正弦定理知识点总结(精华)与试题.doc

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正弦定理知识点总结（精华）与试题

1．特殊情况：

直角三角形中的正弦定理：

sinA=sinB=sinC=1即：

c=c=c===

2．能否推广到斜三角形？

证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：

S△ABC=

两边同除以即得：

==

A

CV

BV

A

CV

BV

3．用向量证明：

证二：

过A作单位向量垂直于

+=两边同乘以单位向量

•（+）=•则：

•+•=•

∴||•||cos90°+||•||cos（90°-C）=||•||cos（90°-A）

∴∴=

同理：

若过C作垂直于得：

=∴==

当△ABC为钝角三角形时，设ÐA>90°过A作单位向量垂直于向量

正弦定理：

在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，==

注意：

（1）正弦定理适合于任何三角形。

（2）可以证明===2R（R为△ABC外接圆半径）

（3）每个等式可视为一个方程：

知三求一

5.知识点整理

（1）正弦定理：

在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．

（2）正弦定理的变形公式：

①，，；

②，，；

③；

④．

6、应用：

ⅰ：

正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题。

例1、已知在

解：

练习：

1、在△ABC中，已知A=450,B=600,a=42，解三角形.

2、在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长为．

3、在△ABC中，B=45,C=60,c=1，则最短边的边长等于

ⅱ：

正弦定理可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题

例2．1在

解：

例2．2

解：

，

注意：

三角形的情况：

（1）当A为锐角

（2）当A为直角或钝角

练习：

1.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，

则等于 （）

A． B．2 C． D．

2、已知中，的对边分别为若且，则（）

A.2B．4＋C．4—D．

3、在中，若，，，则.

4、已知△ABC中，

ⅲ：

运用正弦定理判定三角形的个数问题

例3：

在△ABC中，分别根据下列条件指出解的个数

（1）、a=4,b=5,A=300;

（2）、a=5,b=4,A=600;

（3）、;（3）、

练习：

1．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）

A．a=1,b=2,c=3B．a=1,b=,∠A=30°

C．a=1,b=2,∠A=100°D．b=c=1,∠B=45°

ⅳ：

正弦定理变形运用

1、在△ABC中，a=5，b=3，C=1200,则sinA:

sinB=

2、在△ABC中，acosB=bcosA,则⊿ABC为（）

A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、钝角三角形

3、在△ABC中，若b=2asinB,则A=

4、在△ABC中，若

5、在△ABC中，a:

b:

c=1:

3:

5,

6、在△ABC中，已知sinA:

sinB:

sinC=4:

5:

6,且a+b+c=30，则a=

7、若三角形的三个内角之比为1：

2：

3，则该三角形的三边之比为

8、在△ABC中，

9.的三内角的对边边长分别为,若,则（）Ａ）　（Ｂ）　　（Ｃ）　（Ｄ）

10、在△ABC中，若sinA>sinB,则有（）

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