八年级数学下1823正方形课时练习新人教版附答案和解释Word文档格式.docx
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正方形的性质;
全等三角形的判定与性质解析:
∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AD∵CE=DF∴DE=AF∴△ADE≌△BAF∴①AE=BF,S△ADE=S△BAF,∠DEA=∠AFB,∠EAD=∠FBA∴④S△AOB=S四边形DEOF∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°
∴∠AFB+∠EAF=90°
∴②AE⊥BF一定成立.错误的结论是:
③AO=OE.故选A.分析:
根据四边形ABCD是正方形及CE=DF,可证出△ADE≌△BAF,则得到:
①AE=BF,以及△ADE和△BAF的面积相等,得到;
④S△AOB=S四边形DEOF;
可以证出∠ABO+∠BAO=90°
,则②AE⊥BF一定成立.错误的结论是:
③AO=OE.本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质.
3.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为CD上一动点,AE交BD于F,过F作FH⊥AE于H,过H作GH⊥BD于G,下列有四个结论:
①AF=FH,②∠HAE=45°
,③BD=2FG,④△CEH的周长为定值,其中正确的结论有( )A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④答案:
D知识点:
(1)连接FC,延长HF交AD于点L,∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADB=∠CDF=45°
.∵AD=CD,DF=DF,∴△ADF≌△CDF.∴FC=AF,∠ECF=∠DAF.∵∠ALH+∠LAF=90°
,∴∠LHC+∠DAF=90°
.∵∠ECF=∠DAF,∴∠FHC=∠FCH,∴FH=FC.∴FH=AF.
(2)∵FH⊥AE,FH=AF,∴∠HAE=45°
.(3)连接AC交BD于点O,可知:
BD=2OA,∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH,∴∠AFO=∠GHF.∵AF=HF,∠AOF=∠FGH=90°
,∴△AOF≌△FGH.∴OA=GF.∵BD=2OA,∴BD=2FG.(4)延长AD至点M,使AD=DM,过点C作CI∥HL,则:
LI=HC,根据△MEC≌△MIC,可得:
CE=IM,同理,可得:
AL=HE,∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.∴△CEM的周长为8,为定值.故
(1)
(2)(3)(4)结论都正确.故选D.分析:
(1)作辅助线,延长HF交AD于点L,连接CF,通过证明△ADF≌△CDF,可得:
AF=CF,故需证明FC=FH,可证:
AF=FH;
(2)由FH⊥AE,AF=FH,可得:
∠HAE=45°
;
(3)作辅助线,连接AC交BD于点O,证BD=2FG,只需证OA=GF即可,根据△AOF≌△FGH,可证OA=GF,故可证BD=2FG;
(4)作辅助线,延长AD至点M,使AD=DM,过点C作CI∥HL,则IL=HC,可证AL=HE,再根据△MEC≌△MIC,可证:
CI=IM,故△CEM的周长为边AM的长,为定值.解答本题要充分利用正方形的特殊性质,在解题过程中要多次利用三角形全等.
4.一个围棋盘由18×
18个边长为1的正方形小方格组成,一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上,被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个,则n的最大值是( )A.4B.6C.10D.12答案:
∵卡片的边长为1.5,∴卡片的对角线长为2<<3,且小方格的对角线长<1.5.故该卡片可以按照如图所示放置:
图示为n取最大值的时候,n=12.故选D.分析:
要n取最大值,就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度.本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算,旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值,是解题的关键.
5.如图,四边形ABCD是正方形,以CD为边作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则∠AMD的度数是( )A.75°
B.60°
C.54°
D.67.5°
答案:
B知识点:
线段垂直平分线的性质解析:
如图,连接BD,∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°
+60°
=150°
,BC=EC,∴∠EBC=∠BEC=(180°
-∠BCE)=15°
∵∠BCM=∠BCD=45°
,∴∠BMC=180°
-(∠BCM+∠EBC)=120°
,∴∠AMB=180°
-∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线,M在AC上,∴∠AMD=∠AMB=60°
故选B.分析:
连接BD,根据BD,AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线,所以∠AMD=AMB,要求∠AMD,求∠AMB即可.本题考查的正方形的对角垂直平分的性质,根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD=∠AMB,确定AC和BD垂直平分是解题的关键.
6.在平面直角坐标系中,称横.纵坐标均为整数的点为整点,如下图所示的正方形内(包括边界)整点的个数是( )A.13B.21C.17D.25答案:
坐标与图形性质解析:
正方形边上的整点为(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(4,1)、(5,2)、(1,4)、(2,5)、(3,6);
在其内的整点有(1,3)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(5,3).故选D.分析:
根据正方形边长的计算,计算出边长上的整点,并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点.本题考查的是正方形四条边上整点的计算,找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键.
