温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及答案.doc

温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及答案.doc

《温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及答案.doc（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

2011年温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷

2011年4月10日

本卷满分为150分，考试时间为120分钟

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（▲）

A． B． C．3 D．

2．设集合，，则等于（▲）

A． B．

C． D．

3．已知，则与的关系是（▲）

A．或 B．

C． D．

4．下列函数中在区间上单调递增的是（▲）

A． B．

C． D．

5．若则（▲）

A． B． C． D．

6．函数的零点个数为（▲）

A． B． C． D．

7．记为坐标原点，已知向量，，又有点，满足，则

的取值范围为（▲）

A． B． C． D．

8．已知，，，，则是直角三角形的概率是（▲）

A． B．　　 C． D．

9．设，其中，则的最小值为（▲）

A． B．　　 C． D．

10．点在轴上，若存在过的直线交函数的图象于两点，满足，则称点为“Ω点”，那么下列结论中正确的是（▲）

A．轴上仅有有限个点是“Ω点”； B．轴上所有的点都是“Ω点”；

开始

否

是

（12题图）

结束

C．轴上所有的点都不是“Ω点”；

D．轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．

二、填空题：

本大题共7小题，每小题7分，共49分．

11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是

▲．

12．如图执行右面的程序框图，那么输出的值为▲．

13．函数的值域是▲．（其中表示不超过实数的

最大整数）

14.已知定义域为的函数对任意都满足条件

与，则对函数，

下列结论中必定正确的是▲．（填上所有正确结论的序号）

①是奇函数；②是偶函数；

③是周期函数；④的图象是轴对称的．

15．若为整数，关于的方程有整数根，则▲．

16．是定义域为的函数，，若函数有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为▲．

17．求值：

▲．

三、解答题：

本大题共3小题，共51分．

得分

评卷人

18．（本题满分16分）已知函数

．

⑴求的最小正周期和的值域；

⑵若为的一个零点，求的值．

得分

评卷人

19．（本题满分17分）设函数，对于给定的实数，

在区间上有最大值和最小值，

记．

⑴求的解析式；

⑵问为何值时，有最小值？

并求出的最小值．

20.（本题满分18分）定义在正实数集上的函数满足下列条件：

得分

评卷人

①存在常数，使得；

②对任意实数,当时，有．

⑴求证：

对于任意正数，；

⑵证明：

在正实数集上单调递减；

⑶若不等式恒成立，求实数的取值范围．

高一数学竞赛试卷第4页（共6页）

2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（▲）

A． B． C．3 D．

解:

求出的平均值实际平均值,选B．

2．设集合，，则等于（▲）

A． B．

C． D．

解：

可得，，所以，选C．

3．已知，则与的关系是（▲）

A．或 B．

C． D．

解:

