江苏省句容市行香中学九年级数学上册第一章一元二次方程知识点总结新版苏科版Word文件下载.docx
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(2)配方法
配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的
应用。
配方法的理论根据是完全平方公式a2_2ab■b2=(a■b)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代
替,则有x2-2bx•b2=(x_b)2。
配方法解一元二次方程的一般步骤:
现将已知方程化为一般形式;
化二次项系数为1;
常数项移到右边;
方
程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;
变形为(x+p)2=q的形式,如果q>
0,
方程的根是x=-p±
Vq;
如果qv0,方程无实根.
(3)公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
元二次方程ax2•bx•c=0(a=0)的求根公式:
2
-b二.b-4ac
2a
(b2-4ac_0)
(4)因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
5.一元二次方程根的判别式
根的判别式:
一元二次方程ax2bx0(a北0)中,b2-4ac叫做一元二次方程ax2bx0(a=0)
的根的判别式,通常用“厶”来表示,即人二b2-4ac
6.一元二次方程根与系数的关系
2bc
如果方程axbx0(a=0)的两个实数根是%,x2,那么x1x2,x1x2。
也就是说,对于
aa
任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;
两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
7.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
8.分式方程的一般解法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是:
(1)去分母,方程两边都乘以最简公分母
(2)解所得的整式方程
(3)验根:
将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;
若不等于零,就是原方程的根。
(参考教材:
初中数学九年级人教版)
知识点1.只含有一个未知数,并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
例题:
1、判别下列方程是不是一元二次方程,是的打“V”,不是的打“X”,并说明理由.
(1)2x2-x-3=0.
⑵
y-y2=0.
4
(3)t
2=0.
(4)x3-x2=1.
⑸x
2-2y-仁0.
(6)
12-3=0.
x
⑺x2-3x
=2.
(8)(x+2)(x-2)=(x+1)
24
(9)3x-+6=0.
(10)3x
2亠.
1、若关于x的方程
a(x-1)
2=2x2-2是
兀二次方程,
贝Ua的值是
(
)
(A)2
(B)
-2
(C)0
(D)不等于2
2、已知关于x的方程m•1x2•n2「3x•p=0,当时,方程为一次方程;
当时,两根
中有一个为零a。
3、已知关于x的方程m-2,x-m=0:
m为何值时方程为一元一次方程;
m为何值时方程为一元二次方程。
知识点二•一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是:
ax2•bx•c=0a=0,其中ax2是二次项,a叫二次项系数;
bx是一次项,
b叫一次项系数,c是常数项。
特别警示:
(1)“a=0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分;
(2)二次项系数、一次项系数及
常数项都是方程在一般形式下定义的,所以求一元二次方程的各项系数时,必须先将方程化为一般形式。
1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项
(2)5x2-10x-2.2=0(3)2x2-15=0
(x2)2=3
(4)x23x=0
2、关于x的方程3x2….2x-6=0中a是;
b是;
c是
知识点三•一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解。
b是x2-3x•2=0较小根,()
(D)2
1、已知方程3x2-9xm=0的一个根是1,贝Um的值是2、设a是一元二次方程x25x=0的较大根,那么a-b的值是
(A)-4(B)-3(C1
一2X十1
3、已知关于x的一元二次方程x•kx-2=0的一个解与方程3的解相同。
X—1求k的值;
求方程x2kx-2=0的另一个解。
知识点四•一元二次方程的解法
一元二次方程的四种解法:
直接开平方法:
如果x2二kk_0,则x=k
配方法:
要先把二次项系数化为1,然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方,配成左边是完全平方式,
右边是非负常数的形式,然后用直接开平方法求解;
:
2_
公式法:
一元二次方程ax2bx0a=0的求根公式是x=—b4acb2-4ac-0;
因式分解法:
如果x_ax-b=0则Xi=a,x2=b。
温馨提示:
一元二次方程四种解法都很重要,尤其是因式分解法,它使用的频率最高,在具体应用时,要注
意选择最恰当的方法解。
解方程:
1、方程x2-2x=0的解是:
()
A.Xi=X2=1B.Xi--1,X2=3C.Xi=2,X2=0D.Xi--2,X2=0
2、方程_ix2mix的较简便的解法应选用。
解为
3、解下列方程:
(4)2、3y2=2一3y
12i,
(5”)訂)
(i)X23=3xi
(2)2x2x-3=0(3)x22x-3=0
(6)(x+3)2=(2x-5丫
⑺3y2-61=【y2$y-2'
知识点五.一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程ax2•bx•c=0a=0的根的判别式是b2-4ac:
当b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;
当b-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当b-4ac<
0时,方程无实数根。
若方程有实数根,则有b2-4ac_0。
1、已知方程x2-3x•k=0有两个不相等的实数根,则k=。
2、当m满足何条件时,方程mx-2m-ix•9m-i=0有两个不相等实根?
有两个相等实根?
有实根?
3、关于x的方程mx?
