江苏省苏州市2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版).doc
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江苏省苏州市2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版).doc
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2015-2016学年江苏省苏州市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)
1.设集合A={x|x﹣1>1},B={x|x<3},则A∩B= .
2.已知复数z=(i为虚数单位),则|z|的值是 .
3.若双曲线的离心率为2,则a等于 .
4.函数的定义域为 .
5.函数f(x)=ex+2x(e是自然对数的底数)的图象在点(0,1)处的切线方程是 .
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3﹣a6=0,则= .
7.“a=1”是“直线l1:
ax+y+1=0,l2:
(a+2)x﹣3y﹣2=0垂直”的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一)
8.已知cos(α+)=,则sin(α﹣)的值是 .
9.求过两点A(0,4),B(4,6)且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方程 .
10.已知函数f(x)=,若f(f(﹣2))>f(k),则实数k的取值范围为 .
11.已知经过点A(﹣3,﹣2)的直线与抛物线C:
x2=8y在第二象限相切于点B,记抛物线C的焦点为F,则直线BF的斜率是 .
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=,sinC=2cosB,且a=4,则△ABC的面积是 .
13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n(n∈N*),若存在正整数m,n,满足am2﹣4=4(Sn+10),则m+n的值是 .
14.若实数a,b满足a=+2,则a的最大值是 .
二.解答题
15.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点F为A1D的中点.
(1)求证:
A1B∥平面AFC;
(2)求证:
平面A1B1CD⊥平面AFC.
16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若sinα﹣f(α)=,求的值.
17.已知数列{an}为公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,满足S5﹣2a2=25,且a1,a4,a13恰为等比数列{bn}的前三项
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设Tn是数列{}的前n项和,是否存在k∈N*,使得等式1﹣2Tk=成立,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
18.如图,某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备,该组合体总高度为8米,圆柱的底面半径为4米,圆柱的高不小于圆柱的底面半径.已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元,制作圆锥侧面的造价为每平米4百元,设制作该存储设备的总费用为y百元.
(1)按下列要求写出函数关系式:
①设OO1=h(米),将y表示成h的函数关系式;
②设∠SDO1=θ(rad),将y表示成θ的函数关系式;
(2)请你选用其中的一个函数关系式,求制作该存储设备总费用的最小值.
19.如图,已知椭圆M:
+=1(a>b>0)的离心率为,且经过过点P(2,1).
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆M上异于顶点的任意两点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=﹣.
①求x12+x22的值;
②设点B关于x轴的对称点为C(点C,A不重合),试求直线AC的斜率.
20.已知函数f(x)=ex﹣cx﹣c(c为常数,e是自然对数的底数),f′(x)是函数y=f(x)的导函数.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当c>1时,试求证:
①对任意的x>0,不等式f(lnc+x)>f(lnc﹣x)恒成立;
②函数y=f(x)有两个相异的零点.
2015-2016学年江苏省苏州市高二(下)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)
1.设集合A={x|x﹣1>1},B={x|x<3},则A∩B= {x|2<x<3} .
【考点】交集及其运算.
【分析】求出A中不等式的解集确定出A,再由B,求出A与B的交集即可.
【解答】解:
由A中不等式解得:
x﹣1>1,即A={x|x>2},
∵B={x|x<3},
∴A∩B={x|2<x<3}.
故答案为:
{x|2<x<3}
2.已知复数z=(i为虚数单位),则|z|的值是 5 .
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后代入复数模的计算公式求解.
【解答】解:
∵z===.
∴|z|==5.
故答案为:
5.
3.若双曲线的离心率为2,则a等于 1 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】先求出b2=3,再由离心率为,得到a的值.
【解答】解:
由=1可知虚轴b=,而离心率e=,
解得a=1.
故答案:
1.
4.函数的定义域为 [1,+∞) .
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】首先由根式内部的代数式大于等于0,然后求解对数不等式即可得到原函数的定义域.
【解答】解:
由log2(2x﹣1)≥0,得2x﹣1≥1,解得x≥1.
所以原函数的定义域为[1,+∞).
故答案为[1,+∞).
5.函数f(x)=ex+2x(e是自然对数的底数)的图象在点(0,1)处的切线方程是 y=3x+1 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求得函数的导数,由导数的几何意义,可得切线的斜率,运用直线的斜截式方程,计算即可得到所求切线的方程.
【解答】解:
函数f(x)=ex+2x的导数为f′(x)=ex+2,
可得f(x)的图象在点(0,1)处的切线斜率为k=e0+2=3,
即有图象在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1.
故答案为:
y=3x+1.
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3﹣a6=0,则= 28 .
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】设出等比数列的首项和公比,由已知求出公比,代入等比数列的前n项和得答案.
【解答】解:
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
由27a3﹣a6=0,得27a3﹣a3q3=0,即q=3,
∴=.
故答案为:
28.
7.“a=1”是“直线l1:
ax+y+1=0,l2:
(a+2)x﹣3y﹣2=0垂直”的 充分不必要 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一)
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】先根据两直线垂直,求出a的值,即可判断.
