技术支持的方法指导 平面与平面垂直的判定的教学设计Word格式.docx
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的判定定理,提高学生的抽象概括能力。
(3)通过运用定理的过程,培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。
3、情感目标
(1)让学生亲身经历数学研究的全过程,体验探索的乐趣。
(2)通过有趣的、贴近学生生活的数学活动,使学生体会数学存在于现实生活
周围,从中激发学生积极思维,增强学习数学的兴趣。
三、教学重点、难点
重点:
(1)二面角及其平面角概念的形成过程;
(2)面面垂直的判定定理的运用。
难点:
二面角的平面角的形成过程及寻找方法。
四、学法与教学用具
学法:
实物观察,直观感知,操作确认,类比归纳,语言表达。
教学用具:
二面角模型,折叠纸,多媒体软硬件设备等。
1
五、教学基本流程(总体设计)
从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念
↓
构建二面角的的平面角概念
探究平面与平面垂直的判定方法
平面与平面垂直的判定定理的应用
课堂检测
课堂小结
布置作业
六、教学情境设计
(一)创设情景
问题1:
平面几何中“角”是怎样定义的?
问题2:
在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”
又是怎样定义的?
它们有什么共同的特征?
以上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:
直线与直线
相交成一定的角,直线与平面也相交成一定的角,那么平面与平面相交是否也
成一定角?
下面我们共同来观察,研探。
(二)建构理论
1、二面角的引入和构建
通过多媒体请同学们观察图片,发射人造卫星时要根据需要,使卫星轨道
平面与地球赤道平面成一定的角度;
修筑水坝时为了使水坝坚固耐用,必须使
水坝面与水平面成适当的角度;
建造房屋时墙面,地面,屋顶也会成一定的角
度。
问题3:
这样的角有何特点呢?
设计意图:
从实际背景出发,增加学生对二面角的感性认识.让学生感受生活中
处处有数学,数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
问题4:
类比初中所学角的概念,能否归纳出二面角的概念?
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角,
这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
教师通过折叠一张纸给学生演示二面角
概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括,对已有
知识的类比模仿,设置学生的最近思维发展区,不将书中的定义生
2
硬地教给学生,而是通过自制模具的演示,采用类比的思想将二面角的概念移
植过来。
问题5:
能否举出实际生活中一些二面角的例子?
问题6:
如何表示二面角?
让学生在此基础上再举一些二面角角的例子.如教室的门在打开的过
程中与墙面成一定的角度;
书本翻开的过程中,两张纸面呈一定的角度等.
以知识填空的形式呈现,使学生了解二面角的数学符号表述。
2、二面角的度量
我们常说“把门开得大些”,是指哪个角大些,我们应该怎样刻画
二面角的大小?
(回想:
异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的
特征?
)
引导学生动手操作------
翻开教科书成二面角形状,观察书页底部边沿所成的平面角随着翻动幅度的改变
(二面角)而改变的情况。
引导学生进分析书页底部边沿所成的平面角的特点:
①平面角的顶点在棱上;
②平面角的两边分别在二面角的两个平面内;
③两边分别垂直于棱。
如果平面角的两边不垂直于棱行吗?
引导学生用“平面化”的思想来思考问题.
捕捉创造适宜于学生领悟的问题情境,让学生动手操作,直观感受数学活动形
象而生动的特点,生成知识。
问题3:
根据平面角的特点与作法,你能归纳出二面角的平面角的概念吗?
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作
垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。
β
A
α
O
B
对于确定的二面角而言,满足上述特点的平面角有多少个?
请在二面
角模型上任意作两个平面角,平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系?
