比例线段与相似性质和判定.doc
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比例线段与相似性质和判定
考纲要求
内容
基本要求
略高要求
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算;会利用三角形的相似解决一些实际问题
知识讲解
一、比例的性质
1.这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;
2.(反比定理);
3.(或)(更比定理);
4.(合比定理);
5.(分比定理);
6.(合分比定理);
7.(等比定理).
二、成比例线段
1.比例线段
对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如(即),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
2.比例的项
在比例式()中,称为比例外项,称为比例内项,叫做的第四比例项.
三条线段()中,叫做和的比例中项.
3.黄金分割
如图,若线段上一点把线段分成两条线段和(),且使是和的比例中项(即)则称线段被点黄金分割,点叫线段的黄金分割点,其中,,与的比叫做黄金比.
三、平行线分线段成比例定理
1.定理
两条直线被三条平行线所截,截得的对应线段成比例.
2.推论:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
3.推论的逆定理
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
4.三角形一边的平行线性质
平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
如图,,则.若将称为上,称为下,称为全,上述比例式可以形象地表示为.
当三条平行线退化成两条的情形时,就成了“”字型,“”字型.则有.
学案提升
考点一:
比例的性质
☞考点说明:
如果要考查多以选择和填空为主,重点掌握等比性质
【例1】若,则的值为________
【答案】
【巩固】设,则_______
【解析】由及比例的性质可知:
.也可用“过渡量”来求!
【答案】
【拓展】若,则的值为_________
【答案】或[提示:
等比性质,若时,,若,则]
【例2】已知,求的值
【解析】解法一:
设,则.∴.
解法二:
由得.∴.
【答案】.
【巩固】已知:
.求.
【解析】设,代入中得原式
【答案】
考点二:
黄金分割
☞考点说明:
如果要考查可能出现在22题之中,需要掌握黄金分割的定义
【例3】如图所示,乐器上的一根弦,两个端点固定在乐器面板上,支撑点是靠近点的黄金分割点(即是与的比例中项),支撑点是靠近点的黄金分割点,则
________,________.
【解析】点是靠近点的黄金分割点,∴,即,又∵点是靠近点的黄金分割点,∴,∴
【答案】、
【例4】如图所示,在黄金分割矩形中,分出一个正方形,求.
【解析】∵,∴.
.
∵,
∴.
【答案】.
考点三:
平行线分线段成比例定理
☞考点说明:
平行线分线段成比例定理的考查多数以选择或填空的形式展开
【例5】如图,,且,若,求的长.
【解析】
【答案】
【例6】如图,已知,,则下列比例式中错误的是()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由,可得,故正确.由,可得,故正确.由,可得,而,∴错误.
【拓展】如图,中,为边的中点,延长至,延长交的延长线于.若,求证:
.
【答案】过点作的平行线,交于点.
老师可引导学生通过作如下辅助线来证此题:
【例7】已知,如图边长为的等边,,,则的长为_____
【答案】
【例8】如图,在中,、,若,,则的长为________
【答案】
[提示:
设,则,,,
代入即可求得]
【例9】已知,如图在平行四边形,为上任一点,连接交的延长线于
求证:
【答案】证明过程略。
[提示:
,]
考点四:
梅涅劳斯定理
☞考点说明:
梅涅劳斯型在选择和填空中考察较多,需要熟练掌握该定理以提高解题速度
梅涅劳斯定理:
如果一条直线与的三边、、或其延长线交于、、点,那么.这条直线叫的.梅氏线,叫梅氏三角形.
证法一:
如左图,过作
∵,
∴.
证法二:
如中图,过作交的延长线于
∴,,
三式相乘即得:
.
证法三:
如右图,分别过作的垂线,分别交于.
则有,
所以.
【例10】如图,在中,是的中点,是上一点,且,连接并延长,交的延长线于,则_______.
