精选教育名师剖析高考数学易错题及解析docWord格式.docx
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正确解法由题意有
解得:
把
和
的范围代入得
在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。
只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题。
●忽视隐含条件,导致结果错误。
【例2】
(1)设
是方程
的两个实根,则
的最小值是
思路分析本例只有一个答案正确,设了3个陷阱,很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得:
有的学生一看到
,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。
这正是思维缺乏反思性的体现。
如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根
T
时,
的最小值是8;
的最小值是18。
这时就可以作出正确选择,只有(B)正确。
(2)已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范围。
错解由已知得y2=-4x2-16x-12,因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+
)2+
∴当x=-时,x2+y2有最大值,即x2+y2的取值范围是(-∞,]。
分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制,丢掉了最小值。
事实上,由于(x+2)2+=1T(x+2)2=1-≤1T-3≤x≤-1,
从而当x=-1时x2+y2有最小值1。
∴x2+y2的取值范围是[1,]。
注意有界性:
偶次方x2≥0,三角函数-1≤sinx≤1,指数函数ax0,圆锥曲线有界性等。
●忽视不等式中等号成立的条件,导致结果错误。
【例3】已知:
a0,b0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。
错解(a+
)2+(b+
)2=a2+b2+
+4≥2ab+
+4≥4
+4=8,
∴(a+
)2的最小值是8.
分析上面的解答中,两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab,第一次等号成立的条件是a=b=
第二次等号成立的条件是ab=
,显然,这两个条件是不能同时成立的。
因此,8不是最小值。
事实上,原式=a2+b2+
+4=(a2+b2)+(
)+4=[(a+b)2-2ab]+[(
)2-
]+4
=(1-2ab)(1+
)+4,
由ab≤(
)2=
得:
1-2ab≥1-
且
≥16,1+
≥17,
∴原式≥
×
17+4=
(当且仅当a=b=
时,等号成立),
∴(a+
)2+(b+
)2的最小值是。
●不进行分类讨论,导致错误
【例4】
(1)已知数列
的前
项和
,求
错误解法
错误分析显然,当
错误原因:
没有注意公式
成立的条件是。
因此在运用
时,必须检验
时的情形。
即:
(2)实数
为何值时,圆
与抛物线
有两个公共点。
错误解法将圆
联立,消去
因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得
,解之得
错误分析(如图2-2-1;
2-2-2)显然,当
时,圆与抛物线有两个公共点。
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;
或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时,得
解之,得
因此,当
或
时,圆
思考题:
实数
(1)有一个公共点;
(2)有三个公共点;
(3)有四个公共点;
(4)没有公共点。
●以偏概全,导致错误
以偏概全是指思考不全面,遗漏特殊情况,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案,从而表现出思维的不严密性。
【例5】
(1)设等比数列
的全
项和为
.若
,求数列的公比
错误分析在错解中,由
时,应有
在等比数列中,
是显然的,但公比q完全可能为1,因此,在解题时应先讨论公比
的情况,再在
的情况下,对式子进行整理变形。
正确解法若
,则有
但
,即得
与题设矛盾,故
又依题意
即
因为
,所以
所以
解得
说明此题为2019年全国高考文史类数学试题第(21)题,不少考生的解法同错误解法,根据评分标准而痛失2分。
(2)求过点
的直线,使它与抛物线
仅有一个交点。
错误解法设所求的过点
的直线为
,则它与抛物线的交点为
,消去
整理得
直线与抛物线仅有一个交点,
所求直线为
错误分析此处解法共有三处错误:
第一,设所求直线为
时,没有考虑
与斜率不存在的情形,实际上就是承认了该直线的斜率是存在的,且不为零,这是不严密的。
第二,题中要求直线与抛物线只有一个交点,它包含相交和相切两种情况,而上述解法没有考虑相切的情况,只考虑相交的情况。
原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三,将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程,要考虑它的判别式,所以它的二次项系数不能为零,即
而上述解法没作考虑,表现出思维不严密。
正确解法①当所求直线斜率不存在时,即直线垂直
轴,因为过点
即
轴,它正好与抛物线
相切。
②当所求直线斜率为零时,直线为y=1平行
只有一个交点。
③一般地,设所求的过点
则
令
解得k=,∴所求直线为
综上,满足条件的直线为:
宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意,即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间,特别是汉代以后,对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合,比如书院、皇室,也称教师为“院长、西席、讲席”等。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念,最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云:
“伯安入小学,颖悟非凡貌,属句有夙性,说字惊老师。
”于是看,宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”,而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见,“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会,“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后,教师与其他官员一样依法令任命,故又称“教师”为“教员”。
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