初中数学四边形梯形Word文档格式.docx
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作梯形的高,根据等腰三角形的性质可以求得各个角的度数,作高后,进一步发现30度的直角三角形.根据30度的直角三角形的性质求得该梯形的高和下底,再根据面积进行计算.
解:
如图,作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,
∴AE∥DF
又∵AD∥BC,且∠A=120°
,
∴∠ABC=60°
,AE=DF,
∵AB=AD=4,
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°
在Rt△ABE中,得AE=23,
在Rt△BDF中,BD=2DF=2AE=43
∴BC=BD=43
∴S梯形ABCD=12(AD+BC)•AE=(12+43)cm2.
3
(2010•汕头)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°
,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:
四边形ADFE是平行四边形.
(1)首先Rt△ABC中,由∠BAC=30°
可以得到AB=2BC,又△ABE是等边三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可证明△AFE≌△BCA,再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF;
(2)根据
(1)知道EF=AC,而△ACD是等边三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形.
(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°
∴AB=2BC,
又△ABE是等边三角形,EF⊥AB,
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF,且AB=2AF,
∴AF=CB,
而∠ACB=∠AFE=90°
∴△AFE≌△BCA,
∴AC=EF;
(2)由
(1)知道AC=EF,
而△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD,且AD⊥AB,
而EF⊥AB,
∴EF∥AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
4
(2010•丹东)如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.
先证∠AEF=∠ECD,再证Rt△AEF≌Rt△DCE,然后结合题目中已知的线段关系求解.
在Rt△AEF和Rt△DEC中,EF⊥CE.
∴∠FEC=90°
∴∠AEF+∠DEC=90°
而∠ECD+∠DEC=90°
∴∠AEF=∠ECD.(3分)
又∠FAE=∠EDC=90°
,EF=EC.
∴Rt△AEF≌Rt△DCE.(5分)
∴AE=CD.(6分)
AD=AE+4.
∵矩形ABCD的周长为32cm.
∴2(AE+AE+4)=32.(8分)
解得,AE=6(cm).(10分)
5
(2009•芜湖)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD=CD,∠BDC=90°
,AD=3,BC=8.则AB=
17
BD=CD,∠BDC=90°
则△BDC是等腰直角三角形,过点D作DF⊥BC,则DF=12BC,并且DF是梯形的高线,过点A作AE⊥BC,则AE=DF,在直角△ABE中根据勾股定理,就可以求出AB的长.
作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F.(1分)
∴AE∥DF,∠AEF=90°
∴四边形AEFD是矩形.
∴EF=AD=3,AE=DF.(3分)
∵BD=CD,DF⊥BC,
∴DF是△BDC的BC边上的中线.
∵∠BDC=90°
∴DF=12BC=BF=4.(4分)
∴AE=4,BE=BF-EF=4-3=1.(6分)
在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2
∴AB=42+12=17.(8分)
6
(2003•甘肃)如图,在梯形ABCD中,BC∥AD,∠A=90°
,AB=2,BC=3,AD=4,E为AD的中点,F为CD的中点,P为BC上的动点(不与B、C重合).设BP为x,四边形PEFC的面积为y.
则y关于x的函数关系式是______y=4-x,x的取值范围是______
0<x<3
结合图形,则要求的四边形的面积即是梯形CPED的面积减去EDF的面积.要求三角形EDF的面积,根据三角形的中位线定理,则FG等于AB的一半.
过F作FG⊥AD,G为垂足.(1分)
∵F为CD的中点,∠A=90°
,AB=2,
∴FG=1.
∵BC=3,BP=x,
∴PC=3-x.
∵AD=4,E为AD的中点,
∴ED=2.(4分)
∴S四边形PEFC=S梯形PEDC-S△EFD=[(3-x)+2]×
22-12×
2×
1
=5-x-1
=4-x.(7分)
∴y=4-x,0<x<3.(8分)
7
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,且∠B+∠C=90°
,E、F分别是两底的中点,连接EF,若AB=8,CD=6,则EF=
过点E分别作EG∥AB,EH∥DC交BC于G,H,根据平行线的性质及三角形内角和定理可得△EGH是直角三角形,由平行四边形的判定定理可知四边形ABGE、EHCD都是平行四边形,利用勾股定理可求出GH的长,再根据直角三角形的性质可求出EF的长.
