步步高26:离散型随机变量的均值与方差.doc
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§12.6 离散型随机变量的均值与方差
1.考查离散型随机变量的均值与方差的概念;2.利用均值、方差解决一些实际问题.
复习备考要这样做 理解随机变量的均值、方差的意义、作用,能解决一些简单的实际问题.
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)D(aX+b)=a2D(X).(a,b为常数)
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布,则E(X)=__p__,D(X)=p(1-p).
(2)若X~B(n,p),则E(X)=__np__,D(X)=np(1-p).
[难点正本 疑点清源]
1.对均值(或数学期望)的理解
(1)期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.
(2)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的,而E(X)是不变的,它描述X值取值的平均状态.
(3)公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn直接给出了E(X)的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加.由此可知,求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列.
2.方差的意义
D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散,反之D(X)越小,X的取值越集中,由方差定义知,方差是建立在期望这一概念之上的.在E(X)附近,统计中常用来描述X的分散程度.
1.若随机变量ξ的分布列如下表,则E(ξ)的值为________.
ξ
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
答案
解析 根据概率之和为1,求出x=,
则E(ξ)=0×2x+1×3x+…+5x=40x=.
2.(2017·浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的,记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=________.
答案
解析 由题意知P(X=0)=(1-p)2=,∴p=.
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)=8.9,则y的值为 ( )
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9
答案 A
解析 由
可得y=0.4.
4.已知X的分布列为
X
-1
0
1
P
设Y=2X+3,则E(Y)的值为 ( )
A. B.4 C.-1 D.1
答案 A
解析 E(X)=(-1)×+0×+1×=-.
∴E(Y)=2E(X)+3=2×+3=.
5.设随机变量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则 ( )
A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4
C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45
答案 A
解析 ∵X~B(n,p),∴E(X)=np=1.6,
D(X)=np(1-p)=1.28,∴
题型一 离散型随机变量的均值、方差
例1 (2012·湖北)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:
mm)对工期的影响如下表:
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:
(1)工期延误天数Y的均值与方差;
(2)在降水量X至少是300mm的条件下,工期延误不超过6天的概率.
思维启迪:
先求出降水量在各范围内的概率,再求对应工期延误天数的概率,列出Y的分布列.
解
(1)由已知条件和概率的加法公式有
P(X<300)=0.3,
P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)
=0.7-0.3=0.4,
P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)
=0.9-0.7=0.2,
P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以Y的分布列为
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.
(2)由概率的加法公式,
得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,
又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)
=0.9-0.3=0.6.
由条件概率,
得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)
===.
故在降水量X至少是300mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是.
探究提高
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.
(2)概率与统计的结合是高考的热点,熟练掌握基础知识,理解二者的联系是解题的关键.
某中学在高三开设了4门选修课,每个学生必须且只需选修1门选修课.对于该年级的甲、乙、丙3名学生,回答下面的问题:
(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率;
(2)某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望.
解
(1)3名学生选择的选修课互不相同的概率:
p1==;
(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ,
则ξ=0,1,2,3.P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
题型二 二项分布的均值、方差
例2 某人投弹命中目标的概率p=0.8.
(1)求投弹一次,命中次数X的均值和方差;
(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差.
思维启迪:
投弹一次,X服从两点分布;重复10次,Y服从二项分布.
解
(1)随机变量X的分布列为
X
0
1
P
0.2
0.8
因为X服从两点分布,故E(X)=p=0.8,D(X)=p(1-p)=0.8×0.2=0.16.
(2)由题意知,命中次数Y服从二项分布,
即Y~B(10,0.8),
∴E(Y)=np=10×0.8=8,D(Y)=np(1-p)=10×0.8×0.2=1.6.
探究提高 若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,数学期望E(ξ)=3,标准差为.
(1)求n,p的值并写出ξ的分布列;
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.
解
(1)由E(ξ)=np=3,D(ξ)=np(1-p)=,得1-p=,从而n=6,p=.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(ξ≤3),得
P(A)==或P(A)=1-P(ξ>3)=1-=.
题型三 均值与方差的应用
例3 现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资10万元,一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中,价格下降的概率都是p(0
(1)求X1,X2的概率分布列和均值E(X1),E(X2);
(2)当E(X1) 思维启迪: (1)求分布列,应先确定X的取值,再求X的取值对应的概率; (2)由E(X1) 解 (1)X1的概率分布列为 X1 1.2 1.18 1.17 P E(X1)=1.2×+1.18×+1.17×=1.18. 由题设得X~B(2,p),即X的概率分布列为 X 0 1 2 P (1-p)2 2p(1-p) p2 故X2的概率分布列为 X2 1.3 1.25 0.2 P (1-p)2 2p(1-p) p2 所以E(X2)=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2=1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2 =-p2-0.1p+1.3. (2)由E(X1) 整理得(p+0.4)(p-0.3)<0,解得-0.4 因为0 p的取值范围是0 探究提高 (1)解决实际应用问题时,关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件. (2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. A,B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2,根据市场分析,X1和X2的分布列分别为 X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2); (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,100-x万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值. 解 (1)由题设可知Y1和Y2的分布列为 Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6, D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4, E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8, D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12. (2)f(x)=D+D =2D(Y1)+2D(Y2) =[x2+3(100-x)2] =(4x2-600x+3×1002). 当x==75时,f(x)=3为最小
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