中考冲刺几何综合问题知识讲解基础Word文档格式.docx
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⑵求四边形QAPC的面积;
提出一个与计算结果有关的结论;
⑶当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
【思路点拨】⑴中应由△QAP为等腰直角三角形这一结论,需补充条件AQ=AP,由AQ=6-t,AP=2t,可求出t的值;
⑵中四边形QAPC是一个不规则图形,其面积可由矩形面积减去△DQC与△PBC的面积求出;
⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式,因此需分类讨论.
【答案与解析】
解:
(1)对于任何时刻t,AP=2t,DQ=t,QA=6-t.
当QA=AP时,△QAP为等腰直角三角形,即6-t=2t,解得:
t=2(s),
所以,当t=2s时,△QAP为等腰直角三角形.
(2)在△QAC中,QA=6-t,QA边上的高DC=12,
∴S△QAC=
QA•DC=
(6-t)•12=36-6t.
在△APC中,AP=2t,BC=6,
∴S△APC=
AP•BC=
•2t•6=6t.
∴S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=(36-6t)+6t=36(cm2).
由计算结果发现:
在P、Q两点移动的过程中,四边形QAPC的面积始终保持不变.(也可提出:
P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)
(3)根据题意,可分为两种情况,在矩形ABCD中:
①当
时,△QAP∽△ABC,则有:
,解得t=1.2(s),
即当t=1.2s时,△QAP∽△ABC;
②当
时,△PAQ∽△ABC,则有:
,解得t=3(s),
即当t=3s时,△PAQ∽△ABC;
所以,当t=1.2s或3s时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.
【总结升华】本题是动态几何题,同时也是一道探究题.要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力,这就要求我们通过计算分析,抓住其本质,揭示出变中不变的规律.四边形QAPC的面积也可由△QAC与△CAP的面积求出,;
⑶中考查了分类讨论的数学思想,结论具有一定的开放性.
2.(永春县校级月考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,CD=5,BC=10,梯形的高为4,动点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度向终点C运动;
动点N同时从点C出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒
(1)直接写出梯形ABCD的中位线长;
(2)当MN∥AB时,求t的值;
(3)试探究:
t为何值时,使得MC=MN.
【思路点拨】
(1)直接利用梯形中位线的定理求出即可;
(2)平移梯形的一腰,根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解;
(3)利用MC=MN时,结合路程=速度×
时间求得其中的有关的边,运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解.
(1)∵AD=3,BC=10,
∴梯形ABCD的中位线长为:
(3+10)÷
2=6.5;
(2)如图1,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG,
∴BG=AD=3.
∴GC=10﹣3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10﹣2t.
∵DG∥MN,
∴△MNC∽△GDC.
∴
=
,
即
.
解得,t=
;
(3)当MC=MN时,如图2,过M作MF⊥CN于F点,FC=
NC=
t.
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°
∴△MFC∽△DHC,
解得:
t=
综上所述,t=
时,MC=MN.
【总结升华】解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解,但是对于大多数题目来说,都有一个由动转静的拐点.
3.(2016秋•泗阳县期末)
(1)已知:
如图1,△ABC为等边三角形,点D为BC边上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等边△ADE,连接CE.求证:
①BD=CE,②AC=CE+CD;
聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究.
(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=90°
,AC=AB,点D为BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°
(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE,类比题
(1),请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系,请直接写出,不需论证;
(3)如图3,在
(2)的条件下,若D点在BC的延长线上运动,以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°
(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE.
①题
(2)的结论还成立吗?
请说明理由;
②连结BE,若BE=10,BC=6,求AE的长.
(1)①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°
,AB=BC=AC,AD=DE=AE,进而就可以得出△ABD≌△ACE,即可得出结论;
②由△ABD≌△ACE,以及等边三角形的性质,就可以得出AC=DC+CE;
(2)先判定△ABD≌△ACE(SAS),得出∠B=∠ACE=45°
,BD=CE,在Rt△DCE中,根据勾股定理得出CE2+CD2=DE2,即可得到BD2+CD2=DE2;
(3)①运用
(2)中的方法得出BD2+CD2=DE2;
②根据Rt△BCE中,BE=10,BC=6,求得CE=
=8,进而得出CD=8﹣6=2,在Rt△DCE中,求得DE=
,最后根据△ADE是等腰直角三角形,即可得出AE的长.
(1)①如图1,∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°
,AB=BC=AC,AD=DE=AE,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,
∴∠BAD=∠EAC.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;
②∵BD=CE,AC=BC,
又∵BC=BD+CD,
∴AC=CE+CD;
(2)BD2+CD2=DE2.
证明:
如图2,∵∠BAC=∠DAE=90°
即∠BAD=∠CAE,
在△ABD与△ACE中,
∴∠B=∠ACE=45°
,BD=CE,
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°
∴∠BCE=90°
∴Rt△DCE中,CE2+CD2=DE2,
∴BD2+CD2=DE2;
(3)①
(2)中的结论还成立.
理由:
如图3,∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠ABC=∠ACE=45°
∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°
=∠ECD,
②∵Rt△BCE中,BE=10,BC=6,
∴CE=
=8,
∴BD=CE=8,
∴CD=8﹣6=2,
∴Rt△DCE中,DE=
∵△ADE是等腰直角三角形,
∴AE=
【总结升华】本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.
举一反三:
【变式】△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,若
<∠PBC<180°
,且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA,
(1)当BP与BA重合时(如图1),∠BPD=°
(2)当BP在∠ABC的内部时(如图2),求∠BPD的度数;
(3)当BP在∠ABC的外部时,请你直接写出∠BPD的度数,并画出相应的图形.
