用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤docx文档格式.docx
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(-°
°
1)
1
5
◎
2
(2,+oo)
八兀)
+
■
极大
极小
/
(2)•//(X)=
71()2
/./(l)=0是函数的极大值;
/(-)=—上2是函数的极小值.
5315
令f(兀)=°
,得驻点\=-l,x2=1
(-00,-1)
-1
(-1,1)
(1,+8)
-
/(兀)
・••当x=-\吋,/极小二3;
当x=1吋,/极大二1值。
例2设f(x)=(ax24-x-1)•e~x(e为自然对数的底,a为常数且a<
0,%gR),
/(x)取极小值时,求兀的值.
f(X)=(JlciX+1)•幺'
+(6ZX2+X—1)•£
A•(―1)
=-e~z•(ax+l)(x一2)
令f\x)=0=>
x=_■或2a
(1)当—->
2即—丄vgvO,由表a2
(—°
—2)
-2
(-2-1)
a
1a
z1、
(一一,+°
)a
厂(X)
——
/(X)
极大值
极小值
AX=-丄时J⑴取极小值.
(2)当一丄=2即a=一丄时,f\x)=--•厂-(x-2)2<
0无极值.
a22
(3)当一丄<
2即GV—丄时,由表a2
(—8,—丄)
(---2)a
(-2,+oo)
厂⑴
—
・•・x=-2吋丿⑴取极小值综上当-丄<
av00寸-丄时,f⑴取极小值2a
当a<
-丄时,兀=-2时J(兀)取极小值。
例3求抛物线y=丄兀2上与点人(6,0)距离最近的点。
设M(x,y)为抛物线y=丄兀$上一点,
贝1J|MA|=7(x-6)2+^2=^(x-6)2o
・.・|MA|与IMA?
同时取到极值,
令f(x)=|M4|2=(x-6)2+-x\
4
由f!
(x)=(x-2)(/+2兀+6)=0得兀=2是唯一的驻点.
当XT-8或XT+oo时,IMA|T+oo?
.\/(X)T+汽・・・X=2是/(X)的最小值点,此吋X=2,y=-x22=2.
即抛物线y二丄F上与点A(6,0)距离最近的点是(2,2).
例4设函数/(x)=ylx2+\~axf其中«
>
0,求g的范围,使函数/(无)在区间[0,+8)上是单调函数.
分析:
要使/(X)在[0,+OO)上是单调函数,只需f(X)在[0,+8)上恒正或恒负即可.
因为Q>
0,所以当且仅当d$l时,f
)上恒小于0,
此时f(X)是单调递减函数.
点评:
要使/(X)在(G,b)上单调,只需f(X)在(G,b)上恒正或恒负,即f(x)>
0(或V0)=>
单调递增(或减).
例5已知函数/(兀)=orW-3x在x=±
l处取得极值.
(1)讨论/(D和/(-I)是函数f(X)的极大值还是极小值;
(2)过点A(0,16)作曲线的切线,求此切线方程.
(1)f(x)=30^+2Z?
x—3,
解得a=\,b=0.
.'
•/(x)=x3—3x,f(x)=3?
—3=3(x+l)(x—1).
令f(x)=0,得x=—1,x=\.
若兀丘(一oo,-1)U(1,+oo),则f(x)>
0,故
/(x)在(一8,-1)上是增函数,
f(X)在(1,+8)上也是增函数.
若兀丘(一1,1),则(%)<
0,故f(x)在(一1,1)上是减函数.
所以/(-I)=2是极大值,/(I)=-2是极小值.
(2)曲线方程为尸/一3兀,点A(0,16)不在曲线上.
设切点为M(兀°
为),则点M的坐标满足yo=xo'
-3xo.
因f(兀o)=3(xo2—1),故切线的方程为y—yo=3(x02—1)(兀一兀())・注意到点A(0,16)在切线上,有
16—(兀0‘—3兀0)=3(xo2—1)(0—兀0),化简得%o3=—8,解得x0=—2.
所以切点为M(—2,—2),切线方程为9x—>
H-16=0.
本题考查函数和函数极值的概念,考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法,以及分析和解决问题的能力.
导数及其应用(单调性、极值与最值)
1.选择题:
(1)
(a,b)内可导,且兀°
w(a,b),则
(C)—2广(兀。
)(D)0
己知函数y=f(x)在区间lim/(xo+A)-/(xo-/i)^
丿一0h
(A)/©
。
)(B)2/©
)
(2)函数y=x\nx在区间()
(A)(0,-)上单调递减
e
(C)(0,+oo)上单调递减(D)(0,+oo)上单调递增
⑶函数y=2疋—3/—12兀+5在[0,3]上的最大值和最小值依次是()
(A)12,—15(B)5,—15(C)5,—4(D)—4,—15
⑷已知函数f(x)=x3+ax2+(«
+6)x+l有极大值和极小值,则实数a的取值范围是
(B)
(D)[0,£
)U[字,羽
26
⑸设点P是曲线),=疋一岳+?
上的任意一点,P点处切线倾斜角为Q,则角。
的取值范围是()
(A)[千,龙)
(C)[0>
—)U[―-,^r)
⑹方程疋一6/+9兀一10=0的实根个数是()
(7)函数f(x)=x(x-c)2在兀=2处有极大值,则实数c=
⑻己知曲线C:
j=%3-3x2+2x,直线人y=la,若/与C相切于点
(x0,j0)(x0丰0),则切点坐标是
⑼函数f(x)=-x3+bx(heR)在区间(0,1)上单调递增,且关于兀的方程
/(%)=0的根都在区间[-2,2]内,则实数方的取值范围是
(10)
/⑴的
b的值.