7.在同一平面上,正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值,其中一个值是另一个值的3倍,这样的直线l可以有( )A.4条B.8条C.12条D.16条答案:
点到直线的距离解析:
符合题目要求的一共16条直线,下图虚线所示直线均符合题目要求.分析:
根据正方形的性质,一个值为另一个值的3倍,所以本题需要分类讨论,①该直线切割正方形,确定直线的位置;
②该直线在正方形外,确定直线的位置.本题考查了分类讨论计算点到直线的距离,找到直线的位置是解题的关键.
8.如图,正方形ABCD的边长为1,E为AD中点,P为CE中点,F为BP中点,则F到BD的距离等于( )A.B.C.D.答案:
三角形的面积解析:
连接DP,S△BDP=S△BDC-S△DPC-S△BPC=-×
1×
-×
=,∵F为BP的中点,∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍.∴S△BDP=2S△BDF,∴S△BDF=,设F到BD的距离为h,根据三角形面积计算公式,S△BDF=×
BD×
h=,计算得:
h==.故选D.分析:
图中,F为BP的中点,所以S△BDP=2S△BDF,所以要求F到BD的距离,求出P到BD的距离即可.本题考查的是转化思想,先求三角形的面积,再根据三角形面积计算公式,计算三角形的高,即F到BD的距离.
9.搬进新居后,小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD,彩线BD.AN.CM将正方形ABCD分成六部分,其中M是AB的中点,N是BC的中点,AN与CM交于O点.已知正方形ABCD的面积为576cm2,则被分隔开的△CON的面积为( )A.96cm2B.48cm2C.24cm2D.以上都不对答案:
三角形的面积;
相似三角形的判定与性质解析:
找到CD的中点E,找到AD的中点F,连接CF,AE,则CM∥EA,AN∥FC,△BOM∽△BKA,∴==,同理可证:
==,故DK=KO=OB,∴△BOC和△BOA的面积和为正方形ABCD的面积,∵CN=NB=AM=BM,∴△OCN的面积为△BOC和△BOA的面积和,∴△OCN的面积为=48cm2,故选B.分析:
先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的,再求证△CNO,△NBO,△AMO,△BMO的面积相等,即△CON的面积为正方形面积的.本题考查了正方形内中位线的应用,考查了正方形四边均相等的性质,解本题的关键是求证BO=BD,△OCN的面积为△BOC和△BOA的面积和.
10.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,在BD上截取BE=BC,连接CE,点P是CE上任意一点,PM⊥BD于M,PN⊥BC于N,若正方形ABCD的边长为1,则PM+PN=( )A.1B.C.D.1+答案:
正方形的性质,三角形的面积解析:
连接BP,作EH⊥BC,则PM.PN分别为△BPE和△BCP的高,且底边长均为1,S△BCE=1--S△CDE,∵DE=BD-BE=,△CDE中CD边上的高为(-1),∵S△CDE=CD×
(-1)=-;
S△BCE=1--S△CDE=;
又∵S△BCE=S△BPE+S△BPC=•BC•(PM+PN)∴PM+PN==.故选C.分析:
连接BP,PM.PN分别为△BPE和△BCP的高,且底边长均为1,因此根据面积计算方法可以求PM+PN.本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想,考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质,面积转换思想是解决本题的关键.
11.顶点为A(6,6),B(-4,3),C(-1,-7),D(9,-4)的正方形在第一象限的面积是( )A.25B.36C.49D.30答案:
坐标与图形性质;
连接OA,过A.D两点的直线方程是,即y=-+16,解得它与x轴的交点E的横坐标是x=7.8,同理求得过A.B两点的直线方程是y=-+4.2,解得它与y轴的交点E的纵坐标是y=4.2,∴S△AOE=×
7.8×
6=23.4,S△AFO=×
4.2×
6=12.6,∴S△AOE+S△AFO=23.4+12.6=36,即顶点为A(6,6),B(-4,3),C(-1,-7),D(9,-4)的正方形在第一象限的面积是36.分析:
根据正方形的顶点坐标,求出直线AD的方程,由方程式知AD与x轴的交点E的坐标,同理求得AB与y轴的交点F的坐标,连接OA,再去求两个三角形的面积,从而求得正方形在第一象限的面积.解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用,利用直角三角形求面积,在本题中,借助直线方程求的点E.F在坐标轴上的坐标,据此解得所求三角形的边长,代入面积公式求得结果.
