浙江高考数学理科试卷含答案.doc
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2012浙江省高考数学(理科)试卷word版(含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理科)
选择题部分(共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个项是符合题目要求的。
1.设集合,集合,则
A.B.C.D.
2.已知是虚数单位,则
A.B.C.D.
3.设,则“”是“直线:
与直线:
平行”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是
5.设,是两个非零向量
A.若,则
B.若,则
C.若,则存在实数,使得
D.若存在实数,使得,则
6.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有
A.60种B.63种C.65种D.66种
7.设是公差为()的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是
A.若,则数列有最大项
B.若数列有最大项,则
C.若数列是递增数列,则对任意,均有
D.若对任意,均有,则数列是递增数列
8.如图,,分别是双曲线:
的
左、右两焦点,是虚轴的端点,直线与的两条渐近
线分别交于,两点,线段的垂直平分线与轴交于点
.若,则的离心率是
A.B.C.D.
9.设,
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
10.已知矩形,,.将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中,
A.存在某个位置,使得直线与直线垂直
B.存在某个位置,使得直线与直线垂直
C.存在某个位置,使得直线与直线垂直
D.对任意位置,三对直线“与”,“与”,“与”均不垂直
非选择题部分(共100分)
二、填空题:
本大题共7小题,每小题4分,共28分。
11.已知某三棱锥的三视图(单位:
)如图所示,则该三棱锥
的体积等于.
12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是.
13.设公比为的等比数列的前项和为.
若,,则.
14.若将函数表示为
,
其中,,,…,为实数,则.
15.在中,是的中点,,,
则.
16.定义:
曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线
的距离.已知曲线:
到直线:
的距离等于曲线
:
到直线:
的距离,则实数.
17.设,若时均有,
则.
三、解答题:
本大题共5小题,共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)在中,内角,,的对边分别为,,.已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的面积.
19.(本题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:
取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从箱中任取(无放回,且每球取道的机会均等)3个球,记随机变量为取出此3球所得分数之和.
(Ⅰ)求的分布列;
(Ⅱ)求的数学期望.
20.(本题满分15分)如图,在四棱锥中,底面是
边长为的菱形,,且平面,
,,分别为,的中点.
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)过点作,垂足为点,求二面角
的平面角的余弦值.
21.(本题满分15分)如图,椭圆:
的
离心率为,其左焦点到点的距离为,不过原点的
直线与相交于,两点,且线段被直线平分.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求面积取最大值时直线的方程.
22.(本题满分14分)已知,,函数.
(Ⅰ)证明:
当时,
(i)函数的最大值为;
(ii);
(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围.
数学(理科)试题参考答案
一、选择题:
本题考察基本知识和基本运算。
每小题5分,满分50分。
1.B2.D3.A4.A5.C
6.D7.C8.B9.A10.B
二、填空题:
本题考察基本知识和基本运算。
每小题4分,满分28分。
11.112.13.14.10
15.-1616.17.
三、解答题:
本题共小题,满分72分。
18.本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识,同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ)因为,,得
又
所以
(Ⅱ)由,得
,,
于是
.
由及正弦定理,得
.
设的面积为,则
.
19.本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
满分14分。
(Ⅰ)由题意得取3,4,5,6,且
,,
,.
所以的分布列为
3
4
5
6
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
.
20.本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想像能力和运算求解能力。
满分15分。
(Ⅰ)因为,分别是,的中点,所以是的中位线,所以
又因为平面,所以
平面.
(Ⅱ)方法一:
连结交于,以为原点,,所在直线为,轴,建立空间直角坐标系,如图所示
在菱形中,,得
,.
又因为平面,所以
.
在直角中,,,,得
,.
由此知各点坐标如下,
,,
,,
,,
,.
设为平面的法向量.
由,知
取,得
设为平面的法向量.
由,知
取,得
于是
.
所以二面角的平面角的余弦值为.
方法二:
在菱形中,,得
,,
有因为平面,所以
,,,
所以.
所以.
而,分别是,的中点,所以
,且.
取线段的中点,连结,,则
,,
所以为二面角的平面角.
由,,故
在中,,,得
.
在直角中,,得
,,,
在中,,得
.
在等腰中,,,得
.
在中,,,,得
.
所以二面角的平面角的余弦值为.
21.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。
满分15分。
(Ⅰ)设椭圆左焦点为,则由题意得
,
得
所以椭圆方程为
.
(Ⅱ)设,,线段的中点为.
当直线与轴垂直时,直线的方程为,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线的方程为
,
由消去,整理得
,
(1)
则
,
所以线段的中点,
因为在直线上,所以
,
得
(舍去)或,
此时方程
(1)为,则
,
所以
,
设点到直线距离为,则
,
设的面积为,则
,
其中,
令,
,
所以当且仅当,取到最大值,
故当且仅当,取到最大值.
综上,所求直线方程为.
22.本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识。
满分14分。
(Ⅰ)(i)
当时,有,此时在上单调递增
所以当时,
(ii)由于,故
当时,
当时,
设,则
,
于是
0
1
-
0
+
1
减
极小值
增
1
所以,,
所以
当时,
故
(Ⅱ)由(i)知,当,,所以
若,则由(ii)知
所以对任意恒成立的充要条件是
,
即,或
(1)
在直角坐标系中,
(1)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段,
作一组平行直线,得
.
所以的取值范围是.
11
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