归纳:
①二面角的平面角与点的位置无关,只与二面角的张角大小有关。
②二面角是用它的平面角来度量的,一个二面角的平面角多大,就说这个二面
角是多少度的二面角。
③二面角的取值范围为[0°
180°
]
④平面角是直角的二面角叫做直二面角。
提高学生数学表达、归纳能力。
让学生经历从直观到抽象、从特殊
到一般、从感性到理性的认知过程,使得学生对概念的认识不断深化。
3
例1:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中
(1)求二面角D1-AB-D的大小
A1
D1
B1
C1
(2)求二面角A1-AB-D的大小
思维方法:
(1)找出或作出二面角的平面角
(2)证明其符合定义(垂直于棱)
(3)计算
D
C
设计意图:
通过例1加强学生对二面角的平面角的理解并归纳出求二面角的方法。
3、探究平面与平面垂直的判定定理
教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角?
分别指出构成这些
二面角的面、棱、平面角及度数?
类比线线垂直的定义,如何用二面角的平面角的大小给面面垂直下
一个定义?
引导学生归纳面面垂直的定义。
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直.
采用类比迁移的思想归纳面面垂直的定义,提高学生的抽象概括能
力和知识迁移能力。
在工程建设中,建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是
否垂直,即若紧贴墙面的铅锤的线,如垂直地面,则确定墙面与地面垂直,否
则不垂直。
紧贴墙面的线?
这句话的实质意义是什么?
(学生讨论,期望回答
:
即此线在墙所在平面)
由此实际问题如何抽象为数学问题呢?
(学生交流讨论,期望回答:
若平面过
另一平面的垂线,则平面垂直)
引导学生,画出图形。
并转化成数学符号语言
AB⊥β且AB⊂α则α⊥β
归纳生成两个平面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上通过问题引领,来促成
学生形成面面垂直的判定定理。
通过学生交流讨论,把实际问题抽象成数学问
题,并赋予抽象的数学符号和表达方式。
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问题4:
演示开门、关门的过程:
门与地面始终垂直吗?
为什么?
将课本打
开,直立放在桌面上,每页纸张与桌面是否垂直?
(用判定定理解释
判定面面垂直的本质和关键是什么?
用判定定理解释生活中的常见现象,让学生意识到数学来源于生活
,服务于生活,也体现了从特殊到一般再到特殊的知识认知过程。
促进学生数学思想方法的形成,引导学生确实掌握"
降维"
的转化与化归的数学
思想方法。
4、平面与平面垂直的判定定理的应用
例2:
如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的
任意一点,求证:
平面PAC⊥平面PBC
证明:
设⊙O所在平面为α,由已知条件,
PA⊥α,BC在α内,
所以,PA⊥BC,
因为,点C是不同于A,B的任意一点,AB为⊙O的直径,
所以,∠BCA=90°
,即BC⊥CA
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条相交直线,
所以,BC⊥平面PAC,
又因为BC在平面PBC内,
所以,平面PAC⊥平面PBC。
通过例2加强学生对面面垂直的判定定理的理解,从而进一步体会垂
直关系的相互转化。
虽然多媒体的使用方便快捷,但不能完全代替板书,因此
教师一定要对证明过程进行规范、完整的板书,引导学生注意证明过程的规范
性和严谨性,帮助学生养成良好的学习习惯。
(三)检测反馈
检测一:
1、正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABC1D1与正方体的各个面所成二面角的
大小分别是多少?
(学生自己根据题意画图)
2、正方体ABCD-A1B1C1D1中,在图中作出二面角C1-BD-C,C1-BD-A的
平面角。
检测二:
1、如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD
(1)四个面的形状怎样?
(2)
有哪些直线与平面垂直?
(3)有哪些平面互相垂直?
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2、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,求证平面ACC1A1⊥平面A1BD
检验学生的学习目标达成情况。
(四)回顾反思
学生通过总结自己的收获和存在的问题,教师提炼深化内容,让学生从中体会
到数学学习中的合作探究精神和实践能力。
七、作业分层设计
基础题:
课本P73
拓展题:
课本P69
习题2.3A组3,4.
例3
在四面体PABC中任意两个平面所成的二面角的平面角如何确定?
八、板书设计
平面与平面垂直的判定
一、二面角
二、二面角的平面角
三、面面垂直的定义
四、定理内容
五、定理证明
六、例题
例2:
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