12.ABCD是边长为1的正方形,△BPC是等边三角形,则△BPD的面积为( )A.B. C.D.答案:
等边三角形的性质解析:
△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积因此本题求解△BCP.△CDP面积和△BCD的面积即可,S△BCP=,S△CDP=,S△BCD=×
1=,∴S△BPD=.故选B.分析:
根据三角形面积计算公式,找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系,并进行求解.本题考查了三角形面积的计算,考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形.解决本题的关键是找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系.
13.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线BD上有一点P,使PC+PE的和最小,则这个最小值为( )A.4B.2 C.2D.2答案:
轴对称-最短路线问题;
等边三角形的性质;
∵正方形ABCD,∴AC⊥BD,OA=OC,∴C.A关于BD对称,即C关于BD的对称点是A,连接AE交BD于P,则此时EP+CP的值最小,∵C.A关于BD对称,∴CP=AP,∴EP+CP=AE,∵等边三角形ABE,∴EP+CP=AE=AB,∵正方形ABCD的面积为16,∴AB=4,∴EP+CP=4,故选A.分析:
根据正方形的性质,推出C.A关于BD对称,推出CP=AP,推出EP+CP=AE,根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP,根据正方形面积公式求出AB即可.本题考查了正方形的性质,轴对称-最短问题,等边三角形的性质等知识点的应用,解此题的关键是确定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE,题目比较典型,但有一定的难度,主要培养学生分析问题和解决问题的能力.
14.如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则CD=( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm答案:
翻折变换(折叠问题)解析:
∵四边形CEFD是正方形,AD=BC=10cm,BE=6cm,∴CE=EF=CD=10-6=4(cm).分析:
根据正方形的性质,即可轻松解答.
15.如图,菱形ABCD中,∠B=60°
,AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )A.14 B.15C.16 D.17答案:
菱形的性质解析:
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠B=60°
,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=4,∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+FA=4×
4=16.分析:
根据正方形和菱形的性质,即可轻松解答.
二.填空题(共5小题)1.如图所示,将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放,则阴影面积的总和是___cm2.答案:
知识点:
探索图形规律解析:
∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的,即×
1=,当有三个三角形时,其面积为+=当有四个时,其面积为++=所以当n个三角形时,其面积为.故答案为.分析:
求面积问题,因为点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点,所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的,由此便可求解.熟练掌握正方形的性质,会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题.
2.如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系、已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处,若在y轴上存在点P,且满足FE=FP,则P点坐标为 .答案:
(0,4)或(0,0)知识点:
连接EF,∵OA=3,OC=2,∴AB=2,∵点E是AB的中点,∴BE=1,∵BF=AB,∴CF=BE=1,∵FE=FP,∴Rt△FCP≌Rt△FBE,∴PC=BF=2,∴P点坐标为(0,4)或(0,0),即图中的点P和点P′.故答案为:
(0,4),(0,0)分析:
连接EF,CF=BE=1,若EF=FP,显然Rt△FCP≌Rt△FBE,由此确定CP的长.本题考查了三角形翻折前后的不变量,利用三角形的全等解决问题.
3.如图,边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起,O1和O2分别是两个正方形的中心,则阴影部分的面积为 ,线段O1O2的长为 .答案:
勾股定理;
做O1H∥AE,使O2H⊥O1H,交BG于P,K点,
(1)BP=,又∵O2H⊥HO1,∴KP∥HO2,∴△PKO1∽△HO2O1,∴,KP=,阴影部分的面积=×
BK×
()=×
[+]×
==;
(2)HO1=,HO2=,根据勾股定理O1O2===.故答案为:
;
.分析:
阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和,所以求2个三角形面积即可;
线段O1O2的长根据勾股定理求解.本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质,三角形面积的计算,考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用,解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2.
4.已知正方形ABCD在直角坐标系内,点A(0,1),点B(0,0),则点C,D坐标分别为 和 .(只写一组)答案:
(1,0) 和 (1,1)知识点:
∵正方形ABCD的点A(0,1),点B(0,0),∴BD∥x轴,AC∥x轴,这样画出正方形,即可得出C与D的坐标,分别为:
C(1,0),D(1,1).故答案为:
(1,0),(1,1).分析:
首先根据正方形ABCD的点A(0,1),点B(0,0),在坐标系内找出这两点,根据正方形各边相等,从而可以确定C,D的坐标.本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质,确定已知点的坐标,从而根据正方形的性质,确定其它顶点的坐标是解决问题的关键.