已知f(x)=x3+3x2+a(ae/?
)在[-3,3]上有最小值3,则在[—3,3]上,
最大值是
三.解答题:
(11)函数f(x)=x3-3ca+b(a>
0)的极大值为6,极小值为2,求实数d,
(12)已知函数/(X)=ln(x+1)-x.
①求函数/(兀)的单调区间;
②若x>
-1,证明:
1<
ln(x+l)<
x.
x+1
(13)(全国卷II)设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x-\-a.
(I)求/(兀)的极值・
(II)当a在什么范围内取值时,曲线y=/(兀)与兀轴仅有一个交点.
14(全国卷111)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°
角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?
最大容积是多少
16.(山东卷)己知x=l是函数/(x)=nvc"
-3(m+l)x24-+1的一个极值点,其中
m,neR,m<
0,
(I)求加与比的关系式;
(IT)求/(兀)的单调区问;
(III)当xw[-1,1]吋,函数y=/(%)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求加的取值范围.
(全国卷II)设a为实数函数/(x)=x3-x2-x+a.
(I)求/⑴的极值.
(II)当a在什么范围内取值时,曲线y二/⑴与兀轴仅有一个交点.
(全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°
角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?
最大容积是多少?
(山东卷)己知兀=1是函数f(x)=/7U3-3(m+I)%24-A7.Y+1的一个极值点,其中
m,ne/?
m<
0,(I)求加与n的关系式;
(II)求/(兀)的单调区间;
(III)当xw[-1,1]时,函数y=/(x)的图彖上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的
取值范围.
Tx>
x\,e\|x~x\\=x—x\.
又X|<
0,七兀2<
0,«
**X2>
0./.X2+2>
2.
*.*x<
2,・°
・兀—出―2<
0.|x—X2~2\=X2+2—x.
•:
|x一%i|+|x—X2—2|=兀2—兀i+2=卜。
—X]|+2—4.
;
|h(x)\<
4a.14分
16.(山东卷)已知兀=1是函数/(X)=/7U3-3(m+l)x2+4-1的一个极值点,其中
m,neR9m<
(I)求加与n的关系式;
(III)当xw[-1,1]时,函数y=/(x)的图彖上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
(全国卷II)设a为实数,函数/(x)=x3-x2-x+a.
(II)当a在什么范围内取值时,曲线y二/⑴与兀轴仅有一个交点.
(1)/'
(兀)=3兀2—2兀一1
若f\x)=0,则X==-|,x=l
当兀变化时,f\x),/(兀)变化情况如下表:
(-8,-£
_1
3
(-亍’1)
(1,+°
广⑴
/(无)
□
■|
/(X)的极大值是/(--)=—+tz,®
小值是/
(1)二0-1
(II)函数/(x)=x3-x2-x+6z=(x-1)2(x+1)+«
由此可知,取足够大的正数时,有/(x)>
0,取足够小的负数时有/(x)<
0,所以曲线y=/0)与兀轴至少有一个交点
结合/(%)的单调性可知:
当/(兀)的极大值春+Q<
,即«
e(-oo,-A)时,它的极小值也小于0,因此曲线y=f(x)与兀轴仅有一个交点,它在(1,+8)上。
当/(%)的极小值a-l>
0即dw(1,+8)时,它的极大值也大于0,因此曲线y=f(x)
与兀轴仅有一个交点,它在(一8,—-)±
o
・••当QW(-8,一宁)U(l,+8)时,曲线y=f(X)与兀轴仅有一个交点。
即G的取值范围是[|,+-)
(全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小止方形,然后把四边翻转90°
角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?
设容器的高为x,容器的体积为V,1分
则V=(90・2x)(48-2x)x,(0<
V<
24)5分
=4x3-276x2+4320x
TV'
=12x2-552x+4320……7分
(山东卷)已知兀=1是函数
/(X)=nvc3-3(m+l)x24-^+1的一个极值点,其中
m<
0,
(1)求加与斤的关系式;
(II)求/*(兀)的单调区间;
(III)当施[-1,1]时,函数y=/(x)的图彖上任意一点的切线斜率恒大于3加,求加的取值范围.
解(I)f\x)=3f?
ix2-6(m+l)x+n因为x=\是函数/(兀)的一个极值点,所以/'
(I)=0,
即3m一6(加+1)+〃=0,所以刃=3m+6
「(2Y
(II)rtl(I)知,=3mx2-6(m+l)x+3m+6=3m(x-1)x-1+—
当加<
0时,有1>
1+—,当无变化时,/(x)与厂(x)的变化如下表:
m
([2)
一8,1H
1+Z
m
(2\
1—,1
1m丿
(1,+°
<
fM
调调递减
单调递增
极人值
单调递减
22
故有上表知,当MV0时/(兀)在-00,1+—单调递减,在(14—,1)单调递增,在(l.+oo)<
mJm
上单调递减.
(III)由已知得f\x)>
3m,即mx2-2(m+l)x+2>
0
2222
又加V0所以f(772+1)XHV0即兀~(/?
7+1)兀H<
0?
XG[—1,1]①
mmmm
i2
设gd)=F_2(]+—)兀+_,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,
g(-l)<
0=
5
(1)<
即m的取值范围为f-pO
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