知识梳理与自测人教A版文科数学《96双曲线》Word下载.docx
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概念方法微思考
1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗?
为什么?
提示 不一定.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;
当2a>
|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是什么?
提示 若A>
0,B<
0,表示焦点在x轴上的双曲线;
若A<
0,B>
0,表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是AB<
3.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,a,b只限制a>
0,二者没有大小要求,若a>
0,a=b>
0,0<
a<
b,双曲线哪些性质受影响?
提示 离心率受到影响.∵e==,故当a>
0时,1<
e<
,当a=b>
0时,e=(亦称等轴双曲线),当0<
b时,e>
.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ×
)
(2)方程-=1(mn>
0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ×
(3)双曲线方程-=λ(m>
0,n>
0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±
=0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( √ )
(5)若双曲线-=1(a>
0)与-=1(a>
0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
题组二 教材改编
2.[P53T1]若双曲线-=1(a>
0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A.B.5
C.D.2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为±
=0,即bx±
ay=0,
∴2a==b.又a2+b2=c2,∴5a2=c2.
∴e2==5,∴e=.
3.[P54A组T3]已知a>
0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( )
A.x±
y=0B.x±
y=0
C.x±
2y=0D.2x±
解析 椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,所以·
=,即a4=4b4,所以a=b,所以双曲线C2的渐近线方程是y=±
x,即x±
y=0.
4.[P54A组T6]经过点A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
答案 -=1
解析 设双曲线的方程为-=±
1(a>
0),
把点A(4,1)代入,得a2=15(舍负),
故所求方程为-=1.
题组三 易错自纠
5.(2016·
全国Ⅰ)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3)B.(-1,)
C.(0,3)D.(0,)
解析 ∵方程-=1表示双曲线,
∴(m2+n)·
(3m2-n)>
0,解得-m2<
n<
3m2,
由双曲线性质,知c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中c是半焦距),∴焦距2c=2×
2|m|=4,解得|m|=1,
∴-1<
3,故选A.
6.若双曲线-=1(a>
0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
A.B.
C.D.
答案 D
解析 由条件知y=-x过点(3,-4),∴=4,
即3b=4a,∴9b2=16a2,∴9c2-9a2=16a2,
∴25a2=9c2,∴e=.故选D.
7.已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±
x,则该双曲线的标准方程为________________.
答案 -y2=1
解析 由双曲线的渐近线方程为y=±
x,可设该双曲线的标准方程为-y2=λ(λ≠0),已知该双曲线过点(4,),所以-()2=λ,即λ=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.
题型一 双曲线的定义
例1
(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:
x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.圆
答案 B
解析 如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,
又O为F1F2的中点,∴|MF2|=2.
∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,
由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,
∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|
=2<
|F1F2|,
∴由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
(2)已知F1,F2为双曲线C:
x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=________.
答案
解析 ∵由双曲线的定义有
|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,
∴|PF1|=2|PF2|=4,
则cos∠F1PF2=
==.
引申探究
1.本例
(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°
”,则△F1PF2的面积是多少?
解 不妨设点P在双曲线的右支上,
则|PF1|-|PF2|=2a=2,
在△F1PF2中,由余弦定理,得
cos∠F1PF2==,
∴|PF1|·
|PF2|=8,
∴
=|PF1|·
|PF2|·
sin60°
=2.
2.本例
(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“·
=0”,则△F1PF2的面积是多少?
∵·
=0,∴⊥,
∴在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2=16,
|PF2|=4,
|PF2|=2.
思维升华
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·
|PF2|的联系.
跟踪训练1设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________.
答案 (2,8)
解析 如图,由已知可得a=1,b=,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设P在右支上,
设|PF2|=m,
则|PF1|=m+2a=m+2,
由于△PF1F2为锐角三角形,
结合实际意义需满足
解得-1+<
m<
3,又|PF1|+|PF2|=2m+2,
∴2<
2m+2<
8.
题型二 双曲线的标准方程
例2
(1)(2018·
大连调研)已知圆C1:
(x+3)2+y2=1和圆C2:
(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
答案 x2-=1(x≤-1)
解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
(2)根据下列条件,求双曲线的标准方程:
①虚轴长为12,离心率为;
②焦距为26,且经过点M(0,12);
③经过两点P(-3,2)和Q(-6,-7).
解 ①设双曲线的标准方程为
-=1或-=1(a>
0).
由题意知,2b=12,e==,
∴b=6,c=10,a=8.
∴双曲线的标准方程为-=1或-=1.
②∵双曲线经过点M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12.