5.如图,在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形,点A与点B在两个格点上.在格点上存在点C,使△ABC的面积为2,则这样的点C有 个.答案:
5知识点:
图中标出的5个点均为符合题意的点.故答案为5.分析:
要使得△ABC的面积为2,即S=ah,则使得a=2、h=2或者a=4、b=1即可,在图示方格纸中找出C点即可.本题考查了正方形各边长相等的性质,考查了三角形面积的计算公式,本题中正确地找全C点是解题的关键,考生容易漏掉一个或者几个答案.
三.解答题(共5小题)1.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AF平分∠BAC,交BD于点F.
(1)求证:
(2)点A1、点C1分别同时从A、C两点出发,以相同的速度运动相同的时间后同时停止,如图,A1F1平分∠BA1C1,交BD于点F1,过点F1作F1E⊥A1C1,垂足为E,请猜想EF1,AB与三者之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)在
(2)的条件下,当A1E1=6,C1E1=4时,则BD的长为 .答案:
(1)见解析
(2)AB-EF1=A1C1(3)知识点:
全等三角形的判定与性质;
勾股定理解析:
(1)过F作FG⊥AB于G,∵AF平分∠CAB,FO⊥AC,FG⊥AB,∴OF=FG,∵∠AOF=∠AGF=90°
,AF=AF,OF=FG,∴△AOF≌△AGF,∴AO=AG,直角三角形BGF中,∠DGA=45°
,∴FG=BG=OF,∴AB=AG+BG=AO+OF=AC+OF,∴AB-OF=AC.
(2)过F1作F1G1⊥A1B,过F1作F1H1⊥BC1,则四边形F1G1BH1是矩形.同
(1)可得EF1=F1G,因此四边形F1G1BH1是正方形.∴EF1=G1F1=F1H1,即:
F1是三角形A1BC1的内心,∴EF1=(A1B+BC1-A1C1)÷
2…①∵A1B+BC1=AB+A1A+BC-CC1,而CC1=A1A,∴A1B+BC1=2AB,因此①式可写成:
EF1=(2AB-A1C1)÷
2,即AB-EF1=A1C1.(3)由
(2)得,F1是三角形A1BC1的内心,且E1、G1、H1都是切点.∴A1E=(A1C1+A1B-BC1)÷
2,如果设CC1=A1A=x,A1E=[A1C1+(AB+x)-(AB-x)]÷
2=(10+2x)÷
2=6,∴x=1,在直角三角形A1BC1中,根据勾股定理有A1B2+BC12=AC12,即:
(AB+1)2+(AB-1)2=100,解得AB=7,∴BD=7.分析:
(1)可通过构建全等三角形来求解,过F作FG⊥AB于G,那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF=FG,通过全等三角形AOF和AGF可得出AO=AG,那么AB=AO+OF,而AC=2OA,由此可得证;
(2)本题作辅助线的方法与
(1)类似,过F1作F1G1⊥AB,F1H1⊥BC,那么可证得四边形F1G1BH1是正方形,EF1=F1G1=F1H1,那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心,根据直角三角形的内心公式可得出EF1=(A1B+BC1-A1C1)÷
2,然后根据用AB分别表示出A1B,BC1,最后经过化简即可得出AB-EF1=A1C1;
(3)求BD的长,首先要求出AB的长,本题可借助
(2)中,F1是三角形A1BC1的内心来解,那么我们不难看出E,G1,H1都应该是切点,根据切线长定理不难得出A1E+A1G1=A1C1+A1B-C1E-BG1,由于C1E=C1H1,BG1=BH1,A1E=A1G1因此式子可写成2A1E=A1C1+A1B-BC1,而(A1B-BC1)正好等于2A1A,由此可求出A1A的长,那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边,求出AB的长,然后即可得出BD的值.本题主要考查了正方形的性质,三角形的内接圆与内心等知识点,要注意的是后两问中,结合圆的知识来解会使问题更简单.
2.已知:
如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且EA⊥AF.求证:
DE=BF.答案:
见解析知识点:
证明:
∵∠FAB+∠BAE=90°
,∠DAE+∠BAE=90°
,∴∠FAB=∠DAE,∵∠AB=AD,∠ABF=∠ADE,∴△AFB≌△ADE,∴DE=BF.分析:
由同角的余角相等知,∠FAB=∠DAE,由正方形的性质知,∠AB=AD,∠ABF=∠ADE=90°
,则ASA证得△AFB≌△ADE⇒DE=BF.此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质.学生对学过的知识要系统起来.
3.如图,点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上,AG⊥EF,垂足为G,且AG=AB,则∠EAF为多少度.答案:
45°
在Rt△ABF与Rt△AGF中,∵AB=AG,AF=AF,∠B=∠G=90°
,∴△ABF≌△AGF(HL),∴∠BAF=∠GAF
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