DSP课程设计8点基于DIF的FFT的实现Word格式文档下载.docx
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摘要
快速傅里叶变换(FFT)是离散傅里叶变换(DFT)的快速算法,FFT算法通过利用旋转因子的性质,将一个大点数DFT化成几个小点数DFT,就可以大大减少运算量。
DIF-FFT是利用频率抽选的FFT算法,在Matlab中可以通过三重循环语句实现。
关键词:
FFT,蝶形运算,倒序排列
1Matlab软件简介
1.1Matlab语言的历史
70年代后期,身为美国New
Mexico大学计算机系系主任的Cleve
Moler发现学生用FORTRAN编写接口程序很费时间,于是他开始自己动手,利用业余时间为学生编写EISPACK和LINPACK的接口程序。
Cleve
Moler给这个接口程序取名为Matlab。
1984年,为了推广Matlab在数值计算中的应用,CleveMoler、JohonLittle等正式成立了Mathworks公司,从而把Matlab推向市场,并开始了对Matlab工具相等的开发设计。
1.2Matlab软件概况
Matlab是Matrix Laboratory的缩写,意为矩阵实验室。
它具有强大的矩阵处理功能和绘图功能,进还能进行文字处理,绘图,建模仿真等功能。
随着版本的不断升级,它在数值计算及符号计算功能上得到了进一步完善。
Matlab已经发展成为多学科、多种工作平台的功能强大的大型软件。
在欧美等高校,Matlab已经成为线性代数、自动控制理论、概率论及数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。
1.3Matlab的特点
Matlab有以下一些特点:
Matlab的帮助功能很强大,自带有详细的帮助手册,基于HTML的完整的帮助功能,也可以用help命令来得到帮助信息。
程序语法与C语言类似,设计自由度大,方便我们编程。
例如在Matlab里,用户无需对变量预定义就可使用。
大量数学函数已经定义好,并且有很强的用户自定义函数的能力。
Matlab有高级的程序环境,但程序环境很简单易用,有与其它语言编写的程序结合和输入输出格式化数据的能力;
Matlab既具有结构化的控制语句,又有面向对象编程的特性。
还有一个原因使Matlab受人们欢迎的,那就是Matlab源程序具有很大的开放性。
除了内部函数以外,所有Matlab的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件,用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。
Matlab有强大的的图形绘制功能。
在Matlab里,数据可视化的操作非常简单易用。
Matlab还有较强的编辑图形界面的能力。
可以用来声成图解和可视化的二维、三维图。
Matlab还拥有功能强大的各种工具箱。
其工具箱分为两类:
功能性工具箱和学科性工具箱。
功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能,图示建模仿真功能,文字处理功能以及与硬件实时交互功能。
功能性工具箱用于多种学科。
而学科性工具箱是专业性比较强的,如(control、signalproceessing、commumnication)toolbox等。
这些工具箱都是由该领域内学术水平很高的专家编写的,所以用户无需编写自己学科范围内的基础程序,而直接进行高,精,尖的研究,能极大地促进我们的学习研究工作。
虽然Matlab有很多优点,但它也有一些缺点,比如:
由于Matlab的程序不用编译等预处理,也不生成可执行文件,程序为解释执行,所以速度较慢。
2快速傅里叶变换算法分析
2.1FFT简介
快速傅里叶变换(FFT)是离散傅里叶变换(DFT)的快速算法,他在傅里叶变换理论上并没有新的发现,但是却极大的减少了离散傅里叶变换的运算量。
快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。