【答案】
(1)∠BPD=30°
(2)如图3,连结CD.
∵点D在∠PBC的平分线上,
∴∠1=∠2.
∵△ABC是等边三角形,
∴BA=BC=AC,∠ACB=60°
∵BP=BA,
∴BP=BC.
∵BD=BD,
∴△PBD≌△CBD.
∴∠BPD=∠3.
∵DB=DA,BC=AC,CD=CD,
∴△BCD≌△ACD.
∴
.
∴∠BPD=30°
(3)∠BPD=30°
或150°
.
类型二、几何计算型问题
【高清课堂:
几何综合问题例1】
4.如图,直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°
,AC=8,BC=6.折叠该纸片使点B与点C重合,折痕与AB、BC的交点分别为D、E.
(1)DE的长为;
(2)将折叠后的图形沿直线AE剪开,原纸片被剪成三块,其中最小一块的面积等于.
(1)由题意可得:
DE是线段BC的垂直平分线,易证DE∥AC,即DE是△ABC的中位线,即可求得DE的长;
(2)由DE∥AC,DE=
AC,易证△AOC∽△EOD,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得OA:
OE=2,然后求得△ACE的面积,利用等高三角形的面积比等于对应底的比,即可求得答案.
(1)根据题意得:
DE⊥BC,CE=BE,
∵∠ACB=90°
即AC⊥BC,
∴DE∥AC,
∴AD=BD,
∴DE=
AC=
×
8=4;
(2)∵DE∥AC,DE=
AC,
∴△AOC∽△EOD,
∴OA:
OE=AC:
DE=2,
∵CE=
BC=
6=3,
,AC=8,
∴S△ACE=
CE•AC=
3×
8=12,
∴S△OCE=
S△ACE=4,
∴S△ADE+S△ODE=S△ABC-4-12=8,
∴其中最小一块的面积等于4.
【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中,注意数形结合思想的应用,注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题.
举一反三
【变式】在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°
,AE为BC边上的高,将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E,那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是.
【答案】在Rt△ABE中,∵∠B=45°
,AB=2,
∴AE=BE=
,∴S△ABE=1.
由翻折的性质可知:
△AB′E≌△ABE,∴EB′=EB=
∴B′C=BB′-BC=2
-2,
∵四边形ABCD是菱形,∴CF∥BA.
∴∠B′FC=∠B′AB=90°
∠B′CF=∠B=45°
∴CF=
,∴S
=
=3-2
∴S阴=S
-S
=2
-2.
5.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,∠A=45°
,AB=10cm,CD=4cm,等腰直角△PMN的斜边MN=10cm,A点与N点重合,MN和AB在一条直线上,设等腰梯形ABCD不动,等腰直角△PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动,直到点N与点B重合为止.
(1)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为________形;
(2)设当等腰直角△PMN移动x(s)时,等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2),求y与x之间的函数关系式;
(3)当x=4(s)时,求等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.
(1)根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°
,求出∠AEN,根据等腰直角三角形的判定判断即可;
推出∠DAB=∠PNM=45°
,根据等腰梯形的判定判断即可;
(2)可分为以下两种情况:
①当0<x≤6时,重叠部分的形状为等腰直角△EAN,AN=x(cm),过点E作EH⊥AB于点H,则EH平分AN,求出EH,根据三角形的面积公式求出即可;
②当6<x≤10时,重叠部分的形状是等腰梯形ANED,求出AN=x(cm),CE=BN=10-x,DE=x-6,过点D作DF⊥AB于F,过点C作CG⊥AB于G,求出DF,代入梯形面积公式求出即可.
(1)等腰直角三角形;
等腰梯形.
(2)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重合部分图形的形状可分为以下两种情况:
①当0<x≤6时,重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm),过点E作EH⊥AB于点H,则EH平分AN,
∴EH=
AN=
x, ∴y=S△ANE=
AN·
EH=
x·
x=
.
②当6<x≤10时,重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②).
此时,AN=x(cm),∵∠PNM=∠B=45°
,∴EN∥BC,
∵CE∥BN,∴四边形ENBC是平行四边形,
CE=BN=10-x,DE=4-(10-x)=x-6,
过点D作DF⊥AB于F,过点C作CG⊥AB于G,
则AF=BG,DF=AF=
(10-4)=3,
∴y=S梯形ANED=
(DE+AN)·
DF=
(x-6+x)×
3=3x-9.
综上,
(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时,移动时间为6(s),
∴当x=4(s)时,y=
x2=
42=4.
∴当x=4(s)时,等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.
【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,三角形的面积,平移的性质,等腰直角三角形等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.
【变式】如图,等腰梯形ABCD中,AB=15,AD=20,∠C=30°
.点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.
(1)设ND的长为x,用x表示出点N到AB的距离,并写出x的取值范围;
(2)当五边形BCDNM面积最小时,请判断△AMN的形状.
【答案】
(1)过点N作BA的垂线NP,交BA的延长线于点P.则AM=x,AN=20-x.
∵四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠D=∠C=30°
∴∠PAN=∠D=30°
在Rt△APN中,PN=AN×
sin∠PAN=
(20-x),即N到AB距离为
(20-x).
∵点N在AD上,0≤x≤20,点M在AB上,0≤x≤15,∴x取值范围是0≤x≤15.
(2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值,
∴当S五边形BCDMN最小时,应使S△AMN最大
据
(1),S△AMN=
AM·
NP=
∵
<0,∴当x=10时,S△AMN有最大值.
∴当x=10时,S五边形BCDNM有最小值.
当x=10时,即ND=AM=10,AN=AD-ND=10,即AM=AN.
则当五边形BCDNM面积最小时,△AMN为等腰三角形.
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