江苏省宿迁市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷.doc
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江苏省宿迁市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.(5分)函数f(x)=lg(2x﹣1)的定义域为.
2.(5分)已知全集U={1,2,3},集合A={1},集合B={1,2},则A∪∁UB=.
3.(5分)已知函数y=ax﹣2+1(a>0,a≠1),不论常数a为何值,函数图象恒过定点.
4.(5分)已知幂函数y=f(x)的图象过点=.
5.(5分)已知函数则的值为.
6.(5分)已知a,b∈R,若2a=5b=100,则=.
7.(5分)关于x的方程x2+2(a﹣1)x+2a+6=0的两根为α,β,且满足0<α<1<β,则a的取值范围是.
8.(5分)已知f是有序数对集合M={(x,y)|x∈N*,y∈N*}上的一个映射,正整数数对(x,y)在映射f下对应的为实数z,记作f(x,y)=z.对于任意的正整数m,n(m>n),映射f由下表给出:
(x,y) (n,n) (m,n) (n,m)
f(x,y) n m﹣n m+n
则使不等式f(2,x)≤3的解集为.
9.(5分)已知函数f(x)=log2(x+2)+x﹣5存在唯一零点x0,则大于x0的最小整数为.
10.(5分)函数的值域为.
11.(5分)生活中常用的十二进位制,如一年有12个月,时针转一周为12个小时,等等,就是逢12进1的计算制,现采用数字0~9和字母A、B共12个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表;
十二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
例如用十二进位制表示A+B=19,照此算法在十二进位制中运算A×B=.
12.(5分)已知函数f(x)=(a≠±1)在区间(0,1]上是减函数,则a的取值范围是.
13.(5分)已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和.如:
若m是自然数,把m3按上述表示,等式右侧的奇数中含有2015,则m=.
14.(5分)已知定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数,且周期为.当时,(a、b∈R),则f
(1)+f
(2)+…+f(100)的值为.
二、解答题:
本大题共6小题,15-17每小题14分,18-20每小题14分,共计90分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(14分)已知命题A={x|x2﹣2x﹣8<0},B=.
(1)若A∩B=(2,4),求m的值;
(2)若B⊆A,求m的取值范围.
16.(14分)已知z为复数,z+2i为实数,且(1﹣2i)z为纯虚数,其中i是虚数单位.
(1)求复数z;
(2)若复数z满足,求|ω|的最小值.
17.(14分)某商场欲经销某种商品,考虑到不同顾客的喜好,决定同时销售A、B两个品牌,根据生产厂家营销策略,结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析,A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比,其关系如图1所示,B品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比,其关系如图2所示(利润与资金的单位:
万元).
(1)分别将A、B两个品牌的销售利润y1、y2表示为投入资金x的函数关系式;
(2)该商场计划投入5万元经销该种商品,并全部投入A、B两个品牌,问:
怎样分配这5万元资金,才能使经销该种商品获得最大利润,其最大利润为多少万元?
18.(16分)
(1)找出一个等比数列{an},使得1,,4为其中的三项,并指出分别是{an}的第几项;
(2)证明:
为无理数;
(3)证明:
1,,4不可能为同一等差数列中的三项.
19.(16分)已知定义在R上的函数f(x)=ln(e2x+1)+ax(a∈R)是偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
(3)若f(x2+)>f(mx+)恒成立,求实数m的取值范围.
20.(16分)已知函数f(x)=x2﹣1,g(x)=|x﹣a|.
(1)当a=1时,求F(x)=f(x)﹣g(x)的零点;
(2)若方程|f(x)|=g(x)有三个不同的实数解,求a的值;
(3)求G(x)=f(x)+g(x)在[﹣2,2]上的最小值h(a).
江苏省宿迁市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.(5分)函数f(x)=lg(2x﹣1)的定义域为.
考点:
函数的定义域及其求法.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
根据对数函数的真数大于0,列出不等式,求出解集即可.
解答:
解:
∵函数f(x)=lg(2x﹣1),
∴2x﹣1>0,
解得x>;
∴f(x)的定义域为(,+∞).
故答案为:
(,+∞).
点评:
本题考查了求函数定义域的问题,求定义域是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,是基础题目.
2.(5分)已知全集U={1,2,3},集合A={1},集合B={1,2},则A∪∁UB={1,3}.
考点:
交、并、补集的混合运算.
专题:
集合.
分析:
由全集U及B,求出B的补集,找出A与B补集的并集即可.
解答:
解:
∵全集U={1,2,3},集合A={1},集合B={1,2},
∴∁UB={3},
则A∪∁UB={1,3},
故答案为:
{1,3}
点评:
此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
3.(5分)已知函数y=ax﹣2+1(a>0,a≠1),不论常数a为何值,函数图象恒过定点(2,2).
考点:
指数函数的图像与性质.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
根据指数函数过定点的性质,即a0=1恒成立,即可得到结论.
解答:
解:
∵y=ax﹣2+1,
∴当x﹣2=0时,x=2,
此时y=1+1=2,
即函数过定点(2,2).
故答案为:
(2,2)
点评:
本题主要考查指数函数的图象和性质,直接解方程即可.比较基础.