由于,与的终边位置相同或关于轴对称,所以或,合并得．选D．

4．下列函数中在区间上单调递增的是（▲）

A． B．

C． D．

解：

将选择支中各函数用区间逐一检验知，只有C中函数满足要求．选C．

5．若则（▲）

A． B． C． D．

解：

因为，，可知函数单调递减，已

知不等式即，所以，选A．

6．函数的零点个数为（▲）

A． B． C． D．

解：

，所以的零点

个数即函数与函数的交

点的个数，作图可知有个交点，选D．

7．记为坐标原点，已知向量，，

又有点，满足，则的取值范围为（▲）

A． B．　 C． D．

解：

，点在以点为圆心，为半

径的圆周上．可得，如图可知，当直线与圆周相切时，有最大值为，当三点共线时有最小值为０，所以的取值范围为．选A．

8．已知，，，，则是直角三角形的概率是（▲）

A． B．　　　　　　C． D．

解：

由与构成三角形及知，可得．与垂直，则；若与垂直，则（舍去）；若与垂直，或（舍去）；综上知，满足要求的有２个，所求概率为．故选D．

9．设，其中，则的最小值为（▲）

A． B．　　 C． D．

解1：

，由

得．当且仅当时，．选B．

解2：

．

当且仅当时，．选B．

10．点在轴上，若存在过的直线交函数的图象于两点，满足，则称点为“Ω点”，那么下列结论中正确的是（▲）

A．轴上仅有有限个点是“Ω点”； B．轴上所有的点都是“Ω点”；

C．轴上所有的点都不是“Ω点”；

D．轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．

解1：

设，，，因为，所以，，得．即对于轴上任意点，总有，满足题设要求，故选B．

开始

否

是

（12题图）

结束

解2：

（动态想象）：

任取轴上点，将直线由轴位置开始绕点逆时针旋转，与函数的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点（由下至上）直到最后只交于一个点．当交于两个点时，在由正到负的过程中必将经历零点．当时，即有，所以轴上所有的点都是“Ω点”．

二、填空题：

本大题共7小题，每小题7分，共49分．

11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是

▲．

解：

同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有８种，其中两个正面一个背面的情况有（正，正，背），（正，背，正）与（背，正，正）三种，故所求概率为．

12．如图执行右面的程序框图，那么输出的值为▲．

解：

．

13．函数的值域是▲．（其中表示不超过实数的

最大整数）

解：

，所以的所有可能取值为，从而值域为．

14．已知定义域为的函数对任意都满足条件

与，则对函数，

下列结论中必定正确的是▲．（填上所有正确结论的序号）

①是奇函数；②是偶函数；

③是周期函数；④的图象是轴对称的．

解：

由知有周期，于是，知为奇函数，填①③．

15．若为整数，关于的方程有整数根，则▲．

解：

设为方程的整数根，则，必有或得或．

16．是定义域为的函数，，若函数有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为▲．

解：

，有对称轴，故4个零点和为8．

17．求值：

▲．

解1：

如图，构造边长为的正五边形，使得

，则依次可得，

，，

，

由于，

所以，

从而．

解2：

原式

．

三、解答题：

本大题共3小题，共51分．

18．（本题满分16分）已知函数．

⑴求的最小正周期和的值域；

⑵若为的一个零点，求的值．

解：

⑴

．…………………………………………………..4分

所以的最小正周期；……………………………..……….…..5分

由，得的值域为．…………………..7分

⑵，由题设知，….8分

由，结合知，

可得．…………………………………………………..10分

，………………………...………..12分

，……………………………..………..14分

．……….……..16分

19．（本题满分17分）设函数，对于给定的实数，在区间上有最大值和最小值，记．

⑴求的解析式；

⑵问为何值时，有最小值？

并求出的最小值．

解：

⑴，抛物线开口向上，其对称轴方程为，下面就对称轴与区间端点的相对位置分段讨论：

……………….………………………..1分

①当时，且，

此时，．．…3分

②当时，且，

此时，．．…5分

③当时，，在区间上递增，

此时，．．…7分

④当时，，在区间上递减，

此时，．．…9分

综上所得………………………………………………10分

⑵当时，；…………………………………………11分

当时，递减，；…………..….……13分

当时，递增，；…………....………15分

当时，．……………………………………..………16分

综上所述，当时，．…………..…………………………………17分

20.（本题满分18分）定义在正实数集上的函数满足下列条件：

①存在常数，使得；②对任意实数,当时，有．

⑴求证：

对于任意正数，；

⑵证明：

在正实数集上单调递减；

⑶若不等式恒成立，求实数的取值范围．

⑴证明：

均为正数，且，根据指数函数性质可知，总有实数使得，于是，..…2分

又，..5分

⑵证明：

任设，可令，．…………….7分

则由⑴知

，………………………………………………………..9分

即．在正实数集上单调递减；..……………………………..10分

⑶解：

令，原不等式化为，其中．

且，

不等式可进一步化为，……………………….……..12分

又由于单调递减，对于恒成立．……………………..13分

而，………………….……….…..15分

且当时．……………………………………..16分

，又，终得．…………………………..18分

高一数学竞赛试题答案第8页（共8页）