【解答】解:
∵直线l1:
ax+y+1=0和l2:
(a+2)x﹣3y﹣2=0垂直,
∴a(a+2)﹣3=0,
解得a=﹣3,或a=1,
故实数“a=1”是“直线l1:
ax+y+1=0,l2:
(a+2)x﹣3y﹣2=0垂直的充分不必要条件,
故答案为:
充分不必要.
8.已知cos(α+)=,则sin(α﹣)的值是 .
【考点】两角和与差的正弦函数.
【分析】利用诱导公式化简所求,结合已知即可计算得解.
【解答】解:
∵cos(α+)=,
∴sin(α﹣)=sin(α﹣+﹣)=sin(α﹣)=﹣sin[﹣(α)]=cos(α+)=.
故答案为:
.
9.求过两点A(0,4),B(4,6)且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方程 (x﹣4)2+(y﹣1)2=25 .
【考点】圆的标准方程.
【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2=0上,可设圆心坐标为(2b+2,b),再根据圆心到两点A(0,4)、B(4,6)的距离相等,求出b的值,可得圆心坐标和半径,从而求得圆的标准方程.
【解答】解:
由于圆心在直线x﹣2y﹣2=0上,可设圆心坐标为(2b+2,b),
再根据圆过两点A(0,4),B(4,6),可得[(2b+2)﹣0]2+(b﹣4)2=[(2b+2)﹣4]2+(b﹣6)2,
解得b=1,可得圆心为(4,1),半径为=5,
故所求的圆的方程为(x﹣4)2+(y﹣1)2=25,
故答案为:
(x﹣4)2+(y﹣1)2=25.
10.已知函数f(x)=,若f(f(﹣2))>f(k),则实数k的取值范围为 <k<4 .
【考点】分段函数的应用.
【分析】求出f(f(﹣2))的值,根据分段函数的表达式,解不等式即可得到结论.
【解答】解:
f(﹣2)=,f(4)=(4﹣1)2=32=9,
则不等式等价为f(k)<9,
若k<0,由,解得log,
若k≥0,由(k﹣1)2<9,解得﹣2<k<4,此时0≤k<4,
综上:
<k<4,
故答案为:
<k<4
11.已知经过点A(﹣3,﹣2)的直线与抛物线C:
x2=8y在第二象限相切于点B,记抛物线C的焦点为F,则直线BF的斜率是 ﹣ .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】设B(m,)(m<0),求得函数的导数,可得切线的斜率,再由两点的斜率公式,解方程可得m,即有B的坐标,运用两点的斜率公式计算即可得到所求值.
【解答】解:
设B(m,)(m<0),
由y=的导数为y′=,
可得切线的斜率为,
即有=,化为m2+6m﹣16=0,
解得m=﹣8(2舍去),
可得B(﹣8,8),又F(0,2),
则直线BF的斜率是=﹣.
故答案为:
﹣.
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=,sinC=2cosB,且a=4,则△ABC的面积是 8 .
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】利用两角和的正弦函数公式化简sinC=2cosB即可得出sinB,cosB,从而得出sinC,利用正弦定理求出b,代入面积公式即可得出三角形的面积.
【解答】解:
∵cosA=,∴sinA=,
∵sinC=sin(A+B)=2cosB,∴sinAcosB+cosAsinB=2cosB,
∴cosB+sinB=2cosB,即sinB=2cosB,∴tanB=2.
∴sinB=,cosB=,∴sinC=2cosB=.
由正弦定理得:
,即,∴b=2.
∴S△ABC=absinC==8.
故答案为:
8.
13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n(n∈N*),若存在正整数m,n,满足am2﹣4=4(Sn+10),则m+n的值是 23 .
【考点】数列的求和.
【分析】由已知数列的前n项和球星数列的首项和公差,然后将am2﹣4=4(Sn+10)整理成关于m,n的等式,在正整数的范围内求值.
【解答】解:
数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n,所以数列为等差数列,首项为0,公差为2,
所以am2﹣4=4(Sn+10),化简为(m﹣1)2=n(n﹣1)+11,m,n为正整数,
经验证,当m=12,n=11时,等式成立,故m+n=23.
故答案为:
23.
14.若实数a,b满足a=+2,则a的最大值是 20 .
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
【分析】用换元法,设=x,=y,则x≥0,y≥0;求出b与a的解析式,由a=+2得出y与x的关系式,再根据其几何意义求出a的最大值.
【解答】解:
设=x,=y,且x≥0,y≥0;
∴b=x2,4a﹣b=y2,即a==;
∴a=+2可化为=y+2x,
即(x﹣4)2+(y﹣2)2=20,其中x≥0,y≥0;
又(x﹣4)2+(y﹣2)2=20表示以(4,2)为圆心,以2为半径的圆的一部分;
∴a==表示圆上点到原点距离平方的,如图所示;
∴a的最大值是×(2r)2=r2=20
故答案为:
20.
二.解答题
15.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点F为A1D的中点.
(1)求证:
A1B
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