浙江省湖州市2013届高三第二次教学质量测试数学(文)试题(word版).doc
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2013年湖州市高三第二次教学质量测试
数学(文科)试题卷
注意事项:
1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.
2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页,全卷满分150分,考试时间120分钟.
参考公式:
球的表面积公式 棱柱的体积公式
球的体积公式 其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高
棱台的体积公式
其中R表示球的半径
棱锥的体积公式 其中S1,S2分别表示棱台的上、下底面积,
h表示棱台的高
其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高 如果事件A、B互斥,那么
第I卷(选择题共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集,,,则集合(▲)
A.B.C.D.
2.“”是“直线和直线相互垂直”的(▲)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.复数(是虚数单位)表示复平面内的点位于(▲)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是(▲)
A.若⊥,,⊥,则⊥B.若⊥,,⊥,则⊥
C.若⊥,⊥,∥,则⊥D.若∥,⊥,∥,则⊥
5.在一个袋子中,装有个白球和个黑球,这些球除颜色外完全相同,从袋中任意摸出个球,则两球同色的概率是(▲)
A.B.C.D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式可以是(▲)
A.B.
C.D.
7.把能够将圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“圆梦函数”,则下列函数不是圆的“圆梦函数”的是(▲)
A.B.C.D.
8.定义为个正数的“均倒数”.若已知正数数列的前项的“均倒数”为,又,则(▲)
A.B.C.D.
9.已知双曲线右支上的一点到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为,且到两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为(▲)
A.B.C.D.
10.设函数,,若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点,,则下列判断正确的是(▲)
A.当时,,B.当时,,
C.当时,,D.当时,,
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)
11.某校对全校共名学生进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为的样本,已知女生比男生少抽了人,则该校的女生人数应是▲人.
12.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的侧面积等于▲.
13.某程序框图如图所示,则输出的▲.
14.若直线是曲线斜率最小的切线,则直线与圆的位置关系为▲.
15.设变量满足约束条件,则的取值范围是▲.
16.已知,,,则的最小值为▲.
17.正方体的棱长为,是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦最长时.的最大值为▲.
三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(本小题满分14分)
已知函数在区间上的最大值为.
(Ⅰ)求常数的值;
(Ⅱ)在中,角所对的边长分别为,若,,面积为,求边长.
19.(本小题满分14分)在等比数列中,已知,公比,等差数列满足,,
(Ⅰ)求数列与的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前项和.
20.(本小题满分14分)
如图所示,四棱锥的底面是边长为的正方形,⊥,,,为上一点,.
(Ⅰ)(ⅰ)求证:
⊥平面;
(ⅱ)在侧棱上是否存在一点,使得∥平面?
若存在,指出点的位置,并证明;若不存在,说明理由;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
21.(本小题满分15分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,求的极值;
(Ⅱ)当时,若存在,使得成立,求实数的取值范围.
22.(本小题满分15分)
已知抛物线,焦点到准线的距离为,过点作直线交抛物线于点,(点在第一象限).
(Ⅰ)若点与焦点重合,且弦长,求直线的方程;
(Ⅱ)若点关于轴的对称点为,直线交轴于点,且⊥,求证:
点的坐标是,并求点到直线的距离的取值范围.
2013年湖州市高三教学质量检测
数学(文)参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
D
A
B
C
C
B
D
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.)
11.12.13.14.相切15.
16.17.
三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
18.解:
(1).-----2分
因为,所以.-----------------------------3分
因为函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,
所以当即时,函数在区间上取到最大值.----5分
此时,,得.----------------------6分
(2)因为,所以,
即,解得(舍去)或.--------------------8分
因为,,所以.---------①-------10分
因为面积为,所以,即.-----②
由①和②解得.------------------------------------------12分
因为,所以.---14分
19.解:
(Ⅰ)设等比数列的公比为,等差数列的公差为.
由已知得:
,,
故或(舍去)
所以,所以,┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分
(Ⅱ)由题意得:
,
.
当为偶数时,;
当为奇数时,.
所以.-----------------------------14分
20.解:
(Ⅰ)(ⅰ)因为,
所以,即.------2分
又,相交于,
所以平面.------------------4分
(ⅱ)当点为的中点时,满足平面.
证明如下:
因为为的中点,过点在面内作的平行线,交于点,
连结,设与相交于点,则有,
因为,且不在平面内,所以面/面,
因为面,所以有平面成立;--------------------------------9分
(Ⅱ)因为面,所以在面上的射影即为,
即为直线与面所成的角,
因为,,所以,
即直线与平面所成角的正弦值为.--------------------14分
21.解:
由题可知函数的定义域为,
.--------2分
(Ⅰ)当时,,
令,解得或;
令,解得,
所以的单调递减区间是和,单调递增区间是;--5分
所以当时,的极小值为;
当时,的极大值为.--------------------7分
(Ⅱ)当时,的单调递减区间是,,
单调递增区间是,
所以在上单调递减,-----------------------------------9分
所以,.
所以
.------------------------------------------11分
因为存在,使得成立,
所以,----------------------12分
整理得.
又,所以,又因为,得,
所以,所以.------------------------15分
22.解:
(Ⅰ)由题意可知,,故抛物线方程为,焦点.----1分
设直线的方程为,,.
由消去,得.
所以,.------------------------------------3分
因为,
所以.
所以即.---------------------------------------------5分
所以直线的方程为或,
即或.-----------------------------------6分
(Ⅱ)设直线的方程为,,,
则.
由消去,得,
因为,所以,
.---------------------------------------------7分
方法一:
设,则.
由题意知,,
所以,
即.
显然,
所以,即证.--------------------------9分
由题意知,为等腰直角三角形,
所以,即,也即,
所以,所以,
即,所以,即
又因为,所以.-------------------------------------------------------12分
,
所以的取值范围是.---------------------------------15分
方法二:
因为直线,
所以令,则,
所以.--------------------------------------------------9分
由题意知,为等腰直角三角形,所以,即,
所以,所以,即,
所以.
因为,所以.--------------------------------------12分
所以的取值范围是.-----------------------------------15分
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