江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳数学应试笔记.doc
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第20讲函数与方程
一.课标要求:
1.结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;
2.根据具体函数的图像,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二.命题走向
函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点,特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看,十分注重对三个“二次”(即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度,同时也研究了它的许多重要的结论,并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
预计高考对本讲的要求是:
以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。
(1)题型可为选择、填空和解答;
(2)高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题,同时考察函数方程的思想。
三.要点精讲
1.方程的根与函数的零点
(1)函数零点
概念:
对于,把使成立的实数叫做函数的零点。
函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
二次函数的零点:
1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点;
2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;
3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点。
零点存在性定理:
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点。
既存在,使得,这个也就是方程的根。
2.二分法
二分法及步骤:
对于在区间,上连续不断,且满足·的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
给定精度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下:
(1)确定区间,,验证·,给定精度;
(2)求区间,的中点;
(3)计算:
①若=,则就是函数的零点;
②若·<,则令=(此时零点);
③若·<,则令=(此时零点);
(4)判断是否达到精度;
即若,则得到零点零点值(或);否则重复步骤2~4。
注:
函数零点的性质
从“数”的角度看:
即是使的实数;
从“形”的角度看:
即是函数的图象与轴交点的横坐标;
若函数的图象在处与轴相切,则零点通常称为不变号零点;
若函数的图象在处与轴相交,则零点通常称为变号零点。
注:
用二分法求函数的变号零点:
二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
3.二次函数的基本性质
(1)二次函数的三种表示法:
y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n。
(2)当a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值M,最小值m,令x0=(p+q)。
若-
若x0≤- (3)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。 ①方程f(x)=0的两根中一根比r大,另一根比r小a·f(r)<0; ②二次方程f(x)=0的两根都大于r ③二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根 ④二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立。 四.典例解析 题型1: 方程的根与函数零点 例1.方程lgx+x=3的解所在区间为() A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞) 题型2: 零点存在性定理 例2.若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是() A.若,不存在实数使得; B.若,存在且只存在一个实数使得; C.若,有可能存在实数使得; D.若,有可能不存在实数使得; 题型3: 二分法的概念 例3.方程在[0,1]内的近似解,用“二分法”计算到达到精确度要求。 那么所取误差限是() A.0.05B.0.005C.0.0005D.0.00005 解析: 由四舍五入的原则知道,当时,精度达到。 此时差限是0.0005,选项为C。 点评: 该题考察了差限的定义,以及它对精度的影响。 题型4: 应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解 例4.借助计算器,用二分法求出在区间(1,2)内的近似解(精确到0.1)。 解析: 原方程即。 令, 用计算器做出如下对应值表 x -2 -1 0 1 2 f(x) 2.5820 3.0530 27918 1.0794 -4.6974 观察上表,可知零点在(1,2)内 取区间中点=1.5,且,从而,可知零点在(1,1.5)内; 再取区间中点=1.25,且,从而,可知零点在(1.25,1.5)内; 同理取区间中点=1.375,且,从而,可知零点在(1.25,1.375)内; 由于区间(1.25,1.375)内任一值精确到0.1后都是1.3。 故结果是1.3。 点评: 该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程,通过本题学会借助精度终止二分法的过程。 题型5: 一元二次方程的根与一元二次函数的零点 例5.设,方程的两个根满足.当时,证明。 证明: 由题意可知, ∴, ∴当时,。 又, ∴, 综上可知,所给问题获证。 变式.已知二次函数,设方程的两个实数根为和. (1)如果,设函数的对称轴为,求证: ; (2)如果,,求的取值范围. 题型6: 二次函数的图像与性质 例6.在下列图象中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是() 题型7: 二次函数的综合问题 例7.已知函数和的图象关于原点对称,且。 (Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)解不等式; (Ⅲ)若在上是增函数,求实数的取值范围。 解析: (Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为,则 ∵点在函数的图象上 ∴ (Ⅱ)由 当时,,此时不等式无解。 当时,,解得。 因此,原不等式的解集为。 (Ⅲ) ① ② ⅰ) ⅱ) 点评: 本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。 五.思维总结 1.函数零点的求法: ①(代数法)求方程的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。 2.学习二次函数,可以从两个方面入手: 一是解析式,二是图像特征.从解析式出发,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征出发,可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。 由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、零点式等),所以,在解决二次函数的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性质。 (1)二次函数的一般式中有三个参数.解题的关键在于: 通过三个独立条件“确定”这三个参数。 (2)数形结合: 二次函数的图像为抛物线,具有许多优美的性质,如对称性、单调性、凹凸性等。 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题,可以化难为易,形象直观。 因为二次函数在区间和区间上分别单调,所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得;函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。 【课后提高】 1、设方程的根为,则() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2、方程的实数解的个数为() A.2B.3C.1D.4 3、函数的零点一定位于下列哪个区间() A.B.C.D. 4、若方程2ax2-x-1=0在x∈(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是 ()
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