过点E分别作EG∥AB,EH∥DC交BC于G,H(如图)
∴∠B=∠EGH,∠C=∠EHG
∵∠B+∠C=90°
∴∠EGH+∠EHG=90°
∴△EGH是直角三角形
∵EG∥AB,EH∥DC,AD∥BC
∴四边形ABGE、EHCD都是平行四边形
∴AE=BG,ED=HC,EG=AB=8,EH=DC=6
在Rt△EGH中,GH=GE2+EH2=82+62=10
又∵E、F分别是两底的中点
∴AE=ED,BF=FC
∵AE=BG,ED=HC
∴GF=FH
即EF是Rt△EGH斜边的中线
∴EF=12GH=5.
8
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,∠B=30°
,AD=DC,E是AB中点,EF∥AC交BC于点F,且EF=3,则梯形ABCD的面积为
过点A作AG⊥BC于点G.
根据平行线等分线段定理发现三角形ABC的中位线EF,从而求得AC的长,再根据30°
的直角三角形的性质求得BG、AB的长,再根据直角三角形的面积公式即可求得其斜边上的高AG;
根据等边三角形的判定,发现等边三角形ACD,进一步求得AD的长,从而求得梯形的面积.
∵E是AB中点,且EF∥AC,
∴EF是△ABC的中位线.
∵EF=3,
∴AC=2EF=23.
∵∠B=30°
且AC⊥AB,
∴∠ACB=60°
,BC=43.
∴∠CAD=60°
又AD=DC,
∴△ACD是等边三角形.
∴AD=23.
在Rt△ACG中,∠AGC=90°
,∠ACG=60°
,AC=23,
∴AG=3.
∴S梯形ABCD=12(23+43)•3=93.
9
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,AC=3,BD=4,则梯形ABCD的面积为_____
过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E,得四边形ACED是平行四边形,则DE=AC=3,CE=AD=1.
根据勾股定理的逆定理即可证明三角形BDE是直角三角形.根据梯形的面积即为直角三角形BDE的面积进行计算.
过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E,
则四边形ACED是平行四边形
∴DE=AC=3,CE=AD=1
在三角形BDE中,∵BD=4,DE=3,BE=5.
∴根据勾股定理的逆定理,得三角形BDE是直角三角形.
∵AD∥BC
∴梯形的面积即是三角形BDE的面积,即3×
4÷
2=6.
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.若AC⊥BD,AD+BC=103,且∠ABC=60°
,则CD=
首先过D作DE⊥BC于E,过D作DF∥AC交BC延长线于F,把梯形转换成平行四边形和直角三角形的问题.求梯形的面积就变换成求三角形的面积,而求三角形的面积根据已知条件容易求出.
作DE⊥BC于E,过D作DF∥AC交BC延长线于F
∴四边形ADFC是平行四边形
∴AD=CF,DF=AC
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴AC=BD
∴DF=BD
又∵AC⊥BD,DF∥AC
∴BD⊥DF
∴△BDF是等腰直角三角形
∴DE=12BF=12(AD+BC)=53
在Rt△CDE中,
∵∠DCE=60°
,DE=CD•sin∠DCE
∴53=CD•sin60°
∴CD=10.
10
已知:
如图,梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,∠COD=60°
,若CD=3,AB=8,则梯形ABCD的高是
过点C作CE∥DB,交AB的延长线于点E,过点C作CH⊥AE于点H,根据等腰梯形的性质可知,AC=BD,由CE∥DB,DC∥AB,可知四边形DCEB为平行四边形,CD=BE=3,又∠COD=60°
,故∠ACE=60°
,△ACE为等边三角形,边长为AB+BE=11,解Rt△ACH可求高CH.
过点C作CE∥DB,交AB的延长线于点E
∴∠ACE=∠COD=60°
(1分)
又∵DC∥AB,∴四边形DCEB为平行四边形(2分)
∴BD=CE,BE=DC=3,AE=AB+BE=8+3=11(3分)
又∵DC∥AB,AD=BC,
∴DB=AC=CE
∴△ACE为等边三角形
∴AC=AE=11,∠CAB=60°
(4分)
过点C作CH⊥AE于点H.在Rt△ACH中,CH=AC•sin∠CAB=11×
32=1132
∴梯形ABCD的高为1132(5分)
已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD且梯形的高为6cm,则这个梯形的面积为36cm2.
