椭圆经典例题分类汇总.doc
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椭圆经典例题分类汇总
1.椭圆第一定义的应用
例1椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.
分析:
题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.
解:
(1)当为长轴端点时,,,
椭圆的标准方程为:
;
(2)当为短轴端点时,,,
椭圆的标准方程为:
;
说明:
椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.
例2已知椭圆的离心率,求的值.
分析:
分两种情况进行讨论.
解:
当椭圆的焦点在轴上时,,,得.由,得.
当椭圆的焦点在轴上时,,,得.
由,得,即.
∴满足条件的或.
说明:
本题易出现漏解.排除错误的办法是:
因为与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在轴上,也可能在轴上.故必须进行讨论.
例3已知方程表示椭圆,求的取值范围.
解:
由得,且.
∴满足条件的的取值范围是,且.
说明:
本题易出现如下错解:
由得,故的取值范围是.
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件,当时,并不表示椭圆.
例4已知表示焦点在轴上的椭圆,求的取值范围.
分析:
依据已知条件确定的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出的取值范围.
解:
方程可化为.因为焦点在轴上,所以.
因此且从而.
说明:
(1)由椭圆的标准方程知,,这是容易忽视的地方.
(2)由焦点在轴上,知,.(3)求的取值范围时,应注意题目中的条件
例5已知动圆过定点,且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程.
分析:
关键是根据题意,列出点P满足的关系式.
解:
如图所示,设动圆和定圆内切于点.动点到两定点,
即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径,
即.∴点的轨迹是以,为两焦点,
半长轴为4,半短轴长为的椭圆的方程:
.
说明:
本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.
2.焦半径及焦三角的应用
例1已知椭圆,、为两焦点,问能否在椭圆上找一点,使到左准线的距离是与的等比中项?
若存在,则求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
假设存在,设,由已知条件得
,,∴,.
∵左准线的方程是,
∴.
又由焦半径公式知:
,.
∵,∴.
整理得.
解之得或.①
另一方面.②
则①与②矛盾,所以满足条件的点不存在.
例2已知椭圆方程,长轴端点为,,焦点为,,是椭圆上一点,,.求:
的面积(用、、表示).
分析:
求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用求面积.
解:
如图,设,由椭圆的对称性,不妨设,由椭圆的对称性,不妨设在第一象限.由余弦定理知:
·.①
由椭圆定义知:
②,则得.
故.
3.第二定义应用
例1椭圆的右焦点为,过点,点在椭圆上,当为最小值时,求点的坐标.
分析:
本题的关键是求出离心率,把转化为到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求均可用此法.
解:
由已知:
,.所以,右准线.
过作,垂足为,交椭圆于,故.显然的最小值为,即为所求点,因此,且在椭圆上.故.所以.
说明:
本题关键在于未知式中的“2”的处理.事实上,如图,,即是到右准线的距离的一半,即图中的,问题转化为求椭圆上一点,使到的距离与到右准线距离之和取最小值.
例2已知椭圆上一点到右焦点的距离为,求到左准线的距离.
分析:
利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.
解法一:
由,得,,.
由椭圆定义,,得
.
由椭圆第二定义,,为到左准线的距离,
∴,
即到左准线的距离为.
解法二:
∵,为到右准线的距离,,
∴.又椭圆两准线的距离为.
∴到左准线的距离为.
说明:
运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.
椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.
例3 已知椭圆内有一点,、分别是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上一点.
(1) 求的最大值、最小值及对应的点坐标;
(2) 求的最小值及对应的点的坐标.
分析:
本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:
一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.
解:
(1)如上图,,,,设是椭圆上任一点,由,,∴,等号仅当时成立,此时、、共线.
由,∴,等号仅当时成立,此时、、共线.
建立、的直线方程,解方程组得两交点
、.
综上所述,点与重合时,取最小值,点与重合时,取最大值.
(2)如下图,设是椭圆上任一点,作垂直椭圆右准线,为垂足,由,,∴.由椭圆第二定义知,∴,∴,要使其和最小需有、、共线,即求到右准线距离.右准线方程为.
∴到右准线距离为.此时点纵坐标与点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点坐标.
说明:
求的最小值,就是用第二定义转化后,过向相应准线作垂线段.巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段.
4.参数方程应用
例1求椭圆上的点到直线的距离的最小值.
分析:
先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.
解:
椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为,则点到直线的距离为
.
当时,.
说明:
当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.
例2
(1)写出椭圆的参数方程;
(2)求椭圆内接矩形的最大面积.