1965年,库利和图基合作在《MathematicsofComputation》上发表了论文《AnAlgorithmfortheMachineComputationofComplexFourierSeries》,提出了按时抽取的快速傅立叶变换算法,也称库利-图基算法,被视为DSP走向应用的开端。
从此,对快速傅里叶变换算法的研究便不断深入,数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。
之所以需要快速傅里叶变换,是因为离散傅里叶变换的运算量较大。
离散傅里叶变换的公式为:
正变换:
n=0,1,2…,N-1
逆变换:
一般情况下WN,x(n),X(k)都是复序列,计算一个完整的N点DFT需要N2次复数乘法与N-1次复数加法,当N极大时运算量与N2成正比,运算量将过于巨大,不方便应用。
而FFT算法通过利用旋转因子的性质,将一个大点数DFT化成几个小点数DFT,就可以大大减少运算量。
2.2按频率抽选的FFT算法
FFT算法主要有两种,按时间抽选的FFT的算法(DIT-FFT)和按频率抽选的FFT算法(DIF-FFT)。
这里主要介绍DIF-FFT。
DIF-FFT算法是将输入序列x(k)分成前后两个部分。
k为偶数
k为奇数
由于
,则
所以
把k按奇数和偶数分,
r=0,1,…N/2-1
将X(k)分为两部分:
令
,
,可得
,r=0,1,2,…,N/2-1
由此可得频率抽选法蝶形运算单元,如图2.1所示
图2.1频率抽选法蝶形运算单元
这样可以把一个N点DFT分解为两个N/2点DFT的组合,两个N/2点DFT还可以继续分解,设N=2M,则经过M-1次分解,最后可以分解成为N/2个两点DFT,可以由一个蝶形运算来求解。
例如8点DIF-FFT蝶形运算图如图2.2
图2.28点DIF-FFT运算流图。
输出序列的排列规律不是从小到大按顺序的,而是按照倒叙规则排序的,即先将0-7转换为二进制数,然后将二进制数左右倒序,再转为十进制就可以得到新的数列,即:
0,4,2,6,1,5,3,7。
3程序设计
3.1程序设计思路
由8点FFT运算的蝶形图可知,FFT运算的基本单元是一个个蝶形运算单元,一个蝶形运算单元可以用几条语句实现,然后可以用循环语句来进行各个蝶形运算单元的计算。
8点FFT的蝶形运算有3级,第1级有1组,每组4个蝶形运算单元,旋转因子是
、
;
第2级有2组,每组2个蝶形运算单元,循环因子是
第3级有4组,每组1个蝶形运算单元,旋转因子是
。
总结运算规律,来设定循环语句。
第一层循环在1到3级间循环,循环变量mm=1,2,3。
旋转因子下标Nm=24-mm=8,4,2。
第二层循环在该级的各组间循环,每级有2mm-1组,每组第一行对应的x值为:
第1级是x(0),第2级是x(0),x(4),第3级是x(0),x
(2),x(4),x(6)。
设第二层循环变量为p,则在Matlab中,p=0:
Nm:
7。
第三层循环在该组的各个蝶形运算单元间循环,每组有Nm/2个蝶形运算单元,则循环变量k从1到Nm/2,旋转因子是
,每次蝶形运算跨越的行数是Nm/2,则参加蝶形运算的x值为x(k+p)和x(k+p+Nm/2)。
循环完成后则FFT运算完成,再将x序列按倒叙规律重新排列就可以得到X(k)序列。
3.2要使用的Matlab函数
程序设计思路已经有了,结下来分析如何在Matlab里具体实现该程序。
Matlab的语法并不困难,掌握了所需的函数后就能很快设计出程序了,这里主要介绍一下要用到的函数。
直接用Matlab计算N点FFT可以用函数fft(x,N),在此课设中用来和自编程序对照结果。
还用到一些计算函数,如exp(x)计算e的x次方,abs(x)计算x绝对值。
倒序运算主要用到的函数有,dec2bin(x,m),是把十进制序列x转换为m位二进制数,bin2dec(x,m)也是类似功能。
fliplr函数是将一个矩阵左右颠倒,则程序中求倒序的语句就是:
d=bin2dec(fliplr(dec2bin([0:
N-1],m)))+1;
y=x(d);
x是N点序列,执行完语句后,y序列就是x序列的倒序排列。
计算完成结果要绘图输出,要用到的函数是subplot(a,b,c),功能是让下面的语句绘制a行b列图形中的第c个。