又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25.
∴双曲线的标准方程为-=1.
③设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>
∴解得
思维升华求双曲线标准方程的方法
(1)定义法
(2)待定系数法
①当双曲线焦点位置不确定时,设为Ax2+By2=1(AB<
②与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);
③与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(-b2<
k<
a2).
跟踪训练2
(1)(2018·
沈阳调研)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为________________.
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.
由双曲线的定义知,a=4,b=3.
故曲线C2的标准方程为-=1.
即-=1.
(2)(2017·
全国Ⅲ)已知双曲线C:
-=1(a>
0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
解析 由y=x,可得=.①
由椭圆+=1的焦点为(3,0),(-3,0),
可得a2+b2=9.②
由①②可得a2=4,b2=5.
所以C的方程为-=1.故选B.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 与渐近线有关的问题
例3 已知F1,F2是双曲线C:
0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小内角的大小为30°
,则双曲线C的渐近线方程是( )
A.x±
y=0B.x±
解析 由题意,不妨设|PF1|>
|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.在△PF1F2中,|F1F2|=2c,而c>
a,所以有|PF2|<
|F1F2|,所以∠PF1F2=30°
,
所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·
2c·
4acos30°
,得c=a,所以b==a.所以双曲线的渐近线方程为y=±
x=±
命题点2 求离心率的值(或范围)
例4已知直线l为双曲线:
0)的一条渐近线,直线l与圆(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2,c>
0)相交于A,B两点,若|AB|=a,则双曲线C的离心率为________.
解析 由题意可知双曲线的渐近线方程为bx±
ay=0,圆(x-c)2+y2=a2的圆心为(c,0),半径为a.因为直线l为双曲线C:
0)的一条渐近线,与圆(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2,c>
0)相交于A,B两点,且|AB|=a,所以2+2=a2,即4b2=3a2,即4(c2-a2)=3a2,即=,又e=,且e>
1,所以e=.
思维升华
(1)求双曲线的渐近线的方法
求双曲线-=1(a>
0)或-=1(a>
0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令-=0,得y=±
x;
或令-=0,得y=±
x.反之,已知渐近线方程为y=±
x,可设双曲线方程为-=λ(a>
0,λ≠0).
(2)求双曲线的离心率
①求双曲线的离心率或其范围的方法
(ⅰ)求a,b,c的值,由==1+直接求e.
(ⅱ)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
②双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系:
k====.
跟踪训练3(2018·
茂名模拟)已知F1,F2是双曲线-=1(a>
0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )
A.B.4C.D.
解析 因为△ABF2为等边三角形,
所以不妨设|AB|=|BF2|=|AF2|=m,
因为A为双曲线右支上一点,
所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,
因为B为双曲线左支上一点,
所以|BF2|-|BF1|=2a,|BF2|=4a,
由∠ABF2=60°
,得∠F1BF2=120°
在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·
2a·
4a·
cos120°
得c2=7a2,则e2=7,又e>
1,所以e=.故选A.
高考中离心率问题
离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有两类:
一类是根据一定的条件求离心率;
另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表示,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.
例1已知椭圆E:
+=1(a>
0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:
3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
解析 设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|+|BF|=4,
∴|AF|+|AF0|=4,
∴a=2.
设M(0,b),则M到直线l的距离d=≥,
∴1≤b<
2.
离心率e====∈,
故选A.
例2已知F1,F2为双曲线的焦点,过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A,B两点,BF1交y轴于点C,若AC⊥BF1,则双曲线的离心率为( )
C.2D.2
解析 不妨设双曲线方程为-=1(a>
由已知,取A点坐标为,取B点坐标为,则C点坐标为且F1(-c,0).由AC⊥BF1知·
=0,又=,=,可得2c2-=0,又b2=c2-a2,可得3c4-10c2a2+3a4=0,则有3e4-10e2+3=0,可得e2=3或,又e>
1,
所以e=.故选B.
1.(2018·
云南民族中学月考)已知双曲线-=1(a>
0),点(4,-2)在它的一条渐近线上,则离心率等于( )
A.B.C.D.
解析 渐近线方程为y=-x,
故(4,-2)满足方程-2=-×
4,所以=,
所以e====,故选B.
2.(2018·
新余摸底)双曲线-=1(a≠0)的渐近线方程为( )
A.y=±
2xB.y=±
C.y=±
4xD.y=±
解析 根据双曲线的渐近线方程知,
2x,故选A.
