特岗教师考试数学专业知识总复习题纲.doc
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特岗教师考试数学专业知识总复习题纲
集合
一、复习要求
1、理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义;
2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法;
3、理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法;
4、理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系;
5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。
二、学习指导
1、集合的概念:
(1)集合中元素特征,确定性,互异性,无序性;
(2)集合的分类:
①按元素个数分:
有限集,无限集;
②按元素特征分;数集,点集。
如数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;
(3)集合的表示法:
①列举法:
用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,…};②描述法。
2、两类关系:
(1)元素与集合的关系,用或表示;
(2)集合与集合的关系,用,,=表示,当AB时,称A是B的子集;当AB时,称A是B的真子集。
3、集合运算
(1)交,并,补,定义:
A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},CUA={x|x∈U,且xA},集合U表示全集;
(2)运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),
CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。
4、命题:
(1)命题分类:
真命题与假命题,简单命题与复合命题;
(2)复合命题的形式:
p且q,p或q,非p;
(3)复合命题的真假:
对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。
对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。
(3)四种命题:
记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。
其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。
因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。
5、充分条件与必要条件
(1)定义:
对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当它的逆命题为真时,q是p的充分条件,p是q的必要条件,两种命题均为真时,称p是q的充要条件;
(2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:
充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。
从集合角度看,若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合q,则当AB时,p是q的充分条件。
BA时,p是q的充分条件。
A=B时,p是q的充要条件;
(3)当p和q互为充要时,体现了命题等价转换的思想。
6、反证法是中学数学的重要方法。
会用反证法证明一些代数命题。
7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。
学会用集合的思想处理数学问题。
三、典型例题
例1、已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N。
解题思路分析:
在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。
M、N均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。
其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。
M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}
∴M∩N=M={y|y≥1}
说明:
实际上,从函数角度看,本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。
一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。
此集合与集合{(x,y)|y=x2+1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y=x2+1上的所有点,属于图形范畴。
集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。
例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B+{x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围。
解题思路分析:
化简条件得A={1,2},A∩B=BBA
根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2}
当B=φ时,△=m2-8<0
∴
当B={1}或{2}时,,m无解
当B={1,2}时,
∴m=3
综上所述,m=3或
说明:
分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。
例3、用反证法证明:
已知x、y∈R,x+y≥2,求证x、y中至少有一个大于1。
解题思路分析:
假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾
∴假设不成立
∴x、y中至少有一个大于1
说明;反证法的理论依据是:
欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。
例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。
解题思路分析:
利用“”、“”符号分析各命题之间的关系
DCBA
∴DA,D是A的充分不必要条件
说明:
符号“”、“”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。
例5、求直线l:
ax-y+b=0经过两直线l1:
2x-2y-3=0和l2:
3x-5y+1=0交点的充要条件。
解题思路分析:
从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。
由得l1,l2交点P()
∵l过点P
∴
∴17a+4b=11
充分性:
设a,b满足17a+4b=11
∴
代入l方程:
整理得:
此方程表明,直线l恒过两直线的交点()
而此点为l1与l2的交点
∴充分性得证
∴综上所述,命题为真
说明:
关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“”,双向传输,同时证明充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。
四、同步练习
(一)选择题
1、设M={x|x2+x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与M的关系是
A、{a}=MB、M{a}C、{a}MD、M{a}
2、已知全集U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且A∩B=φ,则a的取值范围是
A、[0,2]B、(-2,2)C、(0,2]D、(0,2)
3、已知集合M={x|x=a2-3a+2,a∈R},N、{x|x=b2-b,b∈R},则M,N的关系是
A、MNB、MNC、M=ND、不确定
4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是
A、11B、10C、16D、15
5、集合M={1,2,3,4,5}的子集是
A、15B、16C、31D、32
6、对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是
A、所给命题为假B、它的逆否命题为真
C、它的逆命题为真D、它的否命题为真
7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的
A、充分不必要条件B、必要不充分条件
C、充要条件D、既不充分也不必要条件
8、集合A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3l+1,l∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是
A、SBAB、S=BAC、SB=AD、SB=A
9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是
A、0 C、m<1D、m≤1 10、已知p: 方程x2+ax+b=0有且仅有整数解,q: a,b是整数,则p是q的 A、充分不必要条件B、必要不充分条件 充要条件D、既不充分又不必要条件 (二)填空题 11、已知M={},N={x|,则M∩N=__________。 12、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球爱好者65人,则两者都爱好的人数最少是________人。 13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。 14、命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。 15、非空集合p满足下列两个条件: (1)p{1,2,3,4,5}, (2)若元素a∈p,则6-a∈p,则集合p个数是__________。 (三)解答题 16、设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|},若A∩B是单元素集合,求a取值范围。 17、已知抛物线C: y=-x2+mx-1,点M(0,3),N(3,0),求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。 18、设A={x|x2+px+q=0}≠φ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A∩M=φ,A∩N=A,求p、q的值。 19、已知,b=2-x,c=x2-x+1,用反证法证明: a、b、c中至少有一个不小于1。 函数 一、复习要求 7、函数的定义及通性; 2、函数性质的运用。 二、学习指导 1、函数的概念: (1)映射: 设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应,则称从A到B的对应为映射,记为f: A→B,f表示对应法则,b=f(a)。 若A中不同元素的象也不同,则称映射为单射,若B中每一个元素都有原象与之对应,则称映射为满射。 既是单射又是满射的映射称为一一映射。 (2)函数定义: 函数就是定义在非空数集A,B上的映射,此时称数集A为定义域,象集C={f(x)|x∈A}为值域。 定义域,对应法则,值域构成了函数的三要素,从逻辑上讲,定义域,对应法则决定了值域,是两个最基本的因素。 逆过来,值域也会限制定义域。 求函数定义域,通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。 要熟记基本初等函数的定义域,通过四则运算构成的初等函数,其定义域是每个初等函数定义域的交集。 复合函数定义域,不仅要考虑内函数的定义域,还要考虑到外函数对应法则的要求。 理解函数定义域,应紧密联系对应法则。 函数定义域是研究函数性质的基础和前提。 函数对应法则通常表现为表格,解析式和图象。 其中解析式是最常见的表现形式。 求已知类型函数解析式的方法是待定系数法,抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。 求函数值域是函数中常见问题,在初等数学范围内,直接法的途径有单调性,基本不等式及几何意义,间接法的途径为函数与方程的思想,表现为△法,反函数法等,在高等数学范围内,用导数法求某些函数最值(极值)更加方便。 在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题,它的一种典型处理方法就是建立函数解析式,借助于求函数值域的方法。 2、函数的通性 (1)奇偶性: 函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必
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