【答案】2
【解析】以上这些解法均属于常规解法,下面介绍特殊的解法:
看为直线所截,由梅涅劳斯定理可知,
又,,故
上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形,解类似的题时,梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果,很快得出答案,梅氏定理的证明见变式1,先讲变式1再介绍本解法.
【例11】如图,在中,为边的中点,为边上的任意一点,交于点.
(1)当时,求的值;
(2)当时,求的值;
(3)试猜想时的值,并证明你的猜想.
【答案】
(1);
(2)当时,;当时,(3)当时,
【解析】梅氏定理,看被直线所截可知
,而,,故.
【巩固】如图,是的中线,点在上,是延长线与的交点.
(1)如果是的中点,求证:
;
(2)由
(1)知,当是中点时,成立,若是上任意一点(与、不重合),上述结论是否仍然成立,若成立请写出证明,若不成立,请说明理由.
【答案】
(1)见解析;
(2)结论依然成立
【拓展】在中,底边上的两点、把三等分,是上的中线,、分别交于、两点,求证:
【解析】利用梅涅劳斯定理,得
①把看成梅式三角形,看成梅氏线,故
②把看成梅氏三角形,看成梅氏线,故,所以
考点五:
相似三角形的性质
☞考点说明:
利用相似三角形的性质如对应边成比例,求线段的长,或者转化角度。
【例12】如图,四边形是平行四边形,为上一点,交于。
若,
则()
A. B.
C. D.
【答案】B
【例13】已知为梯形一腰上一点,且,交于,,,则长为()
A. B.
C. D.
【答案】A[提示:
方法一,分别取、中点,连接,则,
方法二:
过点作交于,则,,∴,∴]
【例14】如图,在梯形中,,,,为边上的任意一点,,且交于点.
⑴若为边上的中点,则(用含有,的式子表示);
⑵若为边上距点最近的等分点(,且为整数),
则(用含有,,的式子表示).
【答案】,[提示:
参考例7方法二]
【例15】如图,个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设的面积为,的面积为,…,的面积为,则=_______;=____________(用含的式子表示).
【答案】
[提示:
,…]
【例16】如图,在中,,,是的中点,过点的直线交边于点,若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形相似,则的长为()
A. B.或 C.3或 D.
【答案】B
考点四:
相似三角形的判定
☞考点说明:
熟练掌握相似三角形的判定方法,
【例17】如图,小正方形的边长均为,则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是()
【答案】A
【例18】在中,,是边上的高,且,则的度数为_______
【答案】或[注意分类讨论,如图有两种可能]
【例19】如图,已知,若再增加一个条件就能使结论成立,则这个条件可以是_______________
【答案】答案不唯一,如等
【例20】已知:
如图,点是边长为4的正方形内一点,,于点,试在射线上找一点,使得以点为顶点的三角形与相似,作图并指出相似比的值.
【答案】[提示:
已知,.欲使以点为顶点的三角形与相似,只要使及的两边对应成比例.]
学案提升
【例1】已知等腰直角中,、分别为直角边、上的点,且,过、分别作的垂线,交斜边于,.
求证:
.
【答案】延长至,使
则,于是可证,
于是,
∵,∴
∴,
∴,
∴,
∴.
【例2】若为内任一点,分别与相交于.
求证:
.
【答案】证明:
过做的平行线,交于,交于.过做的平行线,交于点.因为,所以,又因为,所以.进而.
【例3】已知,在中,、、为其三条高线,为此三角形内一点,且,,,、、为垂足,求证:
.
【答案】连接、、,
在和中,
∵,,
∴①,
同理可证:
②,③,
∴得:
.
课后作业
【例1】如图,已知中,,,与相交于,则的值为()
A.B.1C.D.2
【解析】这类题的解法:
找适当的点,作适当的平行线,构造基本图形解题,或者直接运用
梅氏定理来解题.
【答案】C
毕业班解决方案 初三数学.比例线段与相似性质和判定.教师版 Page11of11
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