温州市第一次模拟考试数学理科试题及答案.2.doc
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2012年温州市高三第一次模拟测试
一、选择题:
1.已知是虚数单位,则(▲)
A.B.C.D.
2.设集合,则是成立的(▲)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知是互相垂直的单位向量,设,则(▲)
A.25 B.24 C.5D.0
开始
i=1,s=0
s=s+
i=i+1
输出S
结束
否
是
4.如图给出的是计算的值的一个
程序框图,则判断框内应填入的条件是(▲)
A.B.
C.D.
5.已知数列满足,
则(▲)
A.2B.4C.5D.
(第4题)
6.已知实数满足,若
取得最大值时的最优解有无数个,则的值为(▲)
A.2B.1C.0D.
7.若圆与轴的两交点位于原点的同侧,则实数的取值范围是(▲)
A.B.或
C.或D.或
8.将9个相同的小球放入3个不同的盒子,要求每个盒子中至少有1个小球,且每个盒子中的小球个数都不同,则共有(▲)种不同放法
A.15B.18C.19D.21
9.一个直角三角形的周长为,面积为S,给出:
①(6,2);②(25,5);③(10,6);④.
其中可作为取值的实数对的序号是(▲)
A.①②B.①③C.③④D.②④
10.如图,直线平面,垂足为,正四面体的棱长为4,在平面内,是直线上的动点,则当到的距离为最大时,正四面体在平面上的射影面积为(▲)
A.B.
C.D.
(第10题)
二、填空题:
11.已知展开式,则的值为▲.
12.如图,若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同,且均为
面积等于2的等腰直角三角形,则该几何体的体积为▲.
13.函数的最小正周期为▲.
(第12题)
14.已知双曲线的离心率为2,则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为▲.
15.已知是定义在上的奇函数,且当时,若在上是单调函数,则实数的最小值是▲.
16.某高校进行自主招生面试时的程序如下:
共设3道题,每道题答对给10分、答错倒扣
5分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某学生对每道题答对的概率都为,则该
学生在面试时得分的期望值为▲分.
17.若不等式的解集为,则实数的取值范围是▲.
三、解答题:
本大题共5小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)如图,在中,,垂足为,且.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)设为的中点,已知的面积为15,
求的长.
(第18题)
19.(本题满分14分)设等差数列的前项和为,
若.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,若,试比较与的大小.
A
G
E
D
C
B
20.(本题满分14分)如图,在三棱锥中,
,,
设顶点在底面上的射影为.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)设点在棱上,且,
(第20题)
试求二面角的余弦值.
21.(本题满分15分)如图,在矩形中,分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设.
(Ⅰ)求直线与的交点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过圆上一点
作圆的切线与轨迹交于两点,
(第21题)
若,试求出的值.
22.(本题满分15分)已知函数
(Ⅰ)若,求函数的极小值;
(Ⅱ)设函数,试问:
在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等,若存在,请求出的范围,若不存在,请说明理由?
2012年温州市高三第一次适应性测试
数学(理科)试题参考答案2012.2
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
C
B
B
B
B
D
A
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)
11.12.13.14.15.16.17.
三、解答题(本大题共5小题,共72分)
18.(本小题满分14分)
解:
(I)由已知得,……………………………………2分
则,……………………………………5分
又,故..……………………………7分
(II)设,则,
由已知得,则,
故,,…………………………………10分
则,……………………………12分
由余弦定理得.…………………………………………………………………………14分
19.(本小题满分14分)
解:
(I)方法一:
设等差数列的公差为,则.………2分
又,则,…………………………………………………………………………4分
故.………………………………………………………………………………………6分
方法二:
,则得.
(II)方法一:
由已知可得,……………………………………8分
相加得,……………………………………………………………………10分
又,则,得………………………………………13分
则,故.………………………………………14分
方法二:
设,,则为等差数列,为等比数列,
由题意得,且
则,故.
20.(本小题满分14分)
证明:
(I)方法一:
由平面得,
又,则平面,
故,…………………………………………3分
同理可得,则为矩形,又,
则为正方形,故.…………………6分
方法二:
由已知可得,设为的中点,则,则平面,故平面平面,则顶点在底面上的射影必在,故.
(II)方法一:
由(I)的证明过程知平面,过作,垂足为,则易证得,故即为二面角的平面角,……………………………9分
由已知可得,则,故,则,
又,则,…………………………………………………………………12分
故,即二面角的余弦值为.……………………………14分
方法二:
由(I)的证明过程知为正方形,如图建立坐
标系,则,
可得,则,易知平面
的一个法向量为,设平面的一个法向量为
,则由得,
则,即二面角的余弦值为.
21.(本小题满分15分)
解:
(I)设,由已知得,
则直线的方程为,直线的方程为,………………………4分
消去即得的轨迹的方程为.…………………………………………6分
(II)方法一:
由已知得,又,则,……………8分
设直线代入得,
设,
则.……10分
由得,
即,
则,……………………12分
又到直线的距离为,故.
经检验当直线的斜率不存在时也满足.……………………………………………………15分
方法二:
设,则,且可得直线的方程为
代入得,
由得,即,
则,故.
22.(本小题满分15分)
解:
(I)由已知得,…………………………………………2分
则当时,可得函数在上是减函数,
当时,可得函数在上是增函数,…………………………5分
故函数的极小值为..………………………………………………………………6分
(II)若存在,设,则对于某一实数方程在上有三个不等的实根,…………………………………………………………………8分
设,
则有两个不同的零点.……………………………………10分
方法一:
有两个不同的解,设,
则,
设,则,故在上单调递增,
则当时,即,………………………………………………12分
又,则故在上是增函数,……………………………14分
则至多只有一个解,故不存在.……………………………………15分
方法二:
关于方程的解,
当时,由方法一知,则此方程无解,当时,可以证明
是增函数,则此方程至多只有一个解,故不存在.
高三数学(理科)试卷第9页(共9页)
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