分析:
本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.
解:
(1).
(2)设椭圆内接矩形面积为,由对称性知,矩形的邻边分别平行于轴和轴,设为矩形在第一象限的顶点,,
则
故椭圆内接矩形的最大面积为12.
说明:
通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.
例3 椭圆与轴正向交于点,若这个椭圆上总存在点,使(为坐标原点),求其离心率的取值范围.
分析:
∵、为定点,为动点,可以点坐标作为参数,把,转化为点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式,转化为关于的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.
解:
设椭圆的参数方程是,
则椭圆上的点,,
∵,∴,
即,解得或,
∵ ∴(舍去),,又
∴,∴,又,∴.
说明:
若已知椭圆离心率范围,求证在椭圆上总存在点使.如何证明?
5.相交情况下--弦长公式的应用
例1已知椭圆及直线.
(1)当为何值时,直线与椭圆有公共点?
(2)若直线被椭圆截得的弦长为,求直线的方程.
解:
(1)把直线方程代入椭圆方程得,
即.,解得.
(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为,,由
(1)得,.
根据弦长公式得:
.解得.方程为.
说明:
处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.
这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式;解决弦长问题,一般应用弦长公式.
用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.
例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在轴上的椭圆,过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于,两点,求弦的长.
分析:
可以利用弦长公式求得,
也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.
解:
(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.
.因为,,所以.因为焦点在轴上,
所以椭圆方程为,左焦点,从而直线方程为.
由直线方程与椭圆方程联立得:
.设,为方程两根,所以,,,从而.
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.
由题意可知椭圆方程为,设,,则,.
在中,,即;
所以.同理在中,用余弦定理得,所以.
(法3)利用焦半径求解.
先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根,,它们分别是,的横坐标.
再根据焦半径,,从而求出
6.相交情况下—点差法的应用
例1已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点,为中点,的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.
解:
由题意,设椭圆方程为,
由,得,
∴,,
,∴,
∴为所求.
说明:
(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;
(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.
例2已知椭圆,求过点且被平分的弦所在的直线方程.
分析一:
已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为,利用条件求.
解法一:
设所求直线的斜率为,则直线方程为.代入椭圆方程,并整理得
.
由韦达定理得.
∵是弦中点,∴.故得.
所以所求直线方程为.
分析二:
设弦两端坐标为、,列关于、、、的方程组,从而求斜率:
.
解法二:
设过的直线与椭圆交于、,则由题意得
①-②得.⑤
将③、④代入⑤得,即直线的斜率为.
所求直线方程为.
说明:
(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:
过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.
(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.
(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:
“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.
例3已知椭圆,
(1)求过点且被平分的弦所在直线的方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
(4)椭圆上有两点、,为原点,且有直线、斜率满足,
求线段中点的轨迹方程.
分析:
此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.
解:
设弦两端点分别为,,线段的中点,则
①-②得.
由题意知,则上式两端同除以,有,
将③④代入得.⑤
(1)将,代入⑤,得,故所求直线方程为:
.⑥
将⑥代入椭圆方程得,符合题意,为所求.
(2)将代入⑤得所求轨迹方程为:
.(椭圆内部分)
(3)将代入⑤得所求轨迹方程为:
.(椭圆内部分)
(4)由①+②得:
,⑦,将③④平方并整理得
,⑧,,⑨
将⑧⑨代入⑦得:
,⑩
再将代入⑩式得:
,即.
此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.
例4已知椭圆,试确定的取值范围,使得对于直线,椭圆上有不同的两点关于该直线对称.
分析:
若设椭圆上,两点关于直线对称,则已知条件等价于:
(1)直线;
(2)弦的中点在上.
利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围.
解:
(法1)设椭圆上,两点关于直线对称,直线与交于点.
∵的斜率,∴设直线的方程为.由方程组消去得
①。
∴.于是,,
即点的坐标为.∵点在直线上,∴.解得. ②
将式②代入式①得 ③
∵,是椭圆上的两点,∴.解得.
(法2)同解法1得出,∴,
,即点坐标为.
∵,为椭圆上的两点,∴点在椭圆的内部,∴.解得.
(法3)设,是椭圆上关于对称的两点,直线与的交点的坐标为.
∵,在椭圆上,∴,.两式相减得,
即.∴.
又∵直线,∴,∴,即 ①。
又点在直线上,∴ ②。
由①,②得点的坐标为.以下同解法2.
说明:
涉及椭圆上两点,关于直线恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式:
(
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