求椭圆离心率范围的常见题型及解析.docx
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求椭圆离心率范围的常见题型解析
解题关键:
挖掘题中的隐含条件,构造关于离心率e的不等式.
一、利用曲线的范围,建立不等关系
例1已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP垂
直于PA,求椭圆的离心率e的取值范围.
例2已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在一点使,则该椭圆的离心率的取值范围为.
二、利用曲线的平面几何性质,建立不等关系
例3已知是椭圆的两个焦点,满足的点P总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()
A. B. C. D.
三、利用点与椭圆的位置关系,建立不等关系
例4已知的顶点B为椭圆短轴的一个端点,另两个顶点也在椭圆上,若的重心恰好为椭圆的一个焦点F,求椭圆离心率的范围.
四、利用函数的值域,建立不等关系
例5椭圆与直线相交于A、B两点,且(O为原点),若椭圆长轴长的取值范围为,求椭圆离心率的范围.
五、利用均值不等式,建立不等关系.
例6 已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.求椭圆离心率的范围;
解 设椭圆方程为+=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3·2=4a2-3a2=a2
(当且仅当m=n时取等号).∴≥,即e≥.
又0 例7 已知、是椭圆的两个焦点,椭圆上一点使,求椭圆离心率的取值范围. 解析1: 令,则由 即 又 六、利用焦点三角形面积最大位置,建立不等关系 解析2: 不妨设短轴一端点为 则≤ ≤≤≤≥ 故 ≤< 七、利用实数性质,建立不等关系 解析3: 设,由得,即,代入得, 即,又 八、利用曲线之间位置关系,建立不等关系 解析4: 又P在椭圆上,与的公共点.由图可知 说明: 椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长. 九、利用最大位置,建立不等关系 解析4: 椭圆当P与短轴端点重合时∠最大 无妨设满足条件的点P不存在,则∠< 又 所以若存在一点P则. 5
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