湖北高考数学试卷文科及详细答案Word版.doc

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绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）

本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：

用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．为虚数单位，

A． B． C． D．1

2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：

粮仓开仓收粮，有人送来米1534

石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为

A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石

3．命题“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

4．已知变量和满足关系，变量与正相关.下列结论中正确的是

A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关

C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关

5．表示空间中的两条直线，若p：

是异面直线；q：

不相交，则

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

6．函数的定义域为

A． B．

C． D．

7．设，定义符号函数则

A． B．

C． D．

8．在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”

的概率，则

A． B．

C． D．

9．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位

长度，得到离心率为的双曲线，则

A．对任意的， B．当时，；当时，

C．对任意的， D．当时，；当时，

10．已知集合，，定义集合

，则中元素的个数为

A．77 B．49 C．45 D．30

二、填空题：

本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11．已知向量，，则_________．

12．若变量满足约束条件则的最大值是_________．

13．函数的零点个数为_________.

14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额

（单位：

万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）直方图中的_________；

（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________.

第14题图第15题图

x

O

y

T

C

A

B

15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_________m.

16．如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半

轴交于两点A，B（B在A的上方），且.

（Ⅰ）圆的标准方程为_________；

第16题图

（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________.

17．a为实数，函数在区间上的最大值记为.当_________时，的值最小.

三、解答题：

本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分12分）

某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象

时，列表并填入了部分数据，如下表：

0

0

5

0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解

析式；

（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求

的图象离原点O最近的对称中心.

19．（本小题满分12分）

设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．

20．（本小题满分13分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的

中点，连接.

（Ⅰ）证明：

平面.试判断四面体是

否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需

写出结论）；若不是，请说明理由；

（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的

体积为，求的值．

第20题图

21．（本小题满分14分）

设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，

，其中e为自然对数的底数.

（Ⅰ）求，的解析式，并证明：

当时，，；

（Ⅱ）设，，证明：

当时，.

22．（本小题满分14分）

一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

x

D

O

M

N

y

（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线

总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：

△OPQ的面积是否存在最小值？

若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

第22题图2

第22题图1

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）试题参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．A2．B3．C4．A5．A6．C7．D8．B9．D10．C

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

11．912．1013．214．（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000

15．16．（Ⅰ）；（Ⅱ）17．三、解答题（本大题共5小题，共65分）

18．（12分）

（Ⅰ）根据表中已知数据，解得.数据补全如下表：

0

0

5

0

0

且函数表达式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此.

因为的对称中心为，.令，解得，.

即图象的对称中心为，，其中离原点O最近的对称中心为.

19．（12分）

（Ⅰ）由题意有，即

解得或故或

（Ⅱ）由，知，，故，于是

，①

.②

①-②可得

，

故.

20．（13分）

（Ⅰ）因为底面，所以.

由底面为长方形，有，而，

所以平面.平面，所以.

又因为，点是的中点，所以.

而，所以平面.

由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是

（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以；

由（Ⅰ）知，是鳖臑的高，，

所以.

在△中，因为，点是的中点，所以，

于是

21．（14分）

（Ⅰ）由,的奇偶性及

①

得②

联立①②解得，.

当时，，，故③

又由基本不等式，有，即④

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，⑤

，⑥

当时，等价于，⑦

等价于⑧

设函数，

由⑤⑥，有

当时，

（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，

即，故⑦成立.

（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，

即，故⑧成立.

综合⑦⑧，得.

22．（14分）

（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；

同理，当重合，即轴时，等号成立.

第22题解答图

所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为

（Ⅱ）

（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

（2）当直线的斜率存在时，设直线，

由消去，可得.

因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，

所以，即.①

又由可得；同理可得.

由原点到直线的距离为和，可得

.②

将①代入②得，.

当时，；

当时，.

因，则，，所以，

当且仅当时取等号.

所以当时，的最小值为8.

综合

（1）

（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.