3.(2018·
辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:
0)的离心率为,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为( )
A.-=1B.-y2=1
C.-=1D.x2-=1
解析 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2,又双曲线C的离心率为,所以=,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4,所以双曲线C的方程为x2-=1,故选D.
4.(2018·
金华模拟)已知F1,F2为双曲线C:
x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°
,则|PF1|·
|PF2|等于( )
A.2B.4C.6D.8
解析 由双曲线的方程,得a=1,c=,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2.
在△PF1F2中,由余弦定理,得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·
|PF2|cos60°
=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·
|PF2|
=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·
=22+|PF1|·
|PF2|=
(2)2,
解得|PF1|·
|PF2|=4.故选B.
5.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使=e,则·
的值为( )
A.3B.2C.-3D.-2
解析 由题意及正弦定理得
==e=2,
∴|PF1|=2|PF2|,
由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,
∴|PF1|=4,|PF2|=2,
又|F1F2|=4,
由余弦定理可知
cos∠PF2F1=
==,
∴·
=||·
||·
cos∠PF2F1
=2×
4×
=2.故选B.
6.(2018·
安徽淮南三校联考)已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为( )
A.4+B.4(1+)
C.2(+)D.+3
解析 由题意知F(,0),设左焦点为F0,则F0(-,0),由题意可知△APF的周长l为|PA|+|PF|+|AF|,而|PF|=2a+|PF0|,∴l=|PA|+|PF0|+2a+|AF|≥|AF0|+|AF|+2a=++2×
2=4+4=4(+1),当且仅当A,F0,P三点共线时取得“=”,故选B.
7.已知离心率为的双曲线C:
0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若
=16,则双曲线的实轴长是( )
A.32B.16C.84D.4
解析 由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=x上,由题意可知|F2M|==b,所以|OM|==a.由
=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,所以a=8,b=4,c=4,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
8.(2018·
山东泰安联考)已知双曲线C1:
0),圆C2:
x2+y2-2ax+a2=0,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
C.(1,2)D.(2,+∞)
解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±
x,即bx±
ay=0,圆C2:
x2+y2-2ax+a2=0可化为(x-a)2+y2=a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=a,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得<
a,即c>
2b,即c2>
4b2,又知b2=c2-a2,所以c2>
4(c2-a2),即c2<
a2,所以e=<
,又知e>
1,所以双曲线C1的离心率的取值范围为,故选A.
9.(2016·
北京)已知双曲线-=1(a>
0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=________;
b=________.
答案 1 2
解析 由2x+y=0,得y=-2x,所以=2.
又c=,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.
10.(2018·
河北名校名师俱乐部二调)已知F1,F2分别是双曲线x2-=1(b>
0)的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°
,延长AF2交双曲线的右支于点B,则△F1AB的面积等于________.
答案 4
解析 由题意知a=1,由双曲线定义知|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,
∴|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1|=2+|BF2|.由题意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|,
∴|BA|=|BF1|,∵△BAF1为等腰三角形,∵∠F1AF2=45°
,∴∠ABF1=90°
,∴△BAF1为等腰直角三角形.
∴|BA|=|BF1|=|AF1|=×
4=2,
=|BA|·
|BF1|=×
2×
2=4.
11.(2018·
安阳模拟)已知焦点在x轴上的双曲线+=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________.
答案 (0,2)
解析 对于焦点在x轴上的双曲线-=1(a>
0),它的焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为=b.双曲线+=1,即-=1,其焦点在x轴上,则解得4<
8,则焦点到渐近线的距离d=∈(0,2).
12.(2018·
福建六校联考)已知双曲线C:
0)的右焦点为F,左顶点为A,以F为圆心,FA为半径的圆交C的右支于P,Q两点,△APQ的一个内角为60°
,则双曲线C的离心率为________.
解析 设左焦点为F1,由于双曲线和圆都关于x轴对称,
又△APQ的一个内角为60°
∴∠PAF=30°
,∠PFA=120°
,|AF|=|PF|=c+a,
∴|PF1|=3a+c,
在△PFF1中,由余弦定理得,
|PF1|2=|PF|2+|F1F|2-2|PF||F1F|cos∠F1FP,
即3c2-ac-4a2=0,即3e2-e-4=0,∴e=(舍负).
13.(2018·
南昌调研)已知双曲线C:
0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上第二象限内一点,若直线y=x恰为线段PF2的垂直平分线,则双曲线C的离心率为( )
答案 C
解析 如图,
直线PF2的方程为y=-(x-c),设直线PF2与直线y=x的交
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- 96双曲线 知识 梳理 自测 文科 数学 96 双曲线