过点D作DF∥AB,交BC的延长线于点F.由已知可证△BDF是等腰直角三角形,可得BF=2DE=12cm,即AD+BC=12cm,即可求出面积.
如图,过点D作DF∥AC,交BC的延长线于点F.
∵AD∥BF,
∴ADFC是平行四边形,
∴DF=AC,
又AC⊥BD,且AC=BD
∴BD⊥DF,BD=DF
∴BF=2DE=12cm,即AD+BC=12cm
∴S梯形ABCD=12×
6÷
2=36cm2
11
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,AB=BC,又AE⊥BC于E.比较线段CD=____CE.
连接AC,证△ADC≌△AEC,可得CD=CE.
相等,
连接AC,
∵CD∥AB,
∴∠DCA=∠CAB,
∵AB=BC
∴∠CAB=∠ACB,
∴∠DCA=∠BCA,
又∵∠D=∠CEA=90°
∴△ADC≌△AEC,
∴CD=CE.
12
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°
,AB=14cm,AD=15cm,BC=21cm,点M从点A开始,沿边AD向点D运动,速度为1cm/s;
点N从点C开始,沿边CB向点B运动,速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒.
(1)当t=5时,四边形MNCD是平行四边形.
(2)当t=9时,四边形MNCD是等腰梯形.
(1)根据平行四边形的性质,对边相等,求得t值;
(2)根据等腰梯形的性质,下底减去上底等于12,求解即可.
(1)∵MD∥NC,当MD=NC,即15-t=2t,t=5时,四边形MNCD是平行四边形;
(2)作DE⊥BC,垂足为E,则CE=21-15=6,当CN-MD=12时,即2t-(15-t)=12,t=9时,四边形MNCD是等腰梯形
13
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°
,AD=6,AB=32,点E在BC的延长线上,∠E=30°
,则BE的长为
过上底两顶点作高如图,求出高和BF的长度,再根据∠E=30°
,利用正切值求出EG,DE的长度即可求出.
如图,过A、D作AF⊥BC,DG⊥BC,则四边形AFGD是矩形,
∴FG=AD=6,
14
(2009•潍坊)在四边形ABCD中,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=a,DC=b,BC=a+b,且a≤b.取AD的中点P,连接PB、PC.试判断三角形PBC的形状;
根据已知条件,得到四边形ABCD为直角梯形或矩形.
过点P作PQ⊥BC,易证PQ=BQ=QC,则△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形,因而△PBC是等腰直角三角形.
(1)在四边形ABCD中,AB⊥BC,DC⊥BC,
∴AB∥DC.
又AB=a,DC=b,且a≤b,
∴四边形ABCD为直角梯形(或矩形).
过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,
∴PQ∥AB,
又点P是AD的中点,
∴点Q是BC的中点,
又PQ=12(AB+CD)=12(a+b)=12BC,
∴PQ=BQ=QC.
∴△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形.
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=90°
,PB=PC,
即△PBC是等腰直角三角形.
15
(2006•贺州)如图,梯形ABCD中,DC∥AB,EF是中位线,EG⊥AB于G,FH⊥AB于H,梯形的高h=12(AB+DC).沿着GE,HF分别把△AGE,△BHF剪开,然后按图中箭头所指方向,分别绕着点E,F旋转180°
,将会得到一个什么样的四边形?
简述理由.
首先发现显然是一个矩形.再根据所给的梯形的高结合梯形的中位线定理即证明了矩形的一组邻边相等,即是正方形.
将会得到一个正方形,理由如下:
∵EG⊥AB,FH⊥AB
∴EG∥FH
∵EF是梯形ABCD的中位线,
∴EF∥GH,EF=12(DC+AB),
∴EF=GH
∵梯形的高h=12(DC+AB)
∴梯形的高h=GH
设△AGE绕点E旋转180°
后点G落在G'
处,△BHF绕点F旋转180°
后,点H落在H'
处则∠G'
=90°
,G'
,H'
在DC所在的直线上.
∴GG'
是梯形ABCD的高
∴∠G'
=∠G'
GH=∠H'
HG=90°
,GG'
=GH
∴四边形G'
GHH'
是正方形
16
(2005•连云港)如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,DE是△ABC的中位线,点F在AC延长上,且CF=12AC.求证:
四边形ADEF是等腰梯形.