绘图用stem(x,y)函数,是以x序列为横轴,y序列为纵轴,绘制离散的图像。
绘完图可以用title函数给图像命名。
4程序流程图
图4.1程序流程图
5源程序
5.1直接调用FFT函数源程序
以下是直接调用Matlab自带的FFT函数计算的源程序,其输入序列为x=[02460246],求出FFT结果y=X(k)后对其幅值和原序列进行绘图。
N=8;
%FFT点数为8点
n=0:
N-1;
%横坐标序列
x=[02460246];
%设定输入x(n)序列
y=fft(x,N)%调用FFT函数求X(k)序列,y=X(k)
mag=abs(y);
%求幅值
subplot(2,1,1);
stem(n,x);
%绘制原序列
title('
输入序列x(n)'
);
subplot(2,1,2);
stem(n,mag);
%绘制X(k)序列
8点调用FFT函数计算结果'
)
5.2FFT计算源程序
以下是本次课程设计编写的FFT计算程序,输入序列和5.1的程序一样,都是x=[02460246],y等于FFT输出序列X(k),最后对y的幅值和原序列进行绘图。
%设定FFT点数为8点
%设定输入序列x(n)
x1=x;
%暂存x序列到x1
m=log2(N);
%求蝶形运算级数m
formm=1:
m%循环mm=1到3级蝶形运算
Nm=2^(m-mm+1);
%求该级旋转因子下标Nm,Nm=8,4,2
forp=0:
Nm:
N-1%循环该级1到2mm-1组蝶形运算
fork=1:
Nm/2%循环该组1到23-mm个蝶形运算
kp=k+Nm/2+p;
%确定蝶形运算对应单元下标
a=x(kp);
%暂存x(xp)
x(kp)=(x(k+p)-a)*exp(-j*2*pi*(k-1)/Nm);
x(k+p)=x(k+p)+a;
%进行蝶形运算
end
end
%把0-7倒序排列
y=x(d)%y=x序列的倒序,即y=X(k)
%求y幅值
x=x1;
%x恢复成原序列
%绘制原序列
%绘制X(k)序列
8点FFT计算结果'
6程序运行结果分析
6.1程序运行结果
首先在Matlab中输入源程序,然后保存,选择Debug菜单中的Run执行程序。
如图6.1:
图6.1Matlab界面
首先运行程序1,即直接调用Matlab自带的FFT函数计算。
运行结果如图6.2所示。
y序列即X(k)序列为y={240-8+8i0-80-8-8i0}。
图6.2调用FFT函数运行结果1
然后是用自己编写的FFT计算函数,运行得到如图6.3所示结果。
图6.3运行结果2
6.2结果分析
通过比较图6.2和图6.3可以看出,两者的FFT结果完全一样,可以证明编写的FFT程序正确,达到了课程设计的任务要求。
而且本程序不仅可以计算8点FFT,也可以计算N点FFT(N=2m),经测试结果也是正确的。
7课程设计心得体会
通过Matlab一周以来的学习研究,我对Matlab有了初步的认识,我掌握了Matlab的基本操作,并学会了用Matlab解决一些电路和数学上的问题,下面是我具体的一些体会
Matlab功能非常强大,几乎可以计算我们目前所遇到的任何问题,不仅可以计算数学问题,也可以用来解决电路等其他学科的各种问题。
而且我们可以自编函数,从而可以解决更多样的问题。
但以目前我们的知识,只能掌握Matlab的一小部分功能,在以后的学习中,我还需要继续学习Matlab的相关知识。
Matlab虽然功能非常强大,但其操作却非常简单,它的语法类似于我们以前学过的C语言,使我很容易上手,而其语法比C语言更为自由,限制更少,语法类似于自然语言,简洁而智能化,使我可以很容易的编写程序且不容易出错。
关于绘图的操作则比C语言简单得多,用几条简单的语句就可以绘出各种曲线、图形,使我们的学习研究变的非常方便。
通过本次课程设计我掌握了FFT的编程方法,对FFT有了更深刻的了解。
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- DSP 课程设计 基于 DIF FFT 实现
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