_2m2xm・5二0无实根,试解关于x的方程m-5x2-2m・2xm=0。
_2
4、已知关于x的一元二次方程x4m1x2^0,求证:
不论m为任何实数,方程总有两个不相
等的实数根。
知识点六•一元二次方程根与系数的关系
2be
若一元二次方程ax•bx•e=0a=0的两个实数根为x-!
x2,贝y捲•x2公凶=
利用根与系数的关系解题时,一元二次方程必须有实数根。
为:
22
3、方程x-3x-6=0与方程x-6x,3=0的所有根的乘积是
4、两个不相等的实数m,n满足m2-6m=4,n2-6n=4,贝Umn的值为。
5、设x「x2是关于x的一元二次方程x■px■q=0的两个根,x-!
1,x21是关于x的一元二次方程
xqxp=0的两个根,则p,q的值分别等于多少?
知识点七•一元二次方程的实际应用
列一元二方程解应用题的一般步骤:
(1)审题
(2)设未知数(3)列方程(4)解方程(5)检验(6)写出
答案。
在检验时,应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。
1、有一个两位数,十位数字比个位数字大3,而此两位数比这两个数字之积的二倍多5,求这个两位数。
2、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格,某种药品经过连续两次降价后,由每盒200
元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?
3、将一条长20m的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17平方米,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
⑵两个正方形的面积之和可能等于12平方米吗?
若能,求出两段铁丝的长度;
若不能,请说明理由。
一元二次方程综合复习
1、下列方程中,关于X的一元二次方程是()
211222
A.3(x+1j=2(x+1)b.飞+―—2=0c.a£
+bx+c=0d.x2+2x=x2+1
Xx
2、方程(吊一1)x2+mi5=0是关于x的一元二次方程,则m满足的条件是•••(
0(C)|m丰1(D)m=±
1
3、若x=1是一元二次方程ax,bx-2=0的一个根,则ab=
b+vb^—4ac
4、实数bb4aC是方程
_的根
(A)ax2
bxc=0
(B)ax「bxc=0
(C)ax2
-bx-c=0
(D)axbx-c=0
5、方程x-25=0的解是:
6、关于x的一元二次方程kx2,2x-1=0两个不相等的实数根,则k的取值
范围是()
(A)k*T(B)k*-1
7、在下列方程中,有实数根的是
A)x23x1=0B)'
、4x1=TC)X22x3=0D)—
8关于x的一元二次方程2x-2x・3m-仁0有两个实数根为恥,且XX2Xi-4,则m的取值范围
是()
s515
(D)
(A)m(B)m(C)m「一
323
9.若(x+y)(1—x—y)+6=0,则x+y的值是()
A.2B.3C2或3D.2或—3
10、若(m+Dxm(m42)jL+2mx-仁0是关于x的一元二次方程,则m的值是
11、填上适当的数,使等式成立:
x2—5x•=(x—)2.
12、当x=时,代数式x2-3x比代数式2x2-x-1的值大2.
13、某商品原价每件25元,在圣诞节期间连续两次降价,现在商品每件16元,则该玩具平均每次降价的百
分率是。
14、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,方程
为
15、参加一次聚会的没两个人都握了一次手,所有人共握手36次,设有x人参加聚会,方程为
16、解下列方程:
1.(x2)2一25=0直接开平方法2.x2,4x-5=0(配方法)
3x2-5x+6=0(因式分解法)4.2x2-7x•3=0(公式法)
-,求m的值。
3
17、设x1,x2是关于x的方程x■mTx-m=0m=0的两个根,且满足
18、求证:
二次三项式—x2+4x—5的值恒小于0.并求出它的最大值。
19、已知关于x的一元二次方程x2・kx-1=0。
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
⑵设的方程有两根分别为x-!
x2,且满足x-!
x2=x1x2求k的值。
20、已知:
J是关于x的一元二次方程x2•2m3xm2-0的两个不相等的实数根,且满足
11
1,则m的值是
aP
(A)3或-1(B)3
()
(C1
(D-3或1
21.已知:
△ABC的两边ABAC的长是关于x的一元二次方程x-2k3xk3k2=0的两个实数根,
第三边BC的长为5,问:
k取何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
22、一块长方形铁皮的长是宽的2倍,四角各截去一个正方形,制成高是5体容器。
求这块铁皮的长和宽。
cm,容积是500cm的无盖长方
23、如图,有一面积为150m2的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成,如果竹
篱笆的长为35m,求鸡场的长与宽各为多少米?
墙
IBn»
24、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克,为了促销,该经营户决定降价,经调查发现,这种小西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克,另外,每天的房租等固定成本共24元,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
25、在矩形ABCD中,AB=6cmBC=3cm点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动,点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。
如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(OWt<
3)。
那么,当t为何值时,△QAP的面积等于2cmf?
D
Q
C
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- 江苏省 句容市 中学 九年级 数学 上册 第一章 一元 二次方程 知识点 总结 新版 苏科版