正确的是()
①直线上一点到圆心的距离大于半径,则直线与圆相离;②直线上一点到圆心的距离等于半径,则直线与圆相切;③直线上一点到圆心的距离小于半径,则直线与圆相交.
A.①②③B.①②C.②③D.③
6.OA平分∠BOC,P是OA上任一点(O除外),若以P为圆心的⊙P与OC相离,那么⊙P与OB的位置关系是()
A.相离B.相切C.相交D.相交或相切
7.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=6,CB=8,以C为圆心,r为半径作⊙C,当r为多少时,⊙C与AB相切?
8.如图,⊙O的半径为3cm,弦AC=4cm,AB=4cm,若以O为圆心,再作一个圆与AC相切,则这个圆的半径为多少?
这个圆与AB的位置关系如何?
◆提高训练
9.如图所示,在直角坐标系中,⊙M的圆心坐标为(m,0),半径为2,如果⊙M与y轴所在直线相切,那么m=______,如果⊙M与y轴所在直线相交,那么m的取值范围是_______.
10.如图,△ABC中,AB=AC=5cm,BC=8cm,以A为圆心,3cm长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______.
11.如图,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O,过O作EF∥AB,交BC于E,交AD于F,则以点B为圆心,长为半径的圆与直线AC,EF,CD的位置关系分别是什么?
12.已知⊙O的半径为5cm,点O到直线L的距离OP为7cm,如图所示.
(1)怎样平移直线L,才能使L与⊙O相切?
(2)要使直线L与⊙O相交,应把直线L向上平移多少cm?
13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,若以C为圆心,r为半径作圆,那么:
(1)当直线AB与⊙C相切时,求r的取值范围;
(2)当直线AB与⊙C相离时,求r的取值范围;
(3)当直线AB与⊙C相交时,求r的取值范围.
14.在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来,已知该风暴速度为每小时20千米,风暴周围50千米范围内将受到影响,若该风暴不改变速度与方向,问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响?
若不受影响,请说明理由;若受影响,请求出受影响的时间.
九年级下册直线和圆的位置关系练习题
一、选择题:
1.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O为圆心,6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是()
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
2.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以C为圆心作⊙C和AB相切,则⊙C的半径长为()
A.8 B.4 C.9.6 D.4.8
3.⊙O内最长弦长为,直线与⊙O相离,设点O到的距离为,则与的关系是()
A.= B.> C.> D.<
4.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边,则该三角形为()
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
5.菱形对角线的交点为O,以O为圆心,以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为()
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
6.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB为6,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是()
A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定
7.下列四边形中一定有
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- 直线 位置 关系 知识点 习题