先根据三角形的中位线定理,证得D四边形ADEF是梯形;
再证得△ECF≌△BED,可得EF=BD,又AD=BD,∴AD=EF,则四边形ADEF是等腰梯形.
证法一:
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AC,且DE=12AC.
∴DE≠AF,
∴四边形ADEF是梯形.
∵DE∥AC,
∴∠BED=∠BCA=∠ECF=90°
∵CF=12AC,
∴CF=DE,
又CE=BE,
∴△ECF≌△BED.
∴EF=BD,
又AD=BD,
∴AD=EF.
所以四边形ADEF是等腰梯形
(2002•绍兴)如图,某斜拉桥的一组钢索a,b,c,d,e,共五条,它们互相平行,钢索与桥面的固定点P1,P2,P3,P4,P5中每相邻两点等距离.
(1)问至少需知道几条钢索的长,才能计算出其余钢索的长?
(2)请你对
(1)中需知道的这几条钢索长给出具体数值,并由此计算出其余钢索的长.
(1)根据梯形的中位线定理进行分析;
(2)由题意得知道两条即可,反复利用梯形的中位线定理进行计算.
(1)根据梯形的中位线定理,则至少需要知道2条钢索的长;
(2)取a=20m,b=30m,由梯形的中位线定理得c=2b-a=40m,d=2c-b=50m,e=2d-c=60m.
18
(2002•黄冈)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,BD⊥DC,且BD平分∠ABC.若梯形的周长为20cm,求此梯形的中位线长.
等腰梯形的腰长等于它的上底长.根据直角三角形的两个锐角互余和等腰梯形的两个底角相等可以求得∠DBC=30°
.得到等腰梯形的下底是腰长的2倍.最后根据梯形的周长列方程即可求得各边的长.进一步运用梯形的中位线定理求解.
∵在梯形ABCD中,AB=DC,
∴∠ABC=∠C,又AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.
又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=12∠C.
∴AB=AD=DC,又BD⊥CD,∠DBC=12∠C,∴∠DBC=30°
.∴DC=12BC.
设AB=x,则AB=AD=DC=x,BC=2x,∴5x=20,
∴x=4,
∴AD=4,BC=8,中位线长=AD+BC2=6(cm).
(1999•河北)证明梯形中位线定理:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AM=MB,DN=NC.
求证:
MN∥BC,MN=12(BC+AD).
连接AN并延长,交BC的延长线于点E,先根据平行线的性质求出△ADN≌△ECN,求出MN是△ABE的中位线,再根据三角形的中位线定理解答即可.
连接AN并延长,交BC的延长线于点E,(1分)
∵∠1=∠2,DN=NC,∠D=∠3,
∴△ADN≌△ECN,(3分)
∴AN=EN,AD=EC,(4分)
又∵AM=MB,
∴MN是△ABE的中位线,
∴MN∥BC,MN=12BE,(6分)
∵BE=BC+EC=BC+AD,
∴MN=12(BE+AD).(8分)
24、在▱ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°
,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°
,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
考点:
平行四边形的判定与性质;
全等三角形的判定与性质;
等边三角形的判定与性质;
菱形的判定与性质.
专题:
计算题;
证明题.
(1)根据AF平分∠BAD,可得∠BAF=∠DAF,利用四边形ABCD是平行四边形,求证∠CEF=∠F.即可
(2)根据∠ABC=90°
,G是EF的中点可直接求得.
(3)分别连接GB、GC,求证四边形CEGF是平行四边形,再求证△ECG是等边三角形.
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB,求证△BEG≌△DCG,然后即可求得答案
(1)如图1,
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F,
∴∠CEF=∠F.
∴CE=CF.
(2)∠BDG=45°
连接BG,CG.证明△BGE≌△DGC,得到BG=DG,∠CGD=∠BGE,因为∠CGE=90°
,所以∠BGD=90°
,所以△BGD是等腰直角三角形,所以∠BDG=45°
(3)延长AB、FG交于H,连接HD.
易证四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°
,AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°
,∠ADC=120°
,∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH,△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE,CE=CF,CF=BH
∴BH=GF
∴△BHD与△GFD全等
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
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