4.(5分)已知幂函数y=f(x)的图象过点=.
考点:
幂函数的性质.
专题:
计算题;函数的性质及应用.
分析:
设f(x)=xn,n是有理数,根据f
(2)=计算出n=﹣2,从而得到函数表达式,求出f(3)的值.
解答:
解:
设f(x)=xn,n是有理数,则
∵幂函数的图象过点
∴=2n,即2﹣2=2n,可得n=﹣2
∴幂函数表达式为f(x)=x﹣2,可得f(3)=3﹣2=
故答案为:
点评:
本题给出幂函数经过定点,求幂函数表达式,着重考查了幂函数的定义与简单性质等知识,属于基础题.
5.(5分)已知函数则的值为.
考点:
分段函数的应用;函数的值.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
直接利用分段函数,由里及外逐步求解即可.
解答:
解:
函数则=f(log3)=f(﹣3)=2﹣3=.
故答案为:
.
点评:
本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.
6.(5分)已知a,b∈R,若2a=5b=100,则=.
考点:
基本不等式;对数的运算性质.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
先两边求出对数,求出a,b的值,再根据对数的运算性质计算即可.
解答:
解:
a,b∈R,若2a=5b=100,
∴a=log2100==,
b=log5100==,
∴=(lg2+lg5)=,
故答案为:
.
点评:
本题考查了对数的运算性质,属于基础题.
7.(5分)关于x的方程x2+2(a﹣1)x+2a+6=0的两根为α,β,且满足0<α<1<β,则a的取值范围是.
考点:
一元二次方程的根的分布与系数的关系.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
由已知中关于x的方程x2+2(a﹣1)x+2a+6=0的两实根α,β满足0<α<1<β,根据方程的根与对应函数零点之间的关系,我们易得方程相应的函数在区间(0,1)与区间(1,+∞)上各有一个零点,此条件可转化为不等式组,解不等式组即可得到实数a的取值范
解答:
解:
依题意,函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2a+6=的两个零点α,β满足0<α<1<β,
且函数f(x)过点(0,4),则必有,
即:
,
解得:
﹣3.
故答案为:
(﹣3,﹣)
点评:
本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系.其中根据方程的根与对应函数零点之间的关系,构造关于a的不等式是解答本题的关键
8.(5分)已知f是有序数对集合M={(x,y)|x∈N*,y∈N*}上的一个映射,正整数数对(x,y)在映射f下对应的为实数z,记作f(x,y)=z.对于任意的正整数m,n(m>n),映射f由下表给出:
(x,y) (n,n) (m,n) (n,m)
f(x,y) n m﹣n m+n
则使不等式f(2,x)≤3的解集为{1,2}.
考点:
映射.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
仔细阅读题意得出f(2,x)=,转化不等式为或求解即可.
解答:
解;根据题意得出:
f(2,x)=
∴不等式f(2,x)≤3可以转化为:
或
即﹣1≤x≤2或x∈∅,x∈N*,
∴解集为{1,2}
故答案为:
{1,2}
点评:
本题考查了学生的阅读题意得出需要的函数不等式,考查了分析转化问题的能力,属于中档题.
9.(5分)已知函数f(x)=log2(x+2)+x﹣5存在唯一零点x0,则大于x0的最小整数为3.
考点:
函数零点的判定定理.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
利用函数解析式判断f(x)在(﹣2,+∞)上单调递增,求解f
(2)<0,f(3)=log25+3﹣5=>0,根据函数零点存在性定理得出x0的范围即可.
解答:
解:
∵函数f(x)=log2(x+2)+x﹣5,
∴函数f(x)在(﹣2,+∞)上单调递增,
∵f
(2)=log24+2﹣5=﹣1<0,
f(3)=log25+3﹣5=log25﹣2=log2>0,
∴根据函数零点存在性定理得出;f(x)在(2,3)上有一个零点,且存在唯一零点,
故大于x0的最小整数为3,
故答案为:
3.
点评:
本题考查了运用观察法判断函数单调性,根据函数零点存在性定理判断零点的范围,难度不大,属于中档题.
10.(5分)函数的值域为(﹣∞,﹣2]∪[10,+∞).
考点:
函数的值域.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
把函数恒等变形得出y=2+,x∈[0,3]且x≠2,利用函数的单调性,结合不等式求解即可.
解答:
解:
∵函数,
∴y=2+,x∈[0,3]且x≠2,
∵﹣2≤x﹣2≤1,x﹣2≠0
∴≤﹣4或≥8
∴y≤﹣2或y≥10,
故答案为:
(﹣∞,﹣2]∪[10,+∞)
点评:
本题考查了分式函数的值域的求解,不等式的运用,是一道难度不大的题目.
11.(5分)生活中常用的十二进位制,如一年有12个月,时针转一周为12个小时,等等,就是逢12进1的计算制,现采用数字0~9和字母A、B共12个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表;
十二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
例如用十二进位制表示A+B=19,照此算法在十二进位制中运算A×B=92.
考点:
进位制.
专题:
计算题.
分析:
先把十二进制数化为十进制数,利用十进制数计算乘积,再把乘积化为十二进制即可.
解答:
解:
把十二进制数化为十进